無(wú)限風(fēng)光在“移項(xiàng)”
——化解函數(shù)與方程動(dòng)態(tài)分析中的難點(diǎn)

李忠良

(江蘇省徐州市第三中學(xué) 221005)

“函數(shù)的零點(diǎn)”“方程的解”和“圖象的交點(diǎn)”這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的辨析是每一個(gè)高中生在學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)要首先理清楚的．函數(shù)的零點(diǎn)定理為求方程的解提供了理論依據(jù),提供了函數(shù)觀點(diǎn)下的新的控制手段,同時(shí)也提供了更多求方程近似解的方法,比如著名的二分法和牛頓法等．圖象的交點(diǎn)為刻畫方程的解或函數(shù)的零點(diǎn)提供了直觀依據(jù),盡管圖象的直觀性并不能幫助我們計(jì)算出解的精確值,但是我們卻樂(lè)此不疲地探究數(shù)形結(jié)合的可能性,并為其著迷,因?yàn)閿?shù)形結(jié)合在一定程度上幫助我們實(shí)現(xiàn)了思維可視化,而“移項(xiàng)”整理又讓這一過(guò)程如虎添翼．

1 方程與圖象

隨著形態(tài)的變化,同一個(gè)方程所對(duì)應(yīng)的圖象也在發(fā)生著翻天覆地的變化,6個(gè)方程、12幅圖象、6組交點(diǎn),卻達(dá)到了殊途同歸的效果．這就是我們著迷于數(shù)形結(jié)合的理由,由此我們也有一個(gè)重要的探究方向:如何在“移項(xiàng)”的過(guò)程中尋找最佳的作圖時(shí)機(jī)．

需要強(qiáng)調(diào)的是,本文說(shuō)的“移項(xiàng)”泛指對(duì)方程的變形整理,既包含常規(guī)的移項(xiàng),也包括等式左右同時(shí)乘除一項(xiàng),甚至是兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)等,為了簡(jiǎn)潔,下文統(tǒng)稱“移項(xiàng)”．

一個(gè)巧妙的“移項(xiàng)”可以幫我們實(shí)現(xiàn)兩個(gè)目的:一是使得題目整體難度發(fā)生降檔,就好比一個(gè)200 kg的重物現(xiàn)在只需要100 kg的力氣就可以舉起來(lái);二是巧妙的組合可以讓方程或不等式兩邊的“重量”更均衡,本來(lái)左右兩邊分別對(duì)應(yīng)著190 kg和10 kg的重量,現(xiàn)在經(jīng)過(guò)調(diào)整變成了一邊60 kg和另一邊40 kg,實(shí)現(xiàn)了四兩撥千斤的效果．

2 動(dòng)態(tài)分析的難點(diǎn)

第一,抽象化理解:動(dòng)態(tài)分析,即對(duì)函數(shù)圖象隨參數(shù)變化的變化趨勢(shì)進(jìn)行分析,需要學(xué)生從具體的函數(shù)圖象轉(zhuǎn)向?qū)Τ橄蠛瘮?shù)的理解,理解函數(shù)與參數(shù)之間的關(guān)系,并將其應(yīng)用于不同的情境．

第二,參數(shù)影響辨析:在動(dòng)態(tài)分析中,學(xué)生需要準(zhǔn)確識(shí)別哪些參數(shù)對(duì)函數(shù)圖象有何種影響,這需要對(duì)函數(shù)特性有深刻理解,學(xué)生需要觀察和理解參數(shù)變化對(duì)函數(shù)圖象的影響趨勢(shì),包括對(duì)圖象的平移、伸縮、翻轉(zhuǎn)等變換．

第三,復(fù)雜函數(shù)分析:動(dòng)態(tài)分析通常需要將多個(gè)函數(shù)特性結(jié)合起來(lái)綜合分析,比如根據(jù)一組參數(shù)變化來(lái)預(yù)測(cè)函數(shù)圖象的總體變化,有些函數(shù)可能較為復(fù)雜,學(xué)生需要解決涉及多個(gè)參數(shù)和多個(gè)函數(shù)特性的動(dòng)態(tài)分析問(wèn)題．

第四,可視化能力:動(dòng)態(tài)分析通常需要通過(guò)繪制函數(shù)圖象和參數(shù)變化圖表來(lái)進(jìn)行直觀展示,學(xué)生需要具備良好的可視化能力．

例1不等式|2x-a|+|x+1|≥2x+5恒成立,求a的取值范圍．

圖1

為了克服動(dòng)態(tài)分析中的這些難點(diǎn),學(xué)生需要反復(fù)練習(xí)函數(shù)圖象和參數(shù)變化的繪制,增強(qiáng)對(duì)函數(shù)特性的認(rèn)識(shí),積累常見(jiàn)的函數(shù)圖象模型．通過(guò)不斷的學(xué)習(xí)和練習(xí),學(xué)生可以逐漸提高在高中函數(shù)中的動(dòng)態(tài)分析能力,并更深刻地理解不同的搭配組合下圖象的特性與參數(shù)的關(guān)系．

3 思維可視化的意義

伴隨著高中數(shù)學(xué)從常量數(shù)學(xué)向變量數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)變升級(jí),動(dòng)態(tài)分析能力成為了高中數(shù)學(xué)里最難掌握的能力之一,而通過(guò)數(shù)形結(jié)合實(shí)現(xiàn)思維可視化,可以在一定程度上提升我們解決問(wèn)題的能力．其次,通過(guò)思維可視化,我們可以更清楚地理解問(wèn)題的復(fù)雜性,發(fā)現(xiàn)隱藏的關(guān)系,從而更好地定義問(wèn)題并確定解決問(wèn)題的策略,以及創(chuàng)新性地思考問(wèn)題．最后,通過(guò)可視化的方式記錄下思考過(guò)程,我們可以更清楚地看到思考的軌跡,從而避免重復(fù)的錯(cuò)誤和遺漏重要的步驟．

例2(2011年“北約”聯(lián)盟11校自主招生試題)求f(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+ |2 011x-1|的最小值．

簡(jiǎn)析我們通過(guò)這道題的解法可以體會(huì)思維可視化對(duì)解題的幫助.在解決這個(gè)問(wèn)題之前我們先講一個(gè)預(yù)備知識(shí):要求函數(shù)f(x)=|x-1|+ |x-2|+|x-3|+…+|x-7|的最小值,根據(jù)初中學(xué)習(xí)過(guò)的絕對(duì)值的幾何意義,可以將|x-a|理解為數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離,于是我們假設(shè)在一條筆直的馬路上,依次排開(kāi)7個(gè)人栽樹(shù),只有一個(gè)取水車,請(qǐng)問(wèn)水車放在什么位置,7個(gè)人取水距離之和最小?此時(shí)我們的大腦中就出現(xiàn)了畫面,不難理解,水車應(yīng)該放在“中間”,即第4個(gè)人的位置處.若人數(shù)為偶數(shù),則放在中間兩個(gè)人之間的任一位置．有了這個(gè)預(yù)備知識(shí),我們把例2中的函數(shù)整理為f(x)=|x-1|+

研究表明,圖形和視覺(jué)信息更容易被大腦記憶和理解.通過(guò)思維可視化,我們可以將抽象的問(wèn)題和復(fù)雜的信息轉(zhuǎn)化為更容易理解和記憶的形象．

4 “移項(xiàng)”對(duì)提升可視化能力的幫助

方程的移項(xiàng)和變形對(duì)通過(guò)數(shù)形結(jié)合提升思維可視化解決數(shù)學(xué)問(wèn)題有很大的影響和幫助.例如:

第一,簡(jiǎn)化方程.通過(guò)移項(xiàng)和變形,可以將復(fù)雜的方程簡(jiǎn)化為更簡(jiǎn)單的形式,使其更易于處理和求解,從而使得解決過(guò)程更加明確和直接．

第二,調(diào)整方程結(jié)構(gòu).在解決問(wèn)題時(shí),有時(shí)需要將方程重新組織和調(diào)整,使其符合特定的數(shù)學(xué)模型或問(wèn)題要求,移項(xiàng)和變形是應(yīng)用數(shù)學(xué)關(guān)系的基礎(chǔ),例如使用對(duì)數(shù)和指數(shù)的性質(zhì),通過(guò)變形將方程轉(zhuǎn)化為更容易處理的形式．

第三,參數(shù)和變量分離.某些方程中包含多個(gè)未知數(shù),通過(guò)移項(xiàng)和變形,可以將它們分離開(kāi)來(lái),從而更容易解決問(wèn)題．

第四,發(fā)現(xiàn)隱藏關(guān)系.移項(xiàng)和變形過(guò)程中,有時(shí)可以發(fā)現(xiàn)方程中隱藏的數(shù)學(xué)關(guān)系和特性,這有助于更好地理解問(wèn)題的本質(zhì),甚至可以引入新的變量或代換,從而簡(jiǎn)化方程的結(jié)構(gòu)和求解過(guò)程．

第五,驗(yàn)證結(jié)果.在解得方程的根或參數(shù)的取值范圍后,可以通過(guò)移項(xiàng)和變形來(lái)驗(yàn)證這些解或解集是否符合原始方程和不等式,以確保解的正確性．

例3是否存在斜率為3的直線與函數(shù)f(x)=x3-6x2+12x的圖象有三個(gè)交點(diǎn)?如果存在,寫出滿足要求的直線的集合;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．

簡(jiǎn)析如果按照題意直接開(kāi)始作圖分析,我們可以發(fā)現(xiàn)只需求出兩次相切的臨界時(shí)刻(圖2).但是通過(guò)仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn),這道題我們可以先在方程中辦一道移項(xiàng)的手續(xù):設(shè)x3-6x2+12x=3x+b,移項(xiàng)得x3-6x2+9x=b,此時(shí)再畫圖(圖3),則豁然開(kāi)朗,可以判斷出b的范圍是(0,4)．

容易判斷結(jié)論①是正確的,而對(duì)于結(jié)論②③④,我們可以把f(x)=sin|x|-|sinx|分成兩個(gè)圖象:y=sin|x|和y=|sinx|,根據(jù)圖象變換的技巧,這兩個(gè)圖象是容易畫出的,如圖4和圖5．

圖4

圖5

5 無(wú)限風(fēng)光在“移項(xiàng)”

例5已知關(guān)于x的方程x2+bx+c=0(b,c∈R)在[-1,1]上有實(shí)數(shù)根,且滿足0≤3b+c≤3,求b的最大值．

圖6

如果稱上述方法為“本手”的話,那么接下來(lái)的移項(xiàng)思路便是這道題的“妙手”了.我們把x2+bx+c=0改寫成bx+c=-x2,在同一個(gè)坐標(biāo)系下畫出g(x)=bx+c和h(x)=-x2,因?yàn)?0≤3b+c≤3,所以0≤g(3)≤3.如圖6所示,直線y=bx+c既要與拋物線AB段有交點(diǎn),又要與線段CD有交點(diǎn),于是根據(jù)斜率的變化規(guī)律可知bmax=kBD=2．

6 結(jié)語(yǔ)

我們欣賞函數(shù)動(dòng)態(tài)的“美”,也困惑于函數(shù)動(dòng)態(tài)的“難”,我們處理一些函數(shù)和不等式的問(wèn)題時(shí),精髓便在于如何控制它的“動(dòng)”和“靜”,而巧妙的“移項(xiàng)”變形整理可以起到事半功倍的效果.在“移項(xiàng)”變形的過(guò)程中尋求最佳的切入時(shí)機(jī),是處理此類問(wèn)題的靈魂所在,也是最核心的能力之一．總的來(lái)說(shuō),方程的“移項(xiàng)”和變形是解決函數(shù)、方程以及不等式問(wèn)題中不可或缺的重要步驟,能夠幫助我們更好地理解和解決各種數(shù)學(xué)和實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題．