基于SVD-K-means算法的軟擴(kuò)頻信號(hào)偽碼序列盲估計(jì)

張慧芝, 張?zhí)祢U, 方 蓉, 羅慶予

(重慶郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院, 重慶 400065)

0 引 言

直接序列擴(kuò)頻信號(hào)因?yàn)槠潆[蔽性、抗干擾、保密性高等優(yōu)點(diǎn),在軍事和民用通信中被廣泛應(yīng)用[1]。但是傳統(tǒng)直接序列擴(kuò)頻技術(shù)存在占用帶寬大、信息傳輸效率低等問題。為了解決這些問題,軟擴(kuò)頻技術(shù)[2-3]將直接序列擴(kuò)頻技術(shù)與編碼技術(shù)相結(jié)合,發(fā)展成為一種新型的基帶擴(kuò)頻技術(shù),相比直接序列擴(kuò)頻信號(hào)更難被攔截[4]?，F(xiàn)如今,軟擴(kuò)頻技術(shù)已被廣泛應(yīng)用,如美軍的聯(lián)合戰(zhàn)術(shù)信息分配系統(tǒng)(joint tactical information distribution system,JTIDS)采用了(32,5)的軟擴(kuò)頻通信技術(shù)[2];挪威新一代戰(zhàn)地通信網(wǎng)提出采用(256,8)和(32,7)的正交矩陣編碼[2];寬帶碼分多址(wideband code division multiple access,WCDMA)也應(yīng)用了(64,6)的Walsh碼軟擴(kuò)頻編碼技術(shù)[5]。

與直擴(kuò)信號(hào)相比,軟擴(kuò)頻信號(hào)不僅需要估計(jì)偽碼序列,還需要估計(jì)偽碼序列規(guī)模數(shù),常規(guī)估計(jì)方法如矩陣分解法[6-7]、最小二乘法[8]、三階相關(guān)函數(shù)法[9-10]等將不再適用。目前,關(guān)于軟擴(kuò)頻信號(hào)偽碼序列盲估計(jì)的研究還較少。文獻(xiàn)[11]提出基于相關(guān)性的多進(jìn)制擴(kuò)頻序列盲估計(jì)算法,在信噪比(signal to noise ratio, SNR)大于-1 dB時(shí)誤碼率有所減小,但是低信噪比時(shí)性能反而更差。文獻(xiàn)[12]利用傳統(tǒng)K-means聚類實(shí)現(xiàn)對(duì)偽碼序列的估計(jì)。但是該方法隨機(jī)選取聚類初始點(diǎn),對(duì)估計(jì)結(jié)果影響較大。文獻(xiàn)[13]提出一種改進(jìn)的K-means方法。該方法根據(jù)相似度最小準(zhǔn)則選取數(shù)據(jù)對(duì)象作為初始聚類點(diǎn),克服了K-means算法容易陷入局部最優(yōu)的問題。但是該文采用平均輪廓系數(shù)來完成偽碼集合規(guī)模數(shù)的估計(jì),需要多次聚類,計(jì)算量較大。文獻(xiàn)[14]提出一種改進(jìn)的近鄰傳播算法實(shí)現(xiàn)了軟擴(kuò)頻盲解擴(kuò)。該方法不用事先指定聚類數(shù)目,復(fù)雜度低,但是誤碼率較高。文獻(xiàn)[15]在傳統(tǒng)密度峰聚類算法的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn),將賦權(quán)歐氏距離作為相似性度量指標(biāo)。該方法可以自動(dòng)確定截?cái)嗑嚯x,但是在低信噪比情況下準(zhǔn)確度低。

針對(duì)上述問題,本文提出一種基于奇異值分解(singular value decomposition, SVD)和K-means聚類相結(jié)合的軟擴(kuò)頻偽碼序列盲估計(jì)方法。首先,將接收信號(hào)按照一倍偽碼周期進(jìn)行分段,組成觀測(cè)矩陣后進(jìn)行SVD,取較大特征值個(gè)數(shù)作為偽碼序列規(guī)模數(shù)k的估計(jì)值并且進(jìn)行降噪處理。然后,構(gòu)建相似性矩陣,并對(duì)其再次進(jìn)行SVD,將右奇異矩陣前k行向量,與前k個(gè)特征值對(duì)應(yīng)相乘構(gòu)成判斷矩陣。按照判斷矩陣絕對(duì)值最大原則將數(shù)據(jù)進(jìn)行粗分類,并取每個(gè)類簇的平均值作為初始聚類中心。最后,通過K-means算法優(yōu)化分類結(jié)果,完成對(duì)偽碼序列的估計(jì)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,該算法能夠在較低信噪比下盲估計(jì)出軟擴(kuò)頻信號(hào)的偽碼序列,并且與文獻(xiàn)[14]相比,本文誤碼率下降了6%。

1 軟擴(kuò)頻信號(hào)模型

軟擴(kuò)頻信號(hào)發(fā)射端模型如圖1所示。輸入信號(hào)d(t)先由串/并轉(zhuǎn)換得到k比特的并行數(shù)據(jù),每組信息碼的狀態(tài)有M=2k種。再從M條偽碼序列中,根據(jù)每組信息碼的狀態(tài)選擇對(duì)應(yīng)的偽碼序列,將信息傳遞出去。

圖1 軟擴(kuò)頻信號(hào)發(fā)射端模型Fig.1 Soft spread spectrum signal transmitter model

設(shè)M條長度為N的偽碼序列表示為

(1)

設(shè)傳輸?shù)男畔?shù)據(jù)為

(2)

將信息碼元每k比特分為一組,則d(t)可以表示為

(3)

k比特信息碼元的權(quán)值為

(4)

k比特信息碼元選擇偽碼序列,依據(jù)的是權(quán)值j。則擴(kuò)展后的偽碼序列表示為

(5)

式中:cj下標(biāo)由式(4)決定。當(dāng)通過高斯白噪聲信道后,接收到的軟擴(kuò)頻信號(hào)可以表示為

(6)

假設(shè)偽碼速率Tc和偽碼周期T=NTc已經(jīng)估計(jì)出來[16],以Tc為采樣速率對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行采樣,得到離散的信號(hào):

x(n)=b(t-τ)+w(t)|t=nTc=b(nTc-τ)+w(nTc)

(7)

式中:τ表示延時(shí)時(shí)間,τ∈[0,N-1],可以使用文獻(xiàn)[10]中的方法估計(jì)出來。

把采樣后的離散序列同步后以偽碼序列周期NTc連續(xù)分段,每個(gè)序列含有N個(gè)采樣值,即

xi=bi+ni=[x(iN-N),x(iN-N+1),…,x(iN-1)]

(8)

式中:i=1,2,…,Nd;Nd表示總的樣本數(shù)目。則采樣后的數(shù)據(jù)矩陣為X=[x1,x2,…,xNd]T。

在非合作通信條件下,由于偽碼序列規(guī)模數(shù)不一定與偽碼序列長度相等,在已知偽碼周期的前提下,若想得到截獲信號(hào)中的有用信息,需要先估計(jì)出偽碼集合規(guī)模數(shù)M和M條偽碼序列集合C={c1(t),c2(t),…,cM(t)}。

2 SVD

SVD可以適用于任意矩陣A,其定義如下:

A=UΣVT

(9)

式中:(·)T表示向量的轉(zhuǎn)置。若A是m×n的矩陣,則U是m×m階酉矩陣,Σ是m×n階對(duì)角矩陣,由A唯一確定,VT是n×n階酉矩陣[17]。

SVD有以下特性:

(1) 矩陣A的非零奇異值個(gè)數(shù)等于它的秩。

(2) 矩陣A在噪聲干擾后的奇異值變化較小,具有穩(wěn)定性。

(3) 矩陣A進(jìn)行歸一化處理后不會(huì)影響奇異值的相對(duì)大小。

2.1 軟擴(kuò)頻信號(hào)偽碼集合規(guī)模數(shù)的估計(jì)

本文根據(jù)SVD的特性,對(duì)偽碼序列規(guī)模數(shù)進(jìn)行估計(jì)。如果忽略噪聲影響,此時(shí)rank(X)=M,X有M個(gè)奇異值明顯大于0,其余奇異值幾乎為0。當(dāng)考慮噪聲時(shí),X仍然存在M個(gè)奇異值幅值較大,但是其余奇異值受噪聲影響幅值會(huì)相對(duì)增大。因此,軟擴(kuò)頻信號(hào)偽碼序列規(guī)模數(shù)是X的較大奇異值個(gè)數(shù)。

r=[r1,r2,…,rm]T

(10)

ri=var[α(i:m)],i=1,2,…,m

(11)

(12)

(13)

式中:var[·]表示向量的方差;α(i:m)表示α后m-i+1個(gè)元素構(gòu)成的向量子集。向量r′將奇異值之間的差距拉大,下面使用仿真實(shí)驗(yàn)進(jìn)行直觀對(duì)比。

偽碼序列使用gold序列生成,長度取N=127 chip,信息碼元按k=4,即M=16分為一組,SNR為-10 dB,樣本數(shù)目選為Nd=1 000組。生成數(shù)據(jù)矩陣后進(jìn)行SVD,對(duì)奇異值進(jìn)行差異放大處理前后對(duì)比如圖2所示。

圖2 差異放大前后奇異值對(duì)比Fig.2 Comparison of singular values before and after difference amplification

圖3 偽碼序列集合規(guī)模數(shù)估計(jì)Fig.3 Estimation of the set size number of pseudo code sequences

2.2 基于SVD的降噪過程

由第2.1節(jié)分析可知,X的前M個(gè)大幅值奇異值包含了X的大部分信息。因此,剔除較小的奇異值,不會(huì)損失太多原始信號(hào)的特征,反而會(huì)減小噪聲等干擾對(duì)信號(hào)的影響,實(shí)現(xiàn)降噪效果。

(14)

3 軟擴(kuò)頻信號(hào)偽碼序列估計(jì)

3.1 初始聚類中心的確定

對(duì)于向量xi和xj,其向量夾角的余弦值大小可以表征它們的相似性程度[20],即

(15)

式中:αi,j表示向量xi和xj的夾角值;cosαi,j∈[-1,1]表示兩個(gè)向量的夾角余弦值。當(dāng)cosαi,j=0時(shí),表示向量xi與xj正交;當(dāng)cosαi,j=±1時(shí),表示向量xi與xj平行。

任取矩陣X′中任意兩段數(shù)據(jù)向量,令rij=cosαi,j,代入式(15)可得

(16)

當(dāng)不考慮噪聲且偽碼序列之間完全正交時(shí),

(17)

從式(17)可以看出,夾角余弦值可以表示偽碼序列的相似度,其數(shù)值愈大,表示兩個(gè)向量的相似度愈高。因此,本文采用夾角余弦值作為相似性的衡量標(biāo)準(zhǔn),構(gòu)建相似性矩陣R。

對(duì)R進(jìn)行SVD:

(18)

(19)

3.2 偽碼序列估計(jì)

本文在第3.1節(jié)中完成了對(duì)數(shù)據(jù)的粗分類。在此基礎(chǔ)上,使用K-means算法對(duì)分類結(jié)果進(jìn)行優(yōu)化。SVD-K-means算法的具體步驟如下:

步驟 1對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行采樣、分段,構(gòu)造輸入數(shù)據(jù)矩陣X。

步驟 5令iter=iter+1,計(jì)算X′中每個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)象與聚類中心的相似性,即:

(20)

4 仿真實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

為了驗(yàn)證本文算法的有效性以及穩(wěn)定性,本節(jié)采用MATLAB進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),其中實(shí)驗(yàn)1、實(shí)驗(yàn)3～7中每一個(gè)SNR下進(jìn)行蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn)次數(shù)均為300次。

本文實(shí)驗(yàn)主要針對(duì)二進(jìn)制相移鍵控(binary phase shift keying,BPSK)調(diào)制下的軟擴(kuò)頻信號(hào)。噪聲選取高斯白噪聲,各項(xiàng)性能指標(biāo)定義如下。

(1) 誤碼率

(21)

式中:nl表示第l次蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn)中錯(cuò)誤估計(jì)的偽碼碼元數(shù);k表示信息碼元每組比特?cái)?shù);N為偽碼序列長度。

(2) SNR

(22)

實(shí)驗(yàn) 1驗(yàn)證本文算法對(duì)軟擴(kuò)頻信號(hào)的偽碼序列集合規(guī)模數(shù)估計(jì)的有效性。

偽碼序列使用gold序列生成,長度取N=127 chip,SNR=-20 dB,在不同k值和樣本數(shù)目Nd情況下,將數(shù)據(jù)分段后估計(jì)偽碼集合規(guī)模數(shù),不同估計(jì)值所占比例如圖4所示。

圖4 偽碼序列集合規(guī)模數(shù)估計(jì)Fig.4 Estimation of the size of pseudo code sequence set

由圖4可得,不同k值對(duì)應(yīng)的估計(jì)值最高頻數(shù)都是2k,并且樣本數(shù)目的選取對(duì)估計(jì)結(jié)果影響較小。因此,本文可以準(zhǔn)確估計(jì)出偽碼序列集合規(guī)模數(shù)。當(dāng)SNR≥-20 dB時(shí),該結(jié)果不會(huì)對(duì)后面?zhèn)未a序列估計(jì)產(chǎn)生影響。

實(shí)驗(yàn) 2驗(yàn)證本文算法對(duì)軟擴(kuò)頻信號(hào)偽碼序列估計(jì)的有效性。

偽碼序列使用gold序列生成,長度取N=127 chip,信息碼元按k=2,即M=4分為一組,SNR=-10 dB,樣本數(shù)目選為Nd=1 000組。仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 偽碼序列真實(shí)值與估計(jì)值對(duì)比Fig.5 Comparison of true value and estimated value of pseudo code sequences

由圖5可知,偽碼序列估計(jì)值的符號(hào)和真實(shí)值完全相同。因此,本文算法可以準(zhǔn)確估計(jì)出偽碼序列。

實(shí)驗(yàn) 3檢驗(yàn)偽碼序列碼型不同對(duì)軟擴(kuò)頻信號(hào)偽碼序列估計(jì)性能的影響。

偽碼序列分別使用m序列、gold序列、Walsh碼序列生成,長度取N=127 chip,樣本數(shù)目為Nd=1 000組,信息碼元按k=2分為一組進(jìn)行對(duì)比仿真實(shí)驗(yàn)。軟擴(kuò)頻信號(hào)偽碼序列估計(jì)的誤碼率如圖6所示。

圖6 不同碼型下偽碼序列估計(jì)誤碼率Fig.6 Error rate estimation for pseudo code sequences with different code types

由圖6可得,隨著SNR的下降,誤碼率不斷增加,而不同碼型下偽碼序列估計(jì)誤碼率相差不大。因此,不同偽隨機(jī)碼對(duì)本文算法的結(jié)果影響不大。

實(shí)驗(yàn) 4檢驗(yàn)信息碼元每組比特?cái)?shù)k對(duì)軟擴(kuò)頻信號(hào)偽碼序列估計(jì)性能的影響。

偽碼序列使用gold序列生成,長度取N=127 chip,樣本數(shù)目為Nd=1 000組,信息碼元分別按k=2,3,4分為一組進(jìn)行對(duì)比仿真實(shí)驗(yàn)。軟擴(kuò)頻信號(hào)偽碼序列估計(jì)的誤碼率如圖7所示。

圖7 不同k值下偽碼序列估計(jì)誤碼率Fig.7 Error rate estimation for pseudo code sequences with different k values

由圖7可得,在信息碼元分組不同的情況下,隨著SNR的增加,偽碼序列估計(jì)的誤碼率都在下降;并且在相同的SNR下,誤碼率隨著k值的增大而不斷增大。這是因?yàn)樵谄渌麠l件相同的情況下,隨著偽碼序列集合規(guī)模數(shù)的增大,屬于同一偽碼序列的數(shù)據(jù)組數(shù)相對(duì)減少,相互之間的干擾也隨之增大,判斷錯(cuò)誤的概率就不斷增加。

對(duì)于高SNR但是k較大時(shí),可以在粗分類后進(jìn)行二次分類,根據(jù)相似度將受噪聲影響較大的數(shù)據(jù)對(duì)象去除,再求初始簇中心,進(jìn)一步減小誤碼率,避免誤碼率無法降到0的情況出現(xiàn)。

實(shí)驗(yàn) 5檢驗(yàn)偽碼序列長度對(duì)軟擴(kuò)頻信號(hào)偽碼序列估計(jì)性能的影響。

偽碼序列使用gold序列生成,樣本數(shù)目為Nd=1 000組,信息碼元按k=2分為一組,長度分別取N=127 chip,255 chip,511 chip進(jìn)行對(duì)比仿真實(shí)驗(yàn)。不同偽碼序列長度下偽碼序列估計(jì)的誤碼率如圖8所示。

圖8 不同偽碼序列長度下偽碼序列估計(jì)誤碼率Fig.8 Error rate estimation for pseudo code sequence with different lengths of pseudo code sequence

由圖8可知,在偽碼序列長度不同的情況下,隨著SNR的增加,偽碼序列的估計(jì)誤碼率全部降低;并且隨著偽碼序列長度的增加,在相同SNR下誤碼率也在不斷降低。這是因?yàn)樵谄渌麠l件相同的情況下,抗干擾容限會(huì)隨著偽碼序列長度的增加而不斷增加,從而導(dǎo)致誤碼率不斷下降。

實(shí)驗(yàn) 6檢驗(yàn)不同樣本數(shù)目下對(duì)軟擴(kuò)頻信號(hào)偽碼序列估計(jì)性能的影響。

偽碼序列使用gold序列生成,長度取N=127 chip,樣本數(shù)目分別為Nd=1 000,500,300組,信息碼元按k=2分為一組進(jìn)行對(duì)比仿真實(shí)驗(yàn)。不同樣本數(shù)目下偽碼序列估計(jì)的誤碼率如圖9所示。

圖9 不同樣本數(shù)目下偽碼序列估計(jì)誤碼率Fig.9 Error rate estimation of pseudo code sequences under different sample numbers

由圖9可得,偽碼序列估計(jì)的誤碼率在樣本數(shù)目不同的情況下,均隨SNR升高而降低;并且在相同的SNR下,隨著樣本數(shù)目的減少,誤碼率也越來越高。因此,通過增加樣本數(shù)目,可以提高本文算法的性能。

實(shí)驗(yàn) 7比較不同算法對(duì)軟擴(kuò)頻信號(hào)偽碼序列估計(jì)的性能。

使用Walsh碼生成偽碼序列,長度取N=128 chip,樣本數(shù)目為Nd=400組,信息碼元按k=2分為一組,分別使用本文算法、改進(jìn)的K-means算法[13]和改進(jìn)近鄰傳播算法[14]進(jìn)行對(duì)比仿真實(shí)驗(yàn)。不同算法的偽碼序列估計(jì)誤碼率如圖10所示。

圖10 不同算法偽碼序列估計(jì)誤碼率對(duì)比Fig.10 Comparison of error rate of pseudo code sequence estimation by different algorithms

由圖10可得,在SNR為-10 dB時(shí),本文算法可以將誤碼率降至0.4%以下,而偽碼序列在-9 dB以上時(shí)幾乎完全估計(jì)準(zhǔn)確。并且在相同條件下,本文算法性能明顯優(yōu)于基于改進(jìn)近鄰傳播算法,與改進(jìn)K-means算法性能相當(dāng),但是改進(jìn)K-means算法隨著搜索次數(shù)的增加,計(jì)算量有所增大。

5 結(jié) 論

針對(duì)軟擴(kuò)頻信號(hào)偽碼序列盲估計(jì)的問題,本文利用不同偽碼序列之間的正交性,提出了SVD與K-means聚類相結(jié)合的方法。本文先對(duì)數(shù)據(jù)矩陣進(jìn)行SVD估計(jì)偽碼集合規(guī)模數(shù)、降噪。再根據(jù)相似性矩陣的右奇異矩陣進(jìn)行粗分類,初始聚類中心取同一類簇的平均值。最后,通過K-means算法進(jìn)行分類優(yōu)化,得到偽碼序列的估計(jì)值,并且根據(jù)分類結(jié)果可以得到信息序列。仿真實(shí)驗(yàn)證明了算法的有效性,在SNR-16 dB時(shí)仍然可以較為準(zhǔn)確估計(jì)出偽碼序列。相比于文獻(xiàn)[13]使用平均輪廓系數(shù)進(jìn)行偽碼序列集合規(guī)模數(shù)估計(jì),本文方法不需要多次聚類,計(jì)算量有所減少。與此同時(shí),本文也避免了隨機(jī)選取初始聚類點(diǎn)造成的結(jié)果不穩(wěn)定的問題。