在探索中感悟規(guī)律　在交流中升華認(rèn)知

[摘? 要] 在探究一次函數(shù)圖象和性質(zhì)的過程中，教師以生為本，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、操作、實(shí)驗(yàn)等實(shí)踐活動(dòng)自發(fā)地揭示蘊(yùn)含其中的規(guī)律，總結(jié)并歸納一般結(jié)論，讓學(xué)生體驗(yàn)自主探究的樂趣，從而有效地鍛煉學(xué)生的思維. 另外，在教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想方法和分類討論思想方法的應(yīng)用，能讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的簡潔美、嚴(yán)謹(jǐn)美，能有效地提升學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì).

[關(guān)鍵詞] 規(guī)律;自主探究;學(xué)習(xí)品質(zhì)

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，是揭示事物變化規(guī)律的有效手段，其理論和應(yīng)用涉及數(shù)學(xué)的各個(gè)分支，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位和價(jià)值是不言而喻的. 函數(shù)既重要，又難學(xué)，是被公認(rèn)的難以理解和掌握的內(nèi)容之一. 所以，想讓學(xué)生將函數(shù)及其相關(guān)內(nèi)容學(xué)懂學(xué)透，單純地靠教師被動(dòng)講授課本內(nèi)容或直接陳述結(jié)論是不夠的，教師還應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生去觀察、去操作、去實(shí)驗(yàn)、去交流、去反思，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)形成、發(fā)展與應(yīng)用的過程，引導(dǎo)學(xué)生通過自主探究發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，總結(jié)數(shù)學(xué)結(jié)論，以此促進(jìn)學(xué)生更深層次地理解數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).

下面筆者以“一次函數(shù)的圖象”一課為例，在教學(xué)中帶領(lǐng)學(xué)生通過多元探究感悟數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)之美，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.

設(shè)計(jì)思路

本課從學(xué)生已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，如函數(shù)概念、一次函數(shù)的表達(dá)式等，帶領(lǐng)學(xué)生通過觀察、實(shí)驗(yàn)、交流、反思等實(shí)踐活動(dòng)理解一次函數(shù)的性質(zhì). 同時(shí)，在實(shí)踐活動(dòng)中讓學(xué)生感悟分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想方法，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究積極性，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

在本課教學(xué)中，教師主要通過以下四個(gè)環(huán)節(jié)展開教學(xué)：一是通過探索發(fā)現(xiàn)當(dāng)k>0和k<0時(shí)，函數(shù)值y與自變量x之間存在怎樣的變化規(guī)律;二是通過探索發(fā)現(xiàn)當(dāng)k的值相等時(shí)，b的值對函數(shù)圖象的影響;三是解決問題;四是總結(jié)評價(jià).

課堂實(shí)錄

1. 回顧舊知，引出主題

師：一次函數(shù)的表達(dá)式是什么？

生（齊）：y=kx+b（k≠0）.（教師板書）

師：很好. 它反映的是函數(shù)值y與自變量x之間的變化規(guī)律. 今天，我們就在此基礎(chǔ)上深入地探究這種變化規(guī)律.

設(shè)計(jì)意圖通過簡單的舊知回顧，教師直接引出今天的探究主題. 同時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注函數(shù)值和自變量的變化規(guī)律，為接下來的性質(zhì)探究埋下伏筆.

2. 探究1——發(fā)現(xiàn)k值的秘密

（1）從“數(shù)”的角度出發(fā)

師：通過剛剛的回顧我們知道，一次函數(shù)表達(dá)式中有一個(gè)限定條件，即k≠0. 對這一限定條件的理解，在之前的教學(xué)中我們已經(jīng)重點(diǎn)分析過，這里就不再重復(fù). 那么當(dāng)k≠0時(shí)，k的值可以是什么呢？

生1：k>0或k<0.

師：很好，這樣我們在探究一次項(xiàng)系數(shù)時(shí)就需要分類討論了. 現(xiàn)在我們不妨先研究k>0時(shí)一次函數(shù)有何性質(zhì).

師：現(xiàn)給定一次函數(shù)y=2x+4，請?jiān)诒?中填寫對應(yīng)的函數(shù)值. （教師用PPT給出表1）

（教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生按照表格給出的順序填一填，2分鐘后，學(xué)生已經(jīng)全部填寫完畢）

師：觀察以上函數(shù)值，隨著自變量x的值的增大，y的值是如何變化的？

生2：y的值也逐漸增大.

師：很好. 也就是說，對于一次函數(shù)y=2x+4，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大. 那么是不是可以說所有k>0的一次函數(shù)都有這一性質(zhì)呢？

生3：利用一個(gè)函數(shù)就推導(dǎo)出這個(gè)性質(zhì)有些草率了，應(yīng)該再列舉一些一次函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證.

師：很好，現(xiàn)在請每人自選一個(gè)k>0的一次函數(shù)，然后組內(nèi)交流，看看你們有什么發(fā)現(xiàn).

設(shè)計(jì)意圖? 教師從學(xué)生最熟悉的“數(shù)”出發(fā)，通過直觀觀察得到函數(shù)值y隨自變量x變化的規(guī)律. 在以上教學(xué)中，教師先從特殊出發(fā)，通過對一次函數(shù)y=2x+4的探究，猜想一次函數(shù)的性質(zhì)，然后進(jìn)行一般性驗(yàn)證，其體現(xiàn)了從特殊到一般的處理方法. 同時(shí)，在驗(yàn)證猜想的過程中，學(xué)生雖然收獲了成功的喜悅，但是也體會(huì)到了列表的煩瑣和局限，這就為接下來從“形”的角度探究做了鋪墊.

（2）從“形”的角度出發(fā)

師：通過列表、觀察、猜想、驗(yàn)證，大家一致認(rèn)為，對于一次函數(shù)y=kx+b，當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大. 觀察表1不難發(fā)現(xiàn)，其數(shù)據(jù)有限，即使增加表格數(shù)量也難以呈現(xiàn)所有數(shù)值，那是否可以換一種形式來呈現(xiàn)函數(shù)呢？

生（齊）：可以用圖象來呈現(xiàn).

師：很好，接下來我們就從“形”的角度出發(fā)，借助一次函數(shù)的圖象來研究一次函數(shù)的性質(zhì).

師：請大家先畫出y=2x+4的圖象.（教師讓學(xué)生獨(dú)立操作）

師：現(xiàn)在我們一起來用幾何畫板畫一畫，看看老師畫的圖象和你們畫的是否一致.

生（齊）：一致.

師：請大家結(jié)合圖象說一說應(yīng)該如何表述剛才的性質(zhì).

生4：從左往右看，x的值在逐漸增大，y的值也在逐漸增大，圖象上升.

接下來教師動(dòng)畫演示圖象上一點(diǎn)A自左向右運(yùn)動(dòng)，相應(yīng)的函數(shù)值逐漸增大，點(diǎn)A逐漸上升.

師：請大家自己列舉一些一次函數(shù)，并畫一畫它們的圖象，看看是否也有發(fā)現(xiàn)剛剛的性質(zhì).

學(xué)生繼續(xù)繪制圖象，很快便有了答案. 教師投影展示學(xué)生繪制的圖象并互動(dòng)交流.

師：大家觀察一下，這些函數(shù)有何共同特征？

生5：當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)圖象自左向右看都是上升的.

師：由此可以得到什么結(jié)論？

生5：當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)值y隨自變量x的值的增大而增大.

師：很好，看來大家已經(jīng)可以進(jìn)行準(zhǔn)確的表述了. 利用“數(shù)”進(jìn)行分析時(shí)，我們不難發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)不能全部列舉出，所以具有一定的局限性，而借助“形”來進(jìn)行探究時(shí)，沒有“數(shù)”的輔助也難以看出函數(shù)值隨自變量的值改變的細(xì)微變化，但通過“數(shù)”與“形”的結(jié)合，則既嚴(yán)謹(jǐn)又明了.

設(shè)計(jì)意圖? 從表格到圖象，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)換，體驗(yàn)利用圖象解決問題的直觀、簡潔，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔美.

（3）“數(shù)”與“形”齊上陣

師：前面我們從“數(shù)”和“形”兩個(gè)角度對一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行猜想、驗(yàn)證，得到當(dāng)k>0時(shí)一次函數(shù)的性質(zhì)，接下來我們該研究什么呢？

生（齊）：研究當(dāng)k<0時(shí)一次函數(shù)的性質(zhì).

師：很好，請大家先猜想一下性質(zhì)會(huì)是怎樣的.

生6：當(dāng)k<0時(shí)，對于一次函數(shù)y=kx+b，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小.

師：很好，通過剛剛的活動(dòng)我們得到了新的猜想，但是猜想不能作為最終的數(shù)學(xué)結(jié)論，那接下來我們需要做什么呢？

生（齊）：驗(yàn)證.

師：具體如何做呢？

生7：可以和探究k>0時(shí)一樣，任選一個(gè)k<0的一次函數(shù)，先從“數(shù)”的角度出發(fā)列出表格，然后從“形”的角度出發(fā)畫出圖象，最后多角度分析，得到最終結(jié)論.

生8：一次函數(shù)的圖象為一條直線，這樣只要確定兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)就可以了.

師：生8說得非常好. 現(xiàn)在請大家各列舉一個(gè)函數(shù)，動(dòng)手畫一畫，并結(jié)合圖象說一說自己的發(fā)現(xiàn).

（教師讓學(xué)生各自畫圖，然后互動(dòng)交流）

師：請同學(xué)們根據(jù)自選的一次函數(shù)說一說自己的發(fā)現(xiàn).

生9：對于函數(shù)y=-2x+2，從圖象上看，自變量x逐漸增加時(shí)，函數(shù)值y逐漸減小.

師：我們用幾何畫板畫出一次函數(shù)y=-2x+2的圖象，看看是不是有同樣的發(fā)現(xiàn).（教師用幾何畫板進(jìn)行演示）

接下來教師又點(diǎn)名讓幾個(gè)學(xué)生根據(jù)自選圖形表述自己的發(fā)現(xiàn)，從而引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)、歸納出當(dāng)k<0時(shí)，一次函數(shù)的性質(zhì).

設(shè)計(jì)意圖? 該環(huán)節(jié)以學(xué)生的自主探究為主，教師讓學(xué)生根據(jù)前面的探究經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)、歸納當(dāng)k<0時(shí)一次函數(shù)的性質(zhì)，至此既可以完善學(xué)生的認(rèn)知，又能鍛煉學(xué)生的語言表達(dá)能力，還能提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力.

（4）鞏固運(yùn)用，深化理解

練習(xí)（略）.

設(shè)計(jì)意圖? 在此環(huán)節(jié)，教師借助具體應(yīng)用幫助學(xué)生加深對一次函數(shù)性質(zhì)的理解，并根據(jù)學(xué)生反饋進(jìn)行一些針對性的指導(dǎo)，以此讓學(xué)生掌握一次函數(shù)的性質(zhì).

3. 探究2——發(fā)現(xiàn)b值的秘密

師：若在同一平面直角坐標(biāo)系中繪制出兩個(gè)不同的一次函數(shù)圖象，兩圖象會(huì)有怎樣的位置關(guān)系？

生（齊）：相交或平行.

師：很好，從“形”的角度來看，可以得到以上兩種位置關(guān)系，那從“數(shù)”的角度出發(fā)，兩個(gè)一次函數(shù)表達(dá)式是否也存在某種特殊的關(guān)系呢？（教師鼓勵(lì)學(xué)生思考、猜測、交流）

師：帶著剛剛的問題，請同學(xué)們在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出以下3個(gè)函數(shù)的圖象（教師用PPT給出函數(shù)）

①y=2x;②y=2x+4;③y=2x-4.

（學(xué)生獨(dú)自畫圖，教師投影三個(gè)函數(shù)的圖象，并用幾何畫板畫出它們的圖象）

師：觀察以上圖象，它們具有怎樣的位置關(guān)系？

生（齊）：三條直線互相平行.

師：觀察函數(shù)①的圖象，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生10：該函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn).

師：很好，這個(gè)函數(shù)是我們之前學(xué)過的正比例函數(shù)，那么是不是所有的正比例函數(shù)都經(jīng)過原點(diǎn)呢？

生11：是的，因?yàn)閷τ谡壤瘮?shù)y=kx（k≠0），當(dāng)x=0時(shí)，y=0，所以所有正比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過原點(diǎn).

師：很好，觀察函數(shù)②和函數(shù)③的表達(dá)式，它們有什么特殊的地方嗎？

生12：這兩個(gè)函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)k相同.

師：很好，現(xiàn)在我們來驗(yàn)證一下以上三條直線是否平行.（教師引導(dǎo)學(xué)生通過平移進(jìn)行驗(yàn)證）

師：剛剛我們通過平移直線y=2x，發(fā)現(xiàn)其與y=2x+4和y=2x-4重合，從而驗(yàn)證了三條直線是平行的. 對于平移變換，大家并不陌生，那誰來說一說平移變換的兩個(gè)要素是什么？

生（齊）：方向和距離.

師：很好，請大家思考一下如何平移y=2x的圖象得到y(tǒng)=2x+4和y=2x-4的圖象呢？（生沉思）

生13：y=2x的圖象沿y軸向上平移4個(gè)單位長度后可以得到y(tǒng)=2x+4的圖象;y=2x的圖象沿y軸向下平移4個(gè)單位長度后可以得到y(tǒng)=2x-4的圖象.

師：很好. 那如何平移y=2x的圖象可以得到y(tǒng)=2x+7和y=2x-6的圖象呢？

生14：把y=2x的圖象沿y軸向上平移7個(gè)單位長度后可得y=2x+7的圖象;沿y軸向下平移6個(gè)單位長度后可得y=2x-6的圖象.

師：很好. 那么對于一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象，可以由y=kx（k≠0）的圖象通過怎樣的平移得到呢？（生沉思）

生15：這個(gè)需要分類討論. 若b>0，則把y=kx（k≠0）的圖象沿y軸向上平移b個(gè)長度單位;若b<0，則把y=kx（k≠0）的圖象沿y軸向下平移b個(gè)長度單位.（教師進(jìn)一步利用規(guī)范語言進(jìn)行表述并板書）

設(shè)計(jì)意圖? 由兩直線的位置關(guān)系誘發(fā)學(xué)生思考表達(dá)式中的特殊關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過由特殊到一般的轉(zhuǎn)化得到一次函數(shù)的又一性質(zhì)，讓學(xué)生體驗(yàn)探究數(shù)學(xué)的樂趣.

4. 解決問題，深化理解

師：剛剛我們借助一次函數(shù)的圖象探索了一次函數(shù)的性質(zhì)，現(xiàn)在我們來看看能不能靈活運(yùn)用一次函數(shù)的性質(zhì)解決問題.（教師用PPT給出如下例題）

例題：已知一次函數(shù)y=2x+4.

（1）當(dāng)x=3.5時(shí)，y=______.

（2）當(dāng)y=-2時(shí)，x=______.

（3）當(dāng)x為何值時(shí)，y>0，y=0，y<0？

對于第（1）問和第（2）問，學(xué)生通過代入法順利得到了答案，本題的焦點(diǎn)集中在第（3）問的解決上.

師：對于第（3）問，你們的答案是什么？

生16：當(dāng)x>-2時(shí)，y>0;當(dāng)x=-2時(shí)，y=0;當(dāng)x<-2時(shí)，y<0.

師：說一說你是如何得到這一結(jié)果的.

生16：我是通過解方程和解不等式得到的. 例如，y>0就是2x+4>0，易解得x>-2.

師：這是個(gè)不錯(cuò)的方法，其他人還有不同的求解方法嗎？

生17：畫出一次函數(shù)y=2x+4的圖象，當(dāng)x=-2時(shí)，y=0;在x軸上方的部分就是y>0，在圖象上表現(xiàn)為x>-2;在x軸下方的部分就是y<0，在圖象上表現(xiàn)為x<-2.

師：很好，利用圖象來判斷也是一個(gè)非常不錯(cuò)的方法. 那利用今天所學(xué)，你們能發(fā)現(xiàn)第3種解法嗎？

生17：在一次函數(shù)y=2x+4中，一次項(xiàng)系數(shù)大于0，由一次函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大，而當(dāng)x=-2時(shí)y=0，所以當(dāng)x>-2時(shí)，y>0;當(dāng)x<-2時(shí)，y<0.

設(shè)計(jì)意圖? 在解決問題的過程中培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)由知識(shí)向能力轉(zhuǎn)化. 同時(shí)，教師鼓勵(lì)和引導(dǎo)學(xué)生尋求不同的解決問題的方法，鍛煉學(xué)生的思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

5. 總結(jié)歸納，認(rèn)知升華

此環(huán)節(jié)，教師先鼓勵(lì)學(xué)生通過互動(dòng)交流對所學(xué)內(nèi)容、方法、問題進(jìn)行總結(jié)和歸納，然后通過師生互動(dòng)對結(jié)論進(jìn)一步規(guī)范，從而幫助學(xué)生建構(gòu)準(zhǔn)確、完善的認(rèn)知. 總結(jié)歸納后，教師又提出這樣一個(gè)問題：你能畫出一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象嗎？希望學(xué)生通過“畫”實(shí)現(xiàn)認(rèn)知的升華.

設(shè)計(jì)意圖? 通過課堂小結(jié)引導(dǎo)學(xué)生反思、回顧，不僅可以讓學(xué)生從總體上把握知識(shí)，而且能強(qiáng)化學(xué)生對新知的理解. 在小結(jié)過程中，教師精心創(chuàng)設(shè)問題，引導(dǎo)學(xué)生畫出如圖1所示的圖象，并通過“畫”進(jìn)一步理解一次函數(shù)的性質(zhì). 同時(shí)，能讓學(xué)生體驗(yàn)“形”的簡單明了，感悟分類討論的科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性，從而提高學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)的運(yùn)用能力.

教學(xué)思考

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，部分教師認(rèn)為一次函數(shù)比較基礎(chǔ)、簡單，沒有必要大費(fèi)周章地進(jìn)行數(shù)學(xué)探究. 他們認(rèn)為只要將性質(zhì)、圖象等相關(guān)知識(shí)講授給學(xué)生，學(xué)生也能理解和接受. 但是，教師要認(rèn)識(shí)到，學(xué)生對一次函數(shù)的認(rèn)知過程同樣適用于認(rèn)知其他函數(shù)，若學(xué)生能夠掌握一次函數(shù)性質(zhì)的研究方法，那么今后他們在研究反比例函數(shù)、二次函數(shù)，乃至高中階段其他函數(shù)的時(shí)候，也能駕輕就熟. 此外，數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，還能讓學(xué)生在理解知識(shí)的同時(shí)，更好地理解數(shù)學(xué)，理解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)從學(xué)生的實(shí)際學(xué)情出發(fā)，為學(xué)生搭建一個(gè)探索的舞臺(tái)，鼓勵(lì)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、去探索、去應(yīng)用，以此提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).

作者簡介：單小燕（1980—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.