HPM視角下的“勾股定理”教學(xué)設(shè)計

王正陽　楊立英　周惠惠　吳新鳳

［摘 要］隨著HPM研究的逐步深入，基于培養(yǎng)目標和核心素養(yǎng)，將數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)研究，已逐漸成為數(shù)學(xué)教育發(fā)展的方向。但是在教學(xué)實踐中，仍然存在教師對數(shù)學(xué)史的知識講解僅停留在介紹層面及忽視數(shù)學(xué)史在培養(yǎng)學(xué)生思維能力和人文素養(yǎng)等方面的作用等問題。文章以“勾股定理”的教學(xué)為例，探討HPM理論在數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中的應(yīng)用。

［關(guān)鍵詞］HPM理論；勾股定理；教學(xué)設(shè)計

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）29-0001-03

近年來，隨著課程改革的不斷深入，我們的教學(xué)目標也逐步從“教書”擴展為“育人”，以“立德樹人”為教育的根本任務(wù)建設(shè)“課程思政”，培養(yǎng)德才兼?zhèn)?、全面發(fā)展的社會主義建設(shè)者和接班人。數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂，正是課程思政建設(shè)的重要途徑。此外，《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》中也明確指出：“通過數(shù)學(xué)概念和思想方法的歷史發(fā)生發(fā)展過程，一方面可以使學(xué)生感受豐富多彩的數(shù)學(xué)文化，激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣；另一方面也有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)概念和思想方法的理解?！?/p>

本文選擇義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程“勾股定理”一節(jié)，在重構(gòu)勾股定理歷史的基礎(chǔ)上進行教學(xué)設(shè)計，希望通過對此案例的分析，為將數(shù)學(xué)史融入教學(xué)實踐的內(nèi)容選擇、融入方式、教學(xué)目標以及預(yù)期效果等方面的研究提供可行的思路與方法。

一、HPM理論

HPM是History and Pedagogy of Mathematics（數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育）的簡稱，其主要研究內(nèi)容包括數(shù)學(xué)史與教學(xué)法、數(shù)學(xué)史與學(xué)生認知發(fā)展規(guī)律、基于數(shù)學(xué)史的教學(xué)設(shè)計、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)聯(lián)、多元文化的數(shù)學(xué)等。對HPM研究歷史進行追溯，要從1972年談起。1972年，在第二屆國際數(shù)學(xué)教育大會上成立了數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)關(guān)系國際研究小組，標志著HPM成為一個學(xué)術(shù)研究的領(lǐng)域。而國內(nèi)對于HPM的研究，則是從2005年全國第一屆數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育會議召開，時至今日，HPM已成為國內(nèi)數(shù)學(xué)教育研究的一個重要方向。

汪曉勤教授提出了四種將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂的具體方式：附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式、重構(gòu)式。本文以“勾股定理”的教學(xué)設(shè)計為例，探討將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂的方式。

二、勾股定理的歷史及其重構(gòu)

（一）勾股定理的產(chǎn)生

1.趙爽弦圖

公元前十一世紀，西周數(shù)學(xué)家商高提出“勾三、股四、弦五”，勾股定理因此得名。而我國對于勾股定理的應(yīng)用，最早可追溯到大禹治水時期。

公元三世紀，數(shù)學(xué)家趙爽在注解數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》時提到：“勾股各自乘，并而開方除之，即弦?！壁w爽創(chuàng)造了一幅“勾股圓方圖”（如圖1），對勾股定理進行了詳細的證明，后世人們稱之為“趙爽弦圖”。

勾股定理是中國古代數(shù)學(xué)史上最杰出的成就之一。對于勾股定理的證明，相較于西方的畢達哥拉斯和歐幾里得早了500多年。2002年在北京舉辦的國際數(shù)學(xué)家大會，也將“趙爽弦圖”作為會徽（如圖2）。

2.畢達哥拉斯定理

相傳2500年前，古希臘數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯在朋友家做客時，發(fā)現(xiàn)朋友家用地磚鋪成的地面（如圖3）中反映了直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系：任意直角三角形，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即畢達哥拉斯定理。相傳為了慶祝這一發(fā)現(xiàn)，畢達哥拉斯學(xué)派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此畢達哥拉斯定理又稱“百牛定理”。

（二）勾股定理的證明

勾股定理的證明方法有很多種，僅在清朝末年，我國數(shù)學(xué)家華蘅芳就提出了二十多種勾股定理的證明方法。除上述提到的證明方法外，值得一提的是，美國總統(tǒng)加菲爾德也給出了勾股定理的一種證明方法，通過“兩個直角三角形面積[+]等腰直角三角形面積[=]直角梯形的面積”這一等量關(guān)系（如圖4），即可得出勾股定理。

（三）勾股定理的應(yīng)用

1.直接應(yīng)用

如圖5所示，[△ABC]和[△DCE]都是邊長為4的等邊三角形，點[B、C、E]在同一條直線上，連接[BD]，則[BD]的長為? ? ? ? ? ? 。

2.實際應(yīng)用

小莫媽媽買了一部42英寸（約106厘米）的電視機（如圖6）。小莫量了電視機的屏幕后，發(fā)現(xiàn)屏幕的長和寬分別為85厘米和64厘米，他覺得一定是售貨員搞錯了，你同意他的想法嗎？你能解釋這是為什么嗎？

解：42英寸的電視機指的是其屏幕對角線長為42英寸（約106厘米），因此，如圖7所示構(gòu)造直角[△ABC]，[AC=64]，[BC=85]，由勾股定理可得：[AC2+BC2=AB2]，[AB≈106]。

綜上，電視機的尺寸是正確的。

三、“勾股定理”的教學(xué)設(shè)計

（一）勾股定理的提出與歷史發(fā)展

教師利用多媒體展示勾股樹（如圖8），引入勾股定理，提問：它由哪些我們學(xué)過的基本圖形組成？這個圖案有什么特別的含義？

學(xué)生回答：勾股樹是由大大小小的正方形組成的。

教師帶領(lǐng)學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)中的美，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和參與動機，并引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出組成上述圖案的基本圖形——三個正方形和其圍成的直角三角形。

教師講解：組成這一圖案的基本圖形，其實是在古希臘數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯的朋友家的地板上發(fā)現(xiàn)的，這一個圖案使得畢達哥拉斯大受啟發(fā)，從而發(fā)現(xiàn)了非常著名的畢達哥拉斯定理。

教師通過“地板——畢達哥拉斯定理”這一夸張的設(shè)定，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，進而向?qū)W生講畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)這一定理的小故事，鼓勵學(xué)生敢于思考、勇于發(fā)現(xiàn)。

（二）勾股定理的探索及證明

教師提問：如圖9所示，已知直角三角形的兩條直角邊是[a、b]，斜邊長為[c]，猜想一下它的三邊之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系。

學(xué)生猜想：[a2+b2=c2]，勾股定理。（通過預(yù)習(xí)得到）

教師提問：將圖9放在方格紙中（如圖10），你能證明你的猜想嗎？

學(xué)生證明：正方形1的面積[+]正方形2的面積[=]正方形3的面積。[32+42=25=52]。

教師引導(dǎo)：你能根據(jù)剛才的證明過程總結(jié)一下勾股定理的內(nèi)容嗎？

學(xué)生總結(jié)：直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

教師提問：這樣的一個定理在今天看來是不是特別簡單、容易理解。據(jù)說當時為了慶祝這一定理的發(fā)現(xiàn)，畢達哥拉斯學(xué)派殺了一百頭牛來酬謝供奉神靈，因此這個定理又稱 “百牛定理”。

教師通過引導(dǎo)學(xué)生借助方格紙，找到[a、b、c]之間的數(shù)量關(guān)系，從而證明猜想，并且引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言對這一數(shù)量關(guān)系進行描述，即勾股定理的內(nèi)容。

教師提問：同學(xué)們有沒有覺得奇怪，明明是畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)的定理，為什么要叫作勾股定理呢？現(xiàn)在請同學(xué)們拿出你們課前準備的 4 個全等的直角三角形，思考怎樣用這 4 個三角形拼成一個正方形？

學(xué)生小組合作，動手操作（如圖11）。

教師講授：其實早在公元前十一世紀，西周數(shù)學(xué)家商高就提出了“勾三、股四、弦五”，即三邊長分別為3、4、5的直角三角形，這是勾股定理的一種特殊案例。他是最早提出勾股定理的人，勾股定理也因此得名。三國時期，有一位數(shù)學(xué)家趙爽，畫出了一個和大家一樣的圖形，稱之為“勾股圓方圖”，后世人們把這個圖稱為“趙爽弦圖”。趙爽利用這個圖形，給出了世界上最早的勾股定理證明。既然同學(xué)們可以拼出和趙爽一樣的圖案，我相信同學(xué)們一定可以用此圖證明勾股定理。

教師提問：還有同學(xué)有其他的拼法嗎？

學(xué)生展示其他拼法（如圖12）。

教師提問：可以用這個圖形來證明勾股定理嗎？請同學(xué)們課后思考。

教師通過引導(dǎo)學(xué)生動手操作，對 “趙爽弦圖”的歷史進行重溫，幫助學(xué)生更好地理解勾股定理的內(nèi)涵和證明過程，激發(fā)學(xué)生的探索欲望，培養(yǎng)學(xué)生的實踐能力。同時，介紹我國在勾股定理的證明上早于西方500多年，幫助學(xué)生樹立文化自信，培養(yǎng)學(xué)生的愛國情懷。

教師講授：美國總統(tǒng)加菲爾德也貢獻了一種非常巧妙的勾股定理證明方法（如圖13），同學(xué)們可以試著證明一下嗎？

教師引導(dǎo)學(xué)生用多種方法對勾股定理進行證明，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維和創(chuàng)新思維，并且鼓勵學(xué)生樹立信心，勤于思考，去探索更多的證明方法。

（三）勾股定理的應(yīng)用

1.如圖14所示，一個梯子[AB]長2.5 m，頂端[A]靠在墻[AC]上，這時梯子下端[B]與墻角[C]的距離為[1.5 m]，梯子滑動后停在[DE]的位置上，如圖15所示，測得[BD]長為0.5 m，求梯子頂端[A]下落了多少米？

解：由題意易知 [AB=DE=2.5]，[BC=1.5]，[BD=0.5]，[CD=2]，

在[Rt△ABC]中，由勾股定理知[AB2=AC2+BC2]，[AC=2]。

[Rt△EDC]中，由勾股定理知[DE2=CD2+CE2]，[CE=1.5]，[AE=AC-CE=0.5]，所以梯子頂端[A]下落了0.5米。

2. 小明家新房裝修，工人師傅搬來了一塊長3米，寬2.2米的薄木板，能順利通過門框（尺寸如圖16所示）嗎？為什么？

解：如圖17所示，連接 [AC]。

在[Rt△ABC]中，由勾股定理知：

[AC2=AB2+BC2]，

因為[AC]大于木板的寬，所以木板能從門框內(nèi)通過。

數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)，不單單是講故事，更要講好故事。HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)要求教師要在浩如煙海的史學(xué)資料中選擇恰當?shù)?、有深度的?nèi)容，通過對歷史的借鑒、重溫、改編和重構(gòu)，深入挖掘其中的思想和價值觀念，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，緩解學(xué)生的學(xué)習(xí)壓力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，幫助學(xué)生更好地理解知識的內(nèi)涵和本質(zhì)。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 楊孝斌，吳萬輝，呂傳漢，等.基于培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的行動：解題課例研析［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2020．

［2］? 張大鵬. 在數(shù)學(xué)教育中數(shù)學(xué)史的融入策略［J］. 中國科技博覽， 2015（5）：264.

［3］? 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標準：2017年版2020年修訂［M］.北京：人民教育出版社，2020．

［4］? 汪曉勤，王苗，鄒佳晨.HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計：以橢圓為例［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2011（5）：20-23.