殘差修正的GM(1，1)模型預(yù)測路基沉降量

郭亞宇

(1.陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院 軌道工程系， 陜西 渭南 714000；2.蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院， 甘肅 蘭州 730070)

0 引 言

路基的工后沉降預(yù)測在高速鐵路、客運(yùn)專線建設(shè)中具有重要意義，但由于各種理論計(jì)算方法本身的局限性及地質(zhì)條件的復(fù)雜性，完全依靠理論計(jì)算有時(shí)是不精確或不可能的。因此，常常需要根據(jù)前期實(shí)測沉降資料來預(yù)測后期沉降。目前利用沉降觀測資料，分析預(yù)測工后沉降的方法很多，常用的有雙曲線法、指數(shù)曲線法、三點(diǎn)法(對數(shù)曲線法)、星野法、沉降速率法、增長曲線法等等。但路基沉降是一個(gè)復(fù)雜的過程，它的影響因素較多，如地基的環(huán)境條件、地基土的應(yīng)力歷史、路堤填土的工程性質(zhì)、路堤填筑的高度和施工工期等，這些因素都不同程度地影響和制約著路基沉降。用上述單一方法推求工后沉降存在較大的誤差，所以可以考慮運(yùn)用灰色系統(tǒng)理論，把路基沉降看成一個(gè)灰色系統(tǒng)，建立灰色預(yù)估模型以分析路基沉降的發(fā)展變化。其中在沉降預(yù)測中應(yīng)用最為廣泛的是灰色理論中的GM(1，1)模型。然而預(yù)測實(shí)踐表明，以普通GM(1，1)進(jìn)行預(yù)測，用于中長期時(shí)，若灰參數(shù)a小于零，則x(1)(t)趨近于a/b，實(shí)際上a/b即為路基的最終沉降量，此時(shí)效果甚佳[1]。但若灰參數(shù)a大于零，則x(1)(t)趨近于零，顯然不符合實(shí)際情況，這時(shí)就會出現(xiàn)較大偏差，甚至完全失效。對此，本文提出了改進(jìn)措施，引入殘差修正的GM(1，1)預(yù)測模型，用于高速鐵路某試驗(yàn)段路基的沉降預(yù)測。實(shí)例驗(yàn)證表明，殘差修正模型的預(yù)測精度明顯高于普通GM(1，1)模型。

1 普通的GM(1，1)模型

取相同時(shí)間間隔內(nèi)的沉降增量數(shù)據(jù)序列X(0)為原始沉降數(shù)據(jù)序列，

X(0)={x(0)(1),x(0)(2),x(0)(3),…,x(0)(n)},

(1)

其中x(0)(i)≥0,i=1,2,…,n。

對式(1)所示原始沉降數(shù)據(jù)序列作一次累加生成，可以得到一次累加生成序列X(1)，

X(1)={x(1)(1),x(1)(2),x(1)(3),…,x(1)(n)},

(2)

記z(1)為X(1)的緊鄰均值生成序列，

Z(1)={z(1)(1),z(1)(2),…,z(1)(n)} ，

(3)

其中，z(1)(k)=0.5x(1)(k)+0.5x(1)(k-1),k=1,2,…,n。

根據(jù)灰色理論GM(1，1)模型，可以建立灰色微分方程[2]，

x(0)(k)+az(1)(k)=b,

(4)

其中a，b是需要通過建模求解的參數(shù)，可按最小二乘法求解：

(5)

則白化形式微分方程的解或稱時(shí)間響應(yīng)函數(shù)為

(6)

GM(1，1)模型灰色微分方程x(0)(k)+az(1)(k)=b的時(shí)間響應(yīng)序列為

(7)

取x(1)(0)=x(0)(1)，則還原序列為

(8)

2 殘差修正的GM(1，1)模型

2.1 理論依據(jù)

當(dāng)GM(1，1)模型對沉降序列進(jìn)行預(yù)測時(shí)，如果模型檢驗(yàn)精度不通過，或檢驗(yàn)精度屬于勉強(qiáng)通過，則可通過建立殘差修正的GM(1，1)模型來提高精度。該方法是針對已建立的GM(1，1)模型得到的殘差數(shù)列進(jìn)行殘差修正建立的。這個(gè)方法的實(shí)質(zhì)是在已經(jīng)得到的GM(1，1)模型的某項(xiàng)(就是殘差開始變大的時(shí)間點(diǎn)處)加上一個(gè)修正項(xiàng)，其它時(shí)間點(diǎn)處的值不變，從而達(dá)到部分修正模型、提高精度的目的。

2.2 模型的建立

如2.1所述，當(dāng)按照原始沉降序列X(0)建立的模型經(jīng)檢驗(yàn)不合格，或者雖然通過模型檢驗(yàn)，但預(yù)測精度不高，這時(shí)可以考慮建立殘差模型對原模型進(jìn)行修正[3-5]。

(9)

其中a′，b′為殘差模型的參數(shù)值；當(dāng)k≥i時(shí)，δ(k-i)=1，否則δ(k-i)=0。

2.3 模型的求解

模型的求解計(jì)算過程比較繁瑣，本文引入MATLAB軟件編程求解，使計(jì)算大大簡化。MATLAB基本的數(shù)據(jù)單位是矩陣，它可以直接進(jìn)行矩陣的乘積、乘方、除法、逆運(yùn)算等。在MATLAB語言系統(tǒng)中，幾乎所有的操作都是以矩陣操作為基礎(chǔ)。而在殘差修正的GM(1，1)模型灰色預(yù)測過程中，要進(jìn)行大量的數(shù)列和矩陣運(yùn)算，這使得MATLAB恰好派上了用場。本文在MATLAB程序編制過程中，結(jié)合灰色GM(1，1)模型和殘差修正的GM(1，1)模型，編制了相應(yīng)的M文件，在路基沉降預(yù)測過程中可直接調(diào)用相應(yīng)的M文件，實(shí)現(xiàn)了計(jì)算的自動化，降低了勞動強(qiáng)度，使得預(yù)測效率大幅提升。

3 預(yù)測模型精度的評價(jià)方法

建立了沉降預(yù)測的GM(1，1)模型和殘差修正的GM(1，1)模型后，為了比較和評定沉降預(yù)測模型的可信度，必須對模型的精度進(jìn)行評定[6]。常用的評定方法有以下兩種：

(1)殘差大小的檢驗(yàn)。對模型預(yù)測值和原始沉降數(shù)據(jù)序列逐點(diǎn)檢驗(yàn)。

(2)后驗(yàn)差檢驗(yàn)。它由后驗(yàn)差比值C和小誤差概率P這兩個(gè)指標(biāo)來描述，主要對殘差分布的統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行檢驗(yàn)，是灰色GM(1，1)模型精度檢驗(yàn)最重要的評定方法。一般情況下，按照這兩個(gè)指標(biāo)將模型精度分為4個(gè)等級[7]，如表1所示。

表1 檢驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)表

4 應(yīng)用實(shí)例

4.1 工程概況

路基某試驗(yàn)段DK0+240處地層為硬殼層厚3.6 m，軟土層厚12.6 m，粘土層厚5 m，其下為粉砂。深層攪拌樁加固軟土地基，加固深度15.5 m。在線路左側(cè)、線路中心、線路右側(cè)設(shè)置觀測點(diǎn)，分別埋設(shè)3個(gè)沉降板。限于篇幅，選取線路左側(cè)實(shí)測150～380 d的24組實(shí)測數(shù)據(jù)(見表2)作為原始沉降序列。線路中心線、線路右側(cè)的預(yù)測方法與此相同。

表2 線路左側(cè)實(shí)測數(shù)據(jù)

4.2 預(yù)測模型精度檢驗(yàn)

4.2.1 殘差檢驗(yàn)

為檢驗(yàn)普通GM(1，1)模型和殘差修正的GM(1，1)模型的擬合效果，將表2所示線路左側(cè)實(shí)測150～380 d的24組實(shí)測數(shù)據(jù)作為原始沉降序列，分別用普通GM(1，1)模型和殘差修正的GM(1，1)模型進(jìn)行擬合預(yù)測。由于計(jì)算過程較為復(fù)雜，本文選用MATLAB編程求解。為進(jìn)一步說明預(yù)測效果，將兩種模型的預(yù)測值和實(shí)測值進(jìn)行對比，并求出兩種模型的相對誤差。計(jì)算結(jié)果如表3和圖1、圖2所示。

表3 普通GM(1，1)模型和殘差修正的GM(1，1)模型預(yù)測對比表

圖1 模型擬合曲線與實(shí)測曲線對比圖 圖2 模型擬合相對誤差比較圖

由表3和圖1—2可知，普通GM(1，1)模型的擬合曲線與實(shí)測曲線吻合效果欠佳，最大相對誤差為-12.07%，說明普通GM(1，1)模型用于路基沉降的預(yù)測雖是可行的，但有時(shí)誤差會較大。而殘差修正的GM(1，1)模型的擬合曲線與實(shí)測曲線基本完全吻合，除個(gè)別點(diǎn)可能是由于觀測數(shù)據(jù)的原因使最大誤差達(dá)到-10.05%和-5.62%外，其余最大誤差僅為-3.04%，擬合效果較好。

4.2.2 后驗(yàn)差檢驗(yàn)

后驗(yàn)差比值C和小誤差概率P是灰色模型精度檢驗(yàn)的兩個(gè)重要指標(biāo)。為進(jìn)一步比較普通GM(1，1)模型和殘差修正GM(1，1)模型的預(yù)測精度。通過編程將兩個(gè)模型的后驗(yàn)差指標(biāo)和精度比較結(jié)果列于表4。

表4 后驗(yàn)差檢驗(yàn)表

由表4可知，殘差修正的GM(1，1)模型的預(yù)測精度明顯高于普通GM(1，1)模型的預(yù)測精度。

5 結(jié) 論

(1)GM(1，1)預(yù)測模型具有所需樣本數(shù)據(jù)少，預(yù)測精度高，計(jì)算簡單等優(yōu)點(diǎn)。但預(yù)測時(shí)段不宜過長，當(dāng)預(yù)測精度較低時(shí)，應(yīng)建立殘差修正模型對GM(1，1)模型進(jìn)行修正，使模型不斷優(yōu)化、更新[8]。

(2)現(xiàn)場實(shí)時(shí)監(jiān)測是非常重要的，現(xiàn)場實(shí)測數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確與否直接關(guān)系到后期模型的預(yù)測精度，將最新監(jiān)測信息添加到預(yù)測模型中可以提高預(yù)測的精度。另外在實(shí)際工程中采集的沉降觀測數(shù)據(jù)大部分都是非等間距的，在進(jìn)行預(yù)測前應(yīng)首先用數(shù)據(jù)插補(bǔ)的方法將非等間距數(shù)據(jù)序列轉(zhuǎn)化為等間距數(shù)據(jù)序列。

(3)本文提出的殘差修正的GM(1，1)模型的預(yù)測精度明顯高于普通GM(1，1)模型的預(yù)測精度，在路基沉降預(yù)測中有明顯的優(yōu)勢，值得在工程中推廣應(yīng)用。

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