非等量采樣偽碼跟蹤環(huán)建模分析

梁 芳， 趙林軍

(1.陜西理工學(xué)院 物理與電信工程學(xué)院， 陜西 漢中 723000;2.陜西理工學(xué)院 電氣工程學(xué)院， 陜西 漢中 723000)

0 引 言

直序列擴頻系統(tǒng)中常使用延遲抖動環(huán)(Delay-Locked Loop，DLL)實現(xiàn)收發(fā)偽碼相位同步[1]。根據(jù)偽碼長度與采樣頻率的關(guān)系，DLL又分為等量采樣環(huán)路(Commensurate Sampling Loop，CSL)與非等量采樣環(huán)路(Non-Commensurate Sampling Loop，NCSL)[2]。由于NCSL可在較低采樣條件下，實現(xiàn)較高的時間分別率而得到廣泛應(yīng)用。

2002年，QUIRK等[2]提出了NCS技術(shù)偽碼跟蹤環(huán)，并指出當偽碼每chip的時寬Tc與采樣間隔Ts滿足kTs=nTc時，跟蹤環(huán)路可獲得Tc/k的跟蹤精度，而沒有對采樣頻率與偽碼環(huán)路相關(guān)函數(shù)的影響進行分析。2006年，QUIRK等[3]對NCSL的累加時間進行了分析，提出環(huán)路的累積時長應(yīng)是未采樣偽碼周期與其一個整周期內(nèi)非等量采樣樣點數(shù)的最小公倍數(shù)。這對實時性要求較高的系統(tǒng)而言，工程上難以實現(xiàn)。2010年，柯颋等[4]論述了多普勒頻移可顯著改善等量采樣偽碼跟蹤環(huán)的時間分辨力，同時指出偽碼跟蹤環(huán)路的時間鑒別力與采樣頻率之間不存在簡潔的邏輯關(guān)系。因此，在偽碼跟蹤環(huán)路的數(shù)字化實現(xiàn)時，往往需要花費大量時間對其相關(guān)參數(shù)進行調(diào)試。2014年，JIN等[5]提出當η=Ts/Tc=I.d1d2…dv，累積相關(guān)時長L=10v(L是整數(shù)倍的偽碼周期長)，且η·10v與10v互素時，DLL中的收發(fā)偽碼互相關(guān)函數(shù)具有理想包絡(luò)。

綜上所述，當DLL環(huán)路中的偽碼碼片速率給定，由于系統(tǒng)中多種因素的影響，實際的NCSL采樣頻率不能滿足文獻[4]的約束條件，因此，按其難以評估采樣NCS技術(shù)的偽碼跟蹤環(huán)路的性能，且文獻[2-5]中給出的相關(guān)約束條件本身就難以實現(xiàn)。故研究NCSL偽碼跟蹤環(huán)的MATLAB建模與分析，對設(shè)計者快速評判NCSL環(huán)路具有實際工程意義。

1 偽碼DLL跟蹤環(huán)路的結(jié)構(gòu)及其參數(shù)設(shè)計

由文獻[3,6]知，目前在直擴通信系統(tǒng)中常使用DLL跟蹤環(huán)實現(xiàn)發(fā)信號偽碼與本地再生偽碼相位的同步，該環(huán)路的結(jié)構(gòu)如圖1所示。其中r(t)為接收到基帶直擴信號，r(k)為采樣量化器(ADC)的輸出。為了實現(xiàn)偽碼相位的精確同步，三路相關(guān)累積分別完成r(k)與本地再生偽碼的超前相位PN(k+1)、當前相位PN(k)和滯后相位PN(k-1)在一個或數(shù)個偽碼周期內(nèi)的相乘累加運算[7]，再按照相應(yīng)的鑒相算法由上述三路相關(guān)累積輸出量給出本地偽碼相位與接收信號中的偽碼相位的誤差e(k)，最后由e(k)控制本地再生偽碼發(fā)生器更新一組新的偽碼相位輸出PN(i)，(i=k+1，k，k-1)。其中，環(huán)路濾波器F(z)可使得本地偽碼相位平穩(wěn)轉(zhuǎn)移。NCO為本地偽碼發(fā)生器提供工作時鐘，在文中所述的仿真分析中，NCO由一個門限ε代替。當y(k)≥ε，本地偽碼再生器相位向左移動更新；當y(k)≤-ε時，本地偽碼再生器相位向右移動更新；當y(k)∈(-ε，ε)時，本地偽碼再生器相位不更新。

圖1 基帶偽碼跟蹤環(huán)原理

現(xiàn)就偽碼DLL跟蹤環(huán)中的相關(guān)算法簡述如下：設(shè)跟蹤環(huán)路的離散信號為

(1)

式中S為信號功率，d為符號，每符號1個完整的Gold碼長，k為采樣序號，kτ為信號傳輸時延τ經(jīng)離散后的值。DLL環(huán)路中的超前相關(guān)、當前相關(guān)與滯后相關(guān)分別為

(2)

式中累積時長L=nfsTb，其中n為正整數(shù)，Tb為符號d的寬度，即累積可在一個符號內(nèi)或多個符號內(nèi)進行。根據(jù)文獻[8]，環(huán)路鑒相算法采用歸一化點積功率型算法[9]，于是，鑒相器的輸出誤差e(k)為

(3)

環(huán)路中數(shù)字濾波F(z)采用理想二階數(shù)字濾波器，其傳遞函數(shù)為

(4)

濾波器F(z)系數(shù)C1與C2分別為

C1=4π·ξ·Bn·Tb,

C2=(2π·Bn·Tb)2,

(5)

式中ξ=0.707為阻尼系數(shù)，Bn為環(huán)路噪聲帶寬。環(huán)路濾波器的誤差輸出量為：

y(k)=(C1+C2)e(k)-C1e(k-1)+y(k-1)。

(6)

2 偽碼DLL環(huán)的非等量采樣

按照文獻[4]所述，圖1偽碼跟蹤環(huán)的實現(xiàn)有等量采樣與非等量采樣兩種技術(shù)。其中，采用等量采樣技術(shù)時，易引起時間分辨模糊現(xiàn)象，如圖2所示。其中的連續(xù)方波為實際信號的波形，時間軸上的“點”代表采樣位置，設(shè)偽碼每chip采2個樣點(Ts=1/fs)。由于采樣脈沖起始位置的不確定性，使得T1時刻DLL環(huán)路中本地再生偽碼采樣(如圖2(a)所示)與接收信號中的偽碼采樣(如圖2(b)所示)和T2時刻DLL環(huán)路中本地再生偽碼采樣與接收信號中偽碼采樣(如圖2(c)所示)相關(guān)時，結(jié)果將是完全一樣。而實際對應(yīng)的連續(xù)信號的相關(guān)顯然是存在差異。于是，等量采樣的偽碼跟蹤環(huán)就產(chǎn)生了時間跟蹤的模糊問題。

圖2 等量采樣時間分辨模糊示意圖

為此，QUIRK等[2-3]提出了非等量采樣技術(shù)，如圖3所示。圖中每碼片樣點數(shù)目不同，T1時刻偽碼跟蹤環(huán)路中收發(fā)偽碼互相關(guān)峰顯然是不同于T2時刻偽碼跟蹤環(huán)路中的偽碼互相關(guān)峰的，因此，二者是可分辨的。故采用NCS技術(shù)后，DLL環(huán)路可以區(qū)分圖2所示的時延τ1與時延τ2。

圖3 非等量采樣技術(shù)示意圖

3 仿真流程與代碼實現(xiàn)

基于MATLAB實現(xiàn)NCSL偽碼DLL環(huán)路的建模流程如圖4所示。其中，fso是基帶采樣頻率的中心頻率，Δ為采樣頻率變化區(qū)間最大距離，仿真采樣速率變化范圍為[fso-Δ/2，fso+Δ/2](單位為MHz)。v為采樣頻率變化步長。偽碼DLL跟蹤環(huán)路假設(shè)已實現(xiàn)±1/2 chip捕獲。為此程序設(shè)計每次相關(guān)后，本地偽碼的相位移動1 Sample。為了降低仿真實現(xiàn)難度，圖1中的信號樣點量化采用浮點數(shù)，不考慮量化誤差與運算誤差。

圖4 偽碼DLL跟蹤 環(huán)建模流程圖

從第二小節(jié)知，等量采樣偽碼DLL環(huán)路與非等量采樣偽碼DLL環(huán)路的最大區(qū)別是偽碼每碼片的采樣數(shù)不同。且由圖3可知，在采樣頻率給定的條件下，實際系統(tǒng)中信號的首樣點落在[0，Ts]區(qū)間具有不確定性。因此，基于MATLAB實現(xiàn)非等量采樣偽碼DLL環(huán)路的關(guān)鍵是實現(xiàn)對r(t)與本地再生偽碼PN(·)的非等量采樣。為了偽碼便于實現(xiàn)，r(t)中的每個符號(待傳數(shù)據(jù))采用一個完整的偽碼周期進行調(diào)制。故對r(t)與本地再生偽碼PN(·)的采樣具有相似性。

下文著重介紹偽碼的非等量采樣的實現(xiàn)。為論述方便，首先給出偽碼的非等量采樣函數(shù)的MATLAB代碼，具體如下：

function [out]=NCS(fs，fc，n，seq)； %n為1采樣間隔等分數(shù)

Ts=1/fs； %采樣間隔

Tc=1/fc； %偽碼每碼片時寬

len=length(seq)； %偽碼長

Sample_Delay=n-1； %設(shè)置首樣隨機時延

Start=randint(1，1，[1，Sample_Delay])；

kk=Start/(n*fs)； %計算首樣時延時間

i=1；

j=0；

while j

while kk

temp=mod(j，1023)+1；

out(i)=seq(temp)；

i=i+1；

kk=kk+Ts；

end

kk=kk-Tc；

j=j+1；

end

end

在NCS子函數(shù)中，seq是由為1 023 chip的Gold序列；Sample_Delay用于設(shè)置偽碼離散化首樣點時延范圍，該時延范圍的最大值為n，再由MATLAB系統(tǒng)自帶函數(shù)randint()在[0，Sample_Delay]范圍內(nèi)產(chǎn)生隨機時延，以模擬實際系統(tǒng)中的采樣脈沖的不確定性。這是因為計算機內(nèi)的數(shù)據(jù)均是離散的，而時間系統(tǒng)中，在[0，Ts]內(nèi)有無窮個時間點，為了簡化模擬，代碼中預(yù)設(shè)了一個變量n為[0，Ts]內(nèi)的預(yù)設(shè)等分數(shù)。如此以來，結(jié)合雙while嵌套語句，最終完成偽碼或信號r(t)的非等量采樣。

4 仿真結(jié)果與分析

以下是NCSL的仿真分析。

實驗1 Gold碼非等量采樣方法實現(xiàn)。為便于觀察，實驗參數(shù)設(shè)為：fc=1 023，fs=2 240，delay=9，代碼運行后，Start=7。在上述參數(shù)下，對應(yīng)離散后的結(jié)果，可視為[0，Ts]內(nèi)又分了10等分非等量采樣，從第7個點開始，以Ts為間隔分布。表1列出了NCS函數(shù)運行結(jié)果，其中所用符號與第3節(jié)NCS()函數(shù)中變量相對應(yīng)。

表1 偽碼NCS采樣結(jié)果表

結(jié)果分析：由表1可知，在實驗1參數(shù)條件下，文中所述的非等量采樣代碼運行后，在Gold碼的第4個碼片與第9個碼片內(nèi)采得3個樣點，而在第1、2、3、5、6、7、8、10碼片內(nèi)各采得2個樣點，可見文中所述的分等量采樣實現(xiàn)方法是正確的。

實驗2采樣頻率對非等量采樣DLL環(huán)路偽碼相關(guān)函數(shù)的影響分析。選擇采樣頻率，應(yīng)使得環(huán)路中的收發(fā)偽碼互相關(guān)函數(shù)R(τ)具有良好的對稱性，這是影響環(huán)路時延分辨力的關(guān)鍵。由于文獻[2-5]給出的約束關(guān)系在實際系統(tǒng)中難以長期滿足，故需要通過大量實驗對偽碼跟蹤環(huán)所使用的采樣頻率、相關(guān)累積時間進行評估。仿真參數(shù)設(shè)置為：BPSK偽碼采用1 023平衡Gold碼調(diào)制的基帶信號，符號噪聲比均為-10 dB。其中，偽碼速率為1.023 Mchip/s，采樣速率為(4.092+Δ) MHz/s，(Δ∈[-0.005，0.005])，頻率變化步長為1 kHz。偽碼DLL環(huán)中的累積時間L為一個完整的偽碼周期(具體點數(shù)由程序根據(jù)偽碼周期與所使用的采樣頻率自動計算獲得)。圖5畫出了DLL中偽碼互相關(guān)函數(shù)的5條曲線，為了便于觀察，它們分別取其各自互相關(guān)函數(shù)峰值左右各3個點所繪制。由圖5可以看出：(1)fs∈[4.089，4.091 9] MHz時，R(τ)在峰值左右均具有良好的對稱性；(2)fs≤4.087 MHz時，R(τ)的右斜邊下降較快；(3)fs>4.092 MHz時，R(τ)的左斜邊下降較快。

結(jié)果分析：若假設(shè)實際的非等量采樣偽碼DLL環(huán)路使用的采樣頻率的中心為4.090 MHz，信號r(t)中的多普勒頻移或采樣時鐘在(4.090±0.001) MHz內(nèi)變化時，環(huán)路中的偽碼相關(guān)函數(shù)仍具有良好的對稱性，即環(huán)路的時間分辨力仍保持良好。這一結(jié)論在更高采樣頻率時，具有類似情況出現(xiàn)。同時，采樣頻率對偽碼DLL中的偽碼互相關(guān)函數(shù)的峰值有一定影響，但其影響在該頻率窗內(nèi)大約為0.32 dB以內(nèi)?？紤]到這一因素，故非等量采樣偽碼跟蹤環(huán)所使用的采樣頻率小于4倍過采樣時，其捕獲門限的選擇應(yīng)以4倍等量采樣門限為準(由圖5看出，fs=4fc=4.092 MHz時，其偽碼互相關(guān)峰應(yīng)小于fs=4.091 9 MHz的偽碼互相關(guān)峰)。

同時，由圖5又可以得出：若在4倍偽碼速率附近實現(xiàn)非等量采樣偽碼跟蹤環(huán)路時，應(yīng)該選擇稍小于4倍的偽碼速率作為系統(tǒng)的采樣頻率，而不能選取稍高于4倍的偽碼速率為系統(tǒng)的采樣時鐘，這是由于采用前者可獲得偽碼捕獲門限的下界。而選擇后者，顯然難以確定這一門限值。

實驗3 非等量采樣偽碼DLL環(huán)路濾波器響應(yīng)分析。仿真參數(shù)設(shè)置同實驗2，環(huán)路噪聲帶寬Bn=2 Hz。圖6畫出了不同采樣頻率下，非等量采樣偽碼DLL環(huán)路濾波器輸出曲線。

圖5 NCSL環(huán)路自相關(guān)函數(shù)曲線 圖6 偽碼跟蹤環(huán)環(huán)路濾波器輸出曲線

結(jié)果分析：(1)按照實驗2條件，若偽碼跟蹤環(huán)路采用的采樣頻率fs<4fc時，環(huán)路可迅速收斂；當采樣頻率fs>4fc時，環(huán)路收斂速度較慢；(2)按照實驗2與實驗3的結(jié)論(1)選取恰當?shù)牟蓸宇l率后，與fs=4fc的等量采樣偽碼跟蹤環(huán)路的收斂性相比較，二者無明顯差別。

5 結(jié)束語

在直接序列擴頻系統(tǒng)中，由于信號中存在多普勒頻移以及本地時鐘的抖動等因素的制約，實際的偽碼跟蹤環(huán)路的參數(shù)設(shè)置難以滿足相關(guān)文獻報道的約束條件，為此，筆者采用MATLAB對非等量采樣偽碼DLL環(huán)進行了建模仿真分析。仿真結(jié)果表明：偽碼速率給定時，在近4倍(小于4倍)的過采樣偽碼跟蹤環(huán)中，存在一個大約2 kHz采樣頻率窗口，使得系統(tǒng)中所使用的采樣頻率落在該窗口內(nèi)時，偽碼DLL環(huán)路仍具有良好的時間分辨力。同時也發(fā)現(xiàn)，在相同條件下，當采樣頻率小于該頻率窗的下限時，偽碼DLL環(huán)中的偽碼互相關(guān)函數(shù)右斜邊下降快于其左斜邊；當采樣頻率大于該頻率窗的上限時，偽碼DLL環(huán)中的偽碼互相關(guān)函數(shù)左斜邊下降快于其右斜邊。同時，當fs4fc(“”表示稍小)時，NCSL與CSL無明顯差別。文中所述的結(jié)論顯然對非等量采樣環(huán)路的硬件實現(xiàn)具有工程意義。

文中主要以4倍偽碼速率采樣時鐘論述，但是其結(jié)論對更高的采樣頻率有類似結(jié)論。讀者在具體設(shè)計實現(xiàn)中，可依據(jù)相關(guān)參數(shù)，按照文中方法，進行環(huán)路參數(shù)分析，以確保偽碼跟蹤環(huán)路能良好工作。

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