基于“做數(shù)學(xué)”的初中數(shù)學(xué)教學(xué)實踐研究

李雅云　黃立紅

[摘? 要] “做數(shù)學(xué)”是學(xué)生在教師的指導(dǎo)下通過操作體驗、數(shù)學(xué)實驗和綜合實踐，形成系統(tǒng)的、結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識，從而真正享受完整的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的一種學(xué)習(xí)方式. 有數(shù)據(jù)表明， “做數(shù)學(xué)”能促進學(xué)生深度學(xué)習(xí). 在“做數(shù)學(xué)”的過程中，學(xué)生積極主動地參與了數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展和形成過程，因此，“做數(shù)學(xué)”有助于學(xué)生理解和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想、知識和方法，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性與積極性，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，促進學(xué)生深度學(xué)習(xí)的發(fā)生.

[關(guān)鍵詞] “做數(shù)學(xué)”;初中數(shù)學(xué);教學(xué)實踐

問題提出

一直以來，急功近利的數(shù)學(xué)教育觀念，致使義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)教學(xué)普遍存在過程形式化、目標(biāo)功利化的問題，學(xué)生的感官在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中并未得到充分調(diào)動，學(xué)生的思維并未得到充分激活，學(xué)生的情緒難以獲得正面輸出. 基于以上問題，受到歐美廣泛推行的“hand-on”學(xué)習(xí)計劃的影響，以陶行知“教學(xué)做合一”和杜威“從做中學(xué)”的教育思想為理論基礎(chǔ)的“做數(shù)學(xué)”，越來越受數(shù)學(xué)教育工作者重視[1]. 學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不該只是記、背、練、考數(shù)學(xué)，而應(yīng)該是“做數(shù)學(xué)”. “做數(shù)學(xué)”可以讓學(xué)生在“做”的過程中，經(jīng)歷知識的產(chǎn)生過程、豐富知識的表征方式、觸及知識的基本原理，有利于抽象的數(shù)學(xué)知識直觀化、可視化. 可見，“做數(shù)學(xué)”是促進學(xué)生深度理解知識的重要學(xué)習(xí)方式. 因此，本文基于“做數(shù)學(xué)”的視角，結(jié)合教學(xué)實踐闡述基于“做數(shù)學(xué)”的教學(xué)實踐的實效，從而打造基于“做數(shù)學(xué)”的課型范式.

理論基礎(chǔ)

1. “做數(shù)學(xué)”

“做數(shù)學(xué)”是學(xué)生在教師的指導(dǎo)下進行操作體驗、數(shù)學(xué)實驗和綜合實踐，在“做”的過程中積累豐富的直接經(jīng)驗，在教師的有意識指導(dǎo)下自主歸納和總結(jié)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)規(guī)律，并進行加工概括，將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識整理成數(shù)學(xué)公式或數(shù)學(xué)命題，力求形成系統(tǒng)的、結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識體系，從而享受完整的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的一種學(xué)習(xí)方式. 在“做數(shù)學(xué)”的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生主動參與數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展和形成過程，有助于理解和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想、知識和方法，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性與積極性，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，促進深度學(xué)習(xí)的實現(xiàn).

“做數(shù)學(xué)”的學(xué)習(xí)過程如圖1所示.

2. 深度學(xué)習(xí)

深度學(xué)習(xí)致力于激發(fā)學(xué)生的內(nèi)在學(xué)習(xí)動機，通過設(shè)置引領(lǐng)性學(xué)習(xí)主題、挑戰(zhàn)性學(xué)習(xí)任務(wù)或活動以及持續(xù)性的學(xué)習(xí)評價，吸引學(xué)生積極主動地、全身心地投入學(xué)習(xí)活動中，感受學(xué)習(xí)的樂趣，體會學(xué)習(xí)的價值與意義，不斷生成成就感和效能感，進而達到為理想和熱愛而學(xué)習(xí)的境界. 深度學(xué)習(xí)具備如下五個特征：活動與體驗，本質(zhì)與變式，聯(lián)想與結(jié)構(gòu)，遷移與創(chuàng)造，價值與評判. 研究認為 “做數(shù)學(xué)”有利于促進學(xué)生深度學(xué)習(xí)，因為學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”的過程中經(jīng)歷探究歷程，激活高階思維;貫通思想方法，掌握知識本質(zhì);順應(yīng)原有認知，把握知識脈絡(luò). 進而激發(fā)學(xué)生深層質(zhì)疑，發(fā)展深度思維，最終實現(xiàn)深度學(xué)習(xí).

基于“做數(shù)學(xué)”的教學(xué)實踐實例

基于“做數(shù)學(xué)”的教學(xué)實踐主要是通過操作體驗、數(shù)學(xué)實驗和綜合實踐來實現(xiàn)手腦協(xié)調(diào)、啟思明理的目的. 下面分別從操作體驗、數(shù)學(xué)實驗和綜合實踐三個角度利用課堂實例（如表1所示）說明平時初中數(shù)學(xué)教學(xué)如何設(shè)計基于“做數(shù)學(xué)”的教學(xué).

1. 操作體驗

操作體驗主要表現(xiàn)為通過具體的操作，使得數(shù)學(xué)概念或運算法則具體化、形象化，為進一步抽象概念或者提煉運算法則奠定基礎(chǔ)[2]. 操作體驗活動能讓抽象可視化，能賦予抽象運算直觀上的意義，從而激活創(chuàng)新意識.

例如，教學(xué)八年級上冊“三角形的內(nèi)角和公式”時，教師設(shè)置動手操作環(huán)節(jié)：通過量一量、剪一剪、拼一拼、折疊等操作活動，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷三角形內(nèi)角和的探究過程;通過剪拼，將三個角拼成平角180°，從轉(zhuǎn)移兩個角（分為同側(cè)和異側(cè)兩種情況）到轉(zhuǎn)移三個角（可以轉(zhuǎn)移到三角形的內(nèi)部、外部和三角形的邊上），為學(xué)生證明三角形的內(nèi)角和定理提供證明思路，培養(yǎng)學(xué)生觀察、思考、分析、解決問題的能力.

又如，教學(xué)七年級下冊“點、線、面、體”中的“認識幾何體”時，教師設(shè)置了兩個觸感活動. 活動1，袋子中裝有若干個幾何體模型，請學(xué)生從袋子里摸出指定的幾何體，并拿給其他同學(xué)看，看誰找得快，并說說是怎么找到的. 活動2，請兩名學(xué)生合作完成以下活動：一名學(xué)生摸著一個幾何體模型，向另一名學(xué)生描述這個幾何體的特征（用數(shù)學(xué)語言精準(zhǔn)且有條理地表達），另一名學(xué)生則根據(jù)描述說出該幾何體的名稱. 兩名學(xué)生交替進行此活動. 通過這兩個活動，學(xué)生將觸感轉(zhuǎn)化為了數(shù)學(xué)語言，既有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達能力，又有利于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力.

再如，教學(xué)八年級上冊“整式乘法運算”時，教師讓學(xué)生自備若干正方形、長方形，并引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)乘法公式將圖形進行分割、拼接——由數(shù)到形，接著利用正方形、長方形拼湊出可證明乘法公式的圖形——由形到數(shù). 可見，設(shè)置活動能讓抽象的數(shù)學(xué)公式可視化，能賦予抽象運算直觀上的意義，從而激活學(xué)生的創(chuàng)新意識.

2. 數(shù)學(xué)實驗

數(shù)學(xué)實驗旨在通過操作探究、發(fā)現(xiàn)證明等方法來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué). 數(shù)學(xué)實驗是指學(xué)生在教師指導(dǎo)下，利用一定的數(shù)學(xué)工具（實物或幾何畫板軟件），通過動手操作、觀察思考、歸納抽象等過程嘗試建構(gòu)數(shù)學(xué)概念，驗證數(shù)學(xué)結(jié)論，進而探索數(shù)學(xué)規(guī)律，最終解決數(shù)學(xué)問題的一種學(xué)習(xí)方式.

例如，教學(xué)八年級下冊“一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)”時，教師通過軟件（幾何畫板）加密點，來猜想一次函數(shù)的圖象，使得教學(xué)過程更加直觀、明了;通過追蹤點，來驗證對一次函數(shù)圖象的猜想. 可見，數(shù)學(xué)實驗?zāi)茏寯?shù)學(xué)學(xué)習(xí)更加直觀有效，有利于排除學(xué)生的思維障礙，有助于培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)目茖W(xué)精神，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更加生動有趣.

又如，教學(xué)“‘標(biāo)記法：池塘里有多少魚？”時，要解決這個問題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考以下問題：一個瓶子里裝滿了黃豆，請問可以用什么方法估計出瓶子中豆子的數(shù)量. 為了解決這個問題，學(xué)生決定動手實驗. 可見，數(shù)學(xué)實驗?zāi)軐⒃倦y以操作和實踐的問題轉(zhuǎn)化為可操作、可視的數(shù)學(xué)實驗，且學(xué)生在數(shù)學(xué)實驗的過程中可以重新認識自己，并重構(gòu)數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu).

3. 綜合實踐

綜合實踐，即通過實踐、思考、運用、解決問題來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué). 綜合實踐是以學(xué)生的經(jīng)驗與生活為核心的實踐性課程，強調(diào)學(xué)生通過實踐活動，增強探究和創(chuàng)新意識，從而發(fā)展學(xué)生綜合運用知識的能力. 綜合實踐是以實際問題為載體，以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習(xí)活動. 學(xué)生在綜合實踐活動中會充分調(diào)動各個感官：動腦、動手、動口，從而全身心地投入其中[3].

例如，教學(xué)九年級下冊“相似三角形的應(yīng)用”時，教師設(shè)計了“室外測量一棵大樹的高度”這一活動，從課前工具準(zhǔn)備、現(xiàn)場實際問題解決以及數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用中，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣被極大地激發(fā)了，這有助于學(xué)生理解和把握數(shù)學(xué)思想、知識和方法，能進一步發(fā)展學(xué)生綜合運用知識的能力.

4. 以“圓周角定理”為例，設(shè)計基于“做數(shù)學(xué)”的教學(xué)實踐范例

“圓周角定理”的課程內(nèi)容是理解圓周角的概念，探索圓周角及圓周角所對弧的關(guān)系，了解并證明圓周角. 學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，教師進行了一次問卷調(diào)查，主要是調(diào)查學(xué)生更感興趣的課堂學(xué)習(xí)方式. 本調(diào)查選取的是×中學(xué)的450名九年級學(xué)生. 本次調(diào)查共發(fā)放問卷450份，收回450份，有效問卷435份，有效率約96.7%. 本次調(diào)查問卷的內(nèi)容如圖2所示，結(jié)果如表2所示.

調(diào)查結(jié)果顯示，有58.3%的學(xué)生對第1題中的學(xué)習(xí)方式非常感興趣;有41.5%的學(xué)生對第2題中的學(xué)習(xí)方式非常感興趣;且對比第一題和第二題中的學(xué)習(xí)方式，學(xué)生更傾向于同桌互動這一學(xué)習(xí)方式. 有57.1%的學(xué)生對第3題中的學(xué)習(xí)方式非常感興趣，有61.5%的學(xué)生對第4題中的學(xué)習(xí)方式非常感興趣，可見，學(xué)生對幾何畫板、自制教具等化靜態(tài)模型為可視化動態(tài)模型的學(xué)習(xí)方式情有獨鐘.

于是，教師根據(jù)課程內(nèi)容及問卷調(diào)查結(jié)果，設(shè)置了基于“做數(shù)學(xué)”的四個學(xué)習(xí)活動（如表3所示）.

活動1：“你說我畫”操作體驗活動

“你說我畫”活動，即類比圓心角的定義給圓周角下定義：一名學(xué)生用自己的話描述什么是圓周角，另一名學(xué)生根據(jù)描述嘗試畫出反例，兩名學(xué)生在不斷糾正概念的過程中最終得到正確且簡潔的圓周角定義. 通過動手、動腦、動口的操作體驗，學(xué)生主動參與圓周角概念的發(fā)生、發(fā)展和形成過程，對數(shù)學(xué)概念的理解更加深刻.

活動2：畫圖、度量等操作體驗活動

任取弧AB，畫出它所對的圓心角∠AOB和它所對的圓周角∠ACB. 觀察并測量∠ACB與∠AOB. 小組討論結(jié)果，并說說猜想. 教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會通過畫圖、觀察、度量、歸納等操作體驗，去探究數(shù)量關(guān)系型問題，在操作中感悟?qū)嵺`出真知. 通過活動，培養(yǎng)學(xué)生動手參與操作、自主探索、大膽猜測的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣，從而形成解決數(shù)量關(guān)系型問題的研究思路.

活動3：（幾何畫板）數(shù)學(xué)實驗活動

教師指導(dǎo)學(xué)生融合信息技術(shù)，借助幾何畫板軟件，動態(tài)地展示一條弧所對的圓周角和圓心角的數(shù)量關(guān)系，以驗證數(shù)學(xué)猜想. 通過幾何畫板（數(shù)學(xué)實驗）來驗證數(shù)學(xué)結(jié)論，能使問題更加形象、直觀，能培養(yǎng)學(xué)生的信息技術(shù)應(yīng)用意識，還能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

活動4：操作體驗活動——使用自制圓周角模型教具觀察、思考

證明圓周角定理時，利用口罩繩及硬紙片自制圓周角模型教具，引導(dǎo)學(xué)生親自操作體驗，感受數(shù)學(xué)是可操作的、可視的. 學(xué)生在操作中觀察、研討、歸納，感悟證明圓周角定理的關(guān)鍵是分類討論思想，從而為圓周角定理的證明提供思路.

教育家蘇霍姆林斯基說過：“手和腦之間有著千絲萬縷的聯(lián)系，手使腦得到發(fā)展，使它更加明智. ”因此，在數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生動手操作，如拼一拼、折一折、剪一剪、量一量、畫一畫，要給學(xué)生提供盡可能多的動手、動腦、動口機會，從而激發(fā)他們參與學(xué)習(xí)的興趣，使他們樂學(xué)、善學(xué).

價值與反思

基于“做數(shù)學(xué)”的教學(xué)實踐既是一種重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，也是學(xué)生進行有效數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要途徑. 教學(xué)初中數(shù)學(xué)時，教師要認識到“做數(shù)學(xué)”能夠優(yōu)化數(shù)學(xué)探究，使問題得到解決，并促進深度學(xué)習(xí)實現(xiàn). 基于“做數(shù)學(xué)”的教學(xué)實踐的顯著價值在于，能培養(yǎng)學(xué)生的實踐能力和創(chuàng)新精神，能推進教與學(xué)方式的改革.

1. 培養(yǎng)學(xué)生的實踐能力和創(chuàng)新精神

教師常常因自己對學(xué)生心理認知的缺失而低估學(xué)生的創(chuàng)造力，并會在無意間扼殺學(xué)生探索新事物的興趣和熱情的天性. 在“做數(shù)學(xué)”的過程中，教師設(shè)計的一系列動眼觀察、動手操作、動腦思考的實踐活動，能引導(dǎo)學(xué)生自主獲取所需的“事實”（基本概念），進一步領(lǐng)悟概念的本質(zhì);“做數(shù)學(xué)”的過程能延長知識的獲得過程，能給學(xué)生提供足夠多的感悟知識的時間和空間，從而讓學(xué)生獲得“如何思考”的智慧. 特別是處于基礎(chǔ)地位的概念、原理的學(xué)習(xí)，更強調(diào)讓學(xué)生通過動手“做數(shù)學(xué)”來獲得親身感悟，從而經(jīng)歷“感知—感悟—知識”的過程，使得學(xué)生最終獲得的不只是知識，還有智慧[4]. 因此，基于“做數(shù)學(xué)”的教學(xué)實踐有助于培養(yǎng)學(xué)生的綜合實踐能力和創(chuàng)新精神.

2. 推進教與學(xué)方式的改革

基于“做數(shù)學(xué)”的教學(xué)實踐是一種體驗式學(xué)習(xí)方式，學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”的過程中可以獲得抽象數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)原理的直接體驗. 通過“做數(shù)學(xué)”，學(xué)生不僅經(jīng)歷了數(shù)學(xué)對象的要素、數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵的抽象過程，數(shù)學(xué)法則、性質(zhì)、定理、公式等的歸納和發(fā)現(xiàn)過程，而且會產(chǎn)生“如何研究”“如何發(fā)現(xiàn)”的方法論感悟. “做數(shù)學(xué)”改變了傳統(tǒng)的接受式學(xué)習(xí)方式，同時對教師的教學(xué)方式提出了極大的挑戰(zhàn)，所以教師要改變以往“滿堂灌”的教學(xué)方式，要重在引領(lǐng)，做一位合格的領(lǐng)路人. 因此，基于“做數(shù)學(xué)”的教學(xué)實踐能推進教與學(xué)方式的改革，能使數(shù)學(xué)知識成為學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的結(jié)果，并有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，對數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟[4]，從而促進學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.

參考文獻：

[1]章建躍. “做數(shù)學(xué)”的育人價值探討[J]. 教育研究與評論，2021（03）：27-29.

[2]章建躍. 課程改革呼喚數(shù)學(xué)實驗[J]. 江蘇教育，2017（27）：18.

[3]郭慶松. 做數(shù)學(xué)：思想淵源與課程實施[J]. 教育研究與評論，2022（02）：38-43.

[4]郭慶松. 在“做數(shù)學(xué)”中促進深度理解[J]. 教育研究與評論，2021（03）：30-35.

基金項目：福建省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2022年度課題“基于‘做數(shù)學(xué)的初中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)教學(xué)實踐研究”（FJJKZX22-295）.

作者簡介：李雅云（1988—），碩士研究生，一級教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育研究工作.