精構(gòu)框圖析題型,提升專題復(fù)習(xí)效率

[摘? 要] 二輪專題復(fù)習(xí)是中考復(fù)習(xí)的重要組成部分，是提升學(xué)生能力的重要途徑. 文章以“代數(shù)中的多元問題”為例，通過構(gòu)建題型框圖，引導(dǎo)學(xué)生有效掌握題型特征和解題思路，為專題教學(xué)提供新的模式.

[關(guān)鍵詞] 題型框圖;多元問題;專題復(fù)習(xí);中考復(fù)習(xí)

問題提出

專題復(fù)習(xí)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，是深化知識理解、提升學(xué)生能力的重要途徑. 針對中考第二輪復(fù)習(xí)的專題復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計，要注重歸納題型特征，力求清晰地描述某類題目的概貌和細(xì)節(jié)，解決“這是一類怎樣的題”這一問題;要注重闡明解題思路、方法等，努力尋求通性通法或?qū)ｎ}專法，解決“這類題是怎樣解的”這一問題;要注重教學(xué)方法，讓學(xué)生更好地掌握解法，領(lǐng)會思想，發(fā)展能力，解決“這類題是怎么教的”這一問題. 如何有效地突破上述三個問題，一直是中考專題復(fù)習(xí)教學(xué)研究的內(nèi)容和方向.

在杭州市各類考試中常出現(xiàn)以下試題：

（2016浙江杭州中考）已知關(guān)于x的方程=m的解滿足x-y=3-n，

x+2y=5n， 其中01，則m的取值范圍是______.

（2018杭州西湖期末）已知三個非負(fù)實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+2b=1，c=5a+4b，則b的取值范圍是______，c的取值范圍是______.

這些試題常為考試壓軸題，其共同特征是題干中含有多個字母，解題目標(biāo)為確定某個字母或者代數(shù)式的取值范圍. 我們稱這樣的題目為代數(shù)中的多元問題. 以此類問題的解決為載體進(jìn)行教學(xué)，可以提升學(xué)生的代數(shù)知識綜合應(yīng)用能力. 為突破此類試題，教師可以設(shè)計專題進(jìn)行復(fù)習(xí).

專題剖析

1. 專題初探

代數(shù)中的多元問題在初中階段的源頭是二元一次方程組，解題的基本思想是消元，即利用代入消元法或加減消元法得到僅含一個字母的等式（方程），從而解得未知數(shù)的值. 上述試題亦可通過消元，得到僅含一個字母的不等式或代數(shù)式，從而得到相應(yīng)字母的取值范圍或目標(biāo)代數(shù)式的取值范圍. 將專題的題型特征和解題思路初步歸納后如圖1所示.

此類試題的題型特征為：題干含有多個等式，且等式中含有多個字母，求目標(biāo)代數(shù)式（含單個字母）的（最）值或取值范圍. 其解題要領(lǐng)為：會用代入消元法、加減消元法求出目標(biāo)代數(shù)式的值，或者結(jié)合題目條件確定主元，將目標(biāo)代數(shù)式轉(zhuǎn)化為僅含主元的代數(shù)式，再根據(jù)已知或隱含的對主元的限制條件，利用不等式、函數(shù)等工具求得目標(biāo)代數(shù)式的值或取值范圍. 這樣的解題方法，稱為主元法.

2. 教學(xué)策略

此類專題涉及的知識面廣，知識縱深程度大，可采用以下策略，結(jié)合學(xué)情，用1～3個課時進(jìn)行教學(xué).

（1）分層定級，選擇性設(shè)計. 根據(jù)題設(shè)條件，確定下面不同層級的教學(xué)目標(biāo)（如表1所示）.

[ 教學(xué)目標(biāo) 對應(yīng)層次 1. 能用消元法解二元一次方程組，能解基于二元一次方程組的代數(shù)式求值問題. A 2. 會解基于含參二元一次方程組的代數(shù)式取值范圍問題. B 3. 會解基于多元方程組的代數(shù)式取值范圍問題. C ][表1]

題設(shè)條件的難易程度及將目標(biāo)代數(shù)式轉(zhuǎn)化時利用代數(shù)模型的不同難度決定了各類試題的難度. 解數(shù)字系數(shù)的二元一次方程組是最常見、最簡單的多元問題，所有學(xué)生都要會，所以將其層次設(shè)置為A層;含參問題對計算能力和解題目標(biāo)的轉(zhuǎn)化能力要求較高，所以將其層次設(shè)置為B層;求解基于多元方程組的問題需要一定的解題技巧，對問題的轉(zhuǎn)化能力要求更高，此類題只針對學(xué)優(yōu)生，所以將其層次設(shè)置為C層.

實(shí)施教學(xué)時，教師可以設(shè)置前測和后測，并根據(jù)實(shí)際學(xué)情，舍棄或者增加部分教學(xué)內(nèi)容，進(jìn)行選擇性教學(xué).

（2）精編例題，漸進(jìn)性歸納. 第一課時的教學(xué)宜選用題型特征明顯的、解題思路生動的典型試題作為各層次的例題，這樣有利于學(xué)生掌握通性通法. 通性通法的歸納，可以以題型框圖的建構(gòu)為抓手，并注重兩個層面的歸納：一是不同層次之間的“大”歸納，即通過不同層次不同框圖的建構(gòu)，加深學(xué)生對此類試題的整體認(rèn)識;二是同一層次內(nèi)的“小”歸納，即通過對同一框圖的不斷完善，加深學(xué)生對此類試題解題關(guān)鍵點(diǎn)、代數(shù)模型等的認(rèn)識，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，最終提升學(xué)生的能力.

設(shè)計意圖以二元一次方程組和簡單的含參問題為課前檢測題，能摸查學(xué)生對基礎(chǔ)知識（解方程組）、基本方法（代入消元法和加減消元法）、基本思想（消元）的掌握情況，同時達(dá)到復(fù)習(xí)上述內(nèi)容的目的. 假如學(xué)生掌握情況良好，則直接進(jìn)入B層例題的學(xué)習(xí);假如學(xué)生掌握情況不佳，則進(jìn)入A層例題的鞏固學(xué)習(xí).

2. 例題教學(xué)（A層）

例1若m，n滿足3m+2n=2，

6m-5n=-5，則3m-7n=______.

解題思路：利用加減法得到3m-7n=-7.

問題1：本題的題設(shè)條件和解題目標(biāo)是什么？

問題2：目標(biāo)代數(shù)式與題設(shè)條件的關(guān)系是什么？目標(biāo)代數(shù)式可以怎樣得到？

問題3：請歸納本題的題型特征和解題思路.

教學(xué)活動：學(xué)生自主完成后核對答案. 在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生交流思路，歸納題型特征、解題方法和解題思路，構(gòu)建題型框圖（如圖2所示）.

設(shè)計意圖讓熱身前測未全做對的學(xué)生鞏固代入消元法、加減消元法的基本步驟;讓學(xué)生初步構(gòu)建簡單的框圖，為后續(xù)框圖的演變做鋪墊.

3. 例題教學(xué)（B層）

例2已知關(guān)于x，y的方程組2x+3y=4z，

3x+4y=-5z， 求的值.

解題思路：利用加減消元法得到x=-31z，

y=22z，則==.

問題4：本題的題設(shè)條件和解題目標(biāo)是什么？

問題5：目標(biāo)代數(shù)式中含有幾個字母？字母之間是否有關(guān)系？怎樣求出目標(biāo)代數(shù)式的值？

問題6：請歸納本題的題型特征和解題思路.

本題的框圖解析如圖3所示.

教學(xué)活動：學(xué)生自主完成后展示答案和做法，并在教師的組織與引導(dǎo)下，交流思路，歸納題型特征和解題方法. 師生共同構(gòu)建題型框圖并逐步完善，如修改并完善縱向方框（解題步驟的歸納），增加箭頭上下方的內(nèi)容（解題方法、思想的提煉），補(bǔ)充右向箭頭（關(guān)鍵步驟的具體化）.

設(shè)計意圖例2是本專題學(xué)習(xí)的重要一環(huán)，要讓學(xué)生初步落實(shí)主元法的基本步驟和思想，經(jīng)歷框圖的構(gòu)建，進(jìn)行題型特征和解題方法的歸納. 另外，教師還要強(qiáng)調(diào)主元法的（首要）重要步驟是確定主元，如本題中的字母“z”，然后用主元表示其他字母.

例3已知關(guān)于x，y的方程組x+y=1-a，

x-y=3a+5， 給出下列結(jié)論：①當(dāng)a=1時，方程組的解也是方程x+y=2的解;②當(dāng)x=y時，a=-;③不論a取什么實(shí)數(shù)，2x+y的值始終不變;④若z=-xy，則z的最小值為-1. 請判斷以上結(jié)論是否正確，并說明理由.

解題思路：由題意得x=a+3，

y=-2a-2，易知①錯誤，②③正確;對于④，z=（a+2）2-1，則z的最小值為-1，故④也正確.

問題7：本題的題設(shè)條件和解題目標(biāo)是什么？

問題8：題設(shè)條件含有幾個字母？可以將哪個字母作為主元？

追問1：你能用主元表示其他字母嗎？

追問2：④中為確定z的最值，可以將其進(jìn)行怎樣的轉(zhuǎn)化？

問題9：你能畫出本題的題型框圖嗎？

本題的框圖解析如圖4所示.

教學(xué)活動：學(xué)生自主完成后展示答案和做法. 教師組織學(xué)生自主建構(gòu)框圖，然后交流展示，并共同完善框圖，即除了例2中的三個方面外，再補(bǔ)充右向箭頭（轉(zhuǎn)化目標(biāo)代數(shù)式所利用的代數(shù)模型——二次函數(shù)）.

設(shè)計意圖以典型的含參方程組問題為例題，讓學(xué)生繼續(xù)鞏固主元法;讓學(xué)生經(jīng)歷框圖的演變和完善過程，加深對專題的認(rèn)識. 主元法最困難的步驟是轉(zhuǎn)化目標(biāo)代數(shù)式，此例將目標(biāo)代數(shù)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于主元的二次函數(shù)，從而確定取值范圍，有利于加深學(xué)生對函數(shù)思想、代數(shù)模型的認(rèn)識.

4. 例題教學(xué)（C層）

問題11：目標(biāo)代數(shù)式中含有幾個字母？ 可以將哪個字母作為主元？

追問1：你能用主元表示其他字母嗎？

追問2：如何確定目標(biāo)代數(shù)式的取值范圍？

追問3：如何確定主元的取值范圍？

問題12：你能畫出本題的題型框圖嗎？

本題的框圖解析如圖5所示.

教學(xué)活動：學(xué)生合作完成后，交流做法和思路. 教師組織學(xué)生建構(gòu)框圖，然后交流展示，共同完善框圖，即除了例3中的框圖內(nèi)容而外，還補(bǔ)充了縱向方框（新增“確定主元取值范圍”這一步驟），修改了右向箭頭（增加了確定主元取值范圍和目標(biāo)代數(shù)式取值范圍所用到的代數(shù)模型：不等式（組）、函數(shù)），增加了箭頭左右方的內(nèi)容（轉(zhuǎn)化這一重要思想）.

設(shè)計意圖多元方程組問題，實(shí)質(zhì)上也是含參方程組問題，只不過它們是較難的、非明顯的含參問題. C層例題的設(shè)置，旨在讓學(xué)生進(jìn)一步掌握主元法，體會問題解決過程中不同的操作細(xì)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，從而發(fā)展能力. 例4框圖（即圖5）的建構(gòu)新增了三個內(nèi)容：（1）新步驟，即增加了“確定主元取值范圍”這一步驟;（2）新模型，即主元取值范圍和目標(biāo)代數(shù)式的取值范圍的確定利用了不等式（組）、一次函數(shù)模型;（3）新思想，即把多元方程組轉(zhuǎn)化為含參方程組，這也是主元思想的深化，從中也能說明C層例題是B層例題的縱向延伸，而確定目標(biāo)代數(shù)式的取值范圍時利用不等式（組）或一次函數(shù)模型又能讓學(xué)生進(jìn)一步體會轉(zhuǎn)化思想. 例4是B層例題的自然延續(xù)，通過例題的解決和框圖的建構(gòu)，學(xué)生能于解題思路生成處、難點(diǎn)突破處、能力發(fā)展處觸發(fā)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，并能確保學(xué)生能力發(fā)展的一致性——提升解決問題的能力和對代數(shù)模型的認(rèn)識.

問題13：本題的題設(shè)條件和解題目標(biāo)是什么？

問題14：目標(biāo)代數(shù)式中含有幾個字母？ 可以將哪個字母作為主元？

問題15：可以將目標(biāo)代數(shù)式轉(zhuǎn)化為什么模型？

問題16：如何確定字母x的取值范圍？

追問1：在確定字母x的取值范圍時，可以將哪個字母作為主元來表示x？

追問2：主元n的取值范圍如何確定？

追問3：在確定主元n的取值范圍時利用了什么代數(shù)模型？

問題17：你能畫出本題的題型框圖嗎？

本題的框圖解析如圖6所示.

教學(xué)活動：學(xué)生合作完成后交流做法和思路;教師組織學(xué)生建構(gòu)框圖，然后交流展示，共同完善框圖.

設(shè)計意圖例5框圖（圖6）與例4框圖基本一致，但在細(xì)節(jié)的處理上有所不同，比如字母取值范圍的確定，需多次利用主元思想，選用不同的主元（y→n→x→m）;目標(biāo)代數(shù)式的取值范圍的確定利用的代數(shù)模型是反比例函數(shù). 這些都是此題的難點(diǎn)，在學(xué)生經(jīng)歷前面幾道例題的學(xué)習(xí)，對多元問題的解決已經(jīng)具有一定經(jīng)驗(yàn)的前提下，教師引導(dǎo)時的設(shè)問（問題13～17）可以直接以主元法的關(guān)鍵步驟作為術(shù)語提問，從而突破難點(diǎn). 通過例5的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以進(jìn)一步掌握多元問題解決的通法，體會主元思想.

例6若x-1==，則x2+y2+z2的最小值為（? ? ? ）

A.3 ? ? ?B.? ? ?C. ? ? ?D.6

解題思路：設(shè)x-1===k，則x=k+1，y=2k-1，z=3k+2. 所以x2+y2+z2=（k+1）2+（2k-1）2+（3k+2）2=14k2+10k+6=14

k+2+. 所以當(dāng)k=-時，x2+y2+z2取得最大值. 答案為B.

問題18：本題的題設(shè)條件和解題目標(biāo)是什么？

問題19：如何確定主元？

問題20：本題可將目標(biāo)代數(shù)式轉(zhuǎn)化為什么模型？

問題21：你能畫出本題的題型框圖嗎？

追問：你所畫的框圖跟之前例題的框圖有什么異同？

本題的框圖解析如圖7所示.

教學(xué)活動：學(xué)生自主完成后，比較不同解法（主元選取不同）并交流想法. 教師組織學(xué)生建構(gòu)框圖，然后交流展示，共同完善框圖.

設(shè)計意圖比較不同的做法，讓學(xué)生體會到還可以通過設(shè)元來確定主元，并用二次函數(shù)模型確定目標(biāo)代數(shù)式的取值范圍，從而將整個題型框圖補(bǔ)充完整，即兩個關(guān)鍵步驟的全部詮釋（“確定主元”的所有常用方法、目標(biāo)代數(shù)式轉(zhuǎn)化的所有函數(shù)模型）. 例6的解題思路明晰，框圖容易建構(gòu)，生動體現(xiàn)了多元問題的一般解決步驟，與例2首尾呼應(yīng)，可為本節(jié)課的小結(jié)做準(zhǔn)備.

5. 課堂小結(jié)

問題22：請同學(xué)們根據(jù)本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容，總結(jié)歸納代數(shù)中多元問題的題型特征和解題思路，并畫出此類試題的題型框圖.

追問1：你為什么要這樣畫題型框圖？

追問2：你能說說我們是怎樣研究此類試題的嗎？這為你今后研究試題帶來了什么啟示？

教學(xué)活動：學(xué)生完成題型框圖（圖8）后，展示并完善，然后與其他學(xué)生交流作圖的想法. 教師歸納題型框圖的構(gòu)建方法和使用要領(lǐng)，即從左到右描繪的是專題的題型特征，從上到下是解題的主要步驟和思路，從右到左是每個環(huán)節(jié)的關(guān)鍵操作點(diǎn)，箭頭四周是關(guān)鍵步驟或者數(shù)學(xué)思想的提煉.

設(shè)計意圖學(xué)生自主構(gòu)建題型框圖，歸納多元問題的題型特征和解題思路，初步掌握構(gòu)建題型框圖的方法，突破專題學(xué)習(xí).

設(shè)計啟示

1. 后續(xù)思考

（1）具有情境背景的多元問題

一些試題具有一定的情境，從題干情境中抽象出數(shù)學(xué)問題后本質(zhì)上其實(shí)還是上述多元問題，如下面的試題.

◇（2018杭州余杭期末）某水果店三天共銷售50千克香蕉，所得收入為270元，每天的銷售數(shù)量和價格如表2所示，則z=______（用含有y的代數(shù)式表示）. 若12

◇已知關(guān)于x的一次函數(shù)y=kx+b+1（k≠0）的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，且經(jīng)過點(diǎn)（3，-2），則b=______（用含有k的代數(shù)式表示），k的取值范圍是______.

這樣的試題有如下題型特征（如圖9所示）. 為保持專題的純粹性和基于第一課時的安排，這樣的試題未納入上文的設(shè)計中，但可以將其放入之后的課時中. 特別地，如何從不同情境中抽象出多元問題，還需我們一線教師進(jìn)一步研究.

（3）其他目標(biāo)代數(shù)式的轉(zhuǎn)化模型

圖8這一題型框圖中利用方程模型確定目標(biāo)代數(shù)式的取值范圍并未在本課時展開，類似的試題如下：

已知實(shí)數(shù)a，b滿足a2+ab+b2=1，且t=ab-a2-b2，則t的取值范圍為______.

解題思路：由題意，得ab=，a+b=±（t≥-3）. 假設(shè)a，b是關(guān)于x的一元二次方程x2-（a+b）x+ab=0的兩個根，則x2±x+=0. 因?yàn)榉匠逃袑?shí)數(shù)根，所以-2（t+1）≥0. 于是最終確定t的取值范圍為-3≤t≤-.

像上題中利用判別式法確定目標(biāo)代數(shù)式的取值范圍就是利用一元二次方程這一模型確定字母的取值范圍. 這些問題可視學(xué)情，考慮是否放入后面的課時.

2. 教學(xué)建議

（1）注重例題設(shè)計，提供專題復(fù)習(xí)抓手

例題的設(shè)置要注重典型性. 例題，尤其是第一課時的例題，力求能清晰、生動地體現(xiàn)專題的通法，達(dá)到規(guī)范操作、揭示思路的目的，追求“以題會類”.

例題的設(shè)置要注重方向性. 根據(jù)專題的特點(diǎn)，例題組的設(shè)置可以選擇橫向設(shè)計或者縱向設(shè)計. 對于知識方法應(yīng)用類、跨知識模塊等的專題（如配方法應(yīng)用、換元法應(yīng)用、數(shù)學(xué)思想應(yīng)用、最值問題），教學(xué)時教師可以采用橫向設(shè)計例題的方式;對于單一知識情境或者學(xué)生較難掌握的專題（如特定幾何圖形背景下的專題，特定代數(shù)模型背景下的專題，幾何最值問題，線段、角度、面積等幾何量的確定等），教學(xué)時教師可以采用縱向設(shè)計例題的方式. 本文所述代數(shù)多元問題采用縱向設(shè)計例題組的方式，根據(jù)目標(biāo)代數(shù)式轉(zhuǎn)換所采用的代數(shù)模型的不同，問題轉(zhuǎn)化步驟的先后順序、難易程度等設(shè)置不同層級的例題.

（2）引導(dǎo)感悟歸納，提升專題復(fù)習(xí)成效

專題教學(xué)要注重引導(dǎo)學(xué)生思考、歸納，教師要設(shè)計指向問題解決的關(guān)鍵處（如問題5、問題8、問題11）、指向問題轉(zhuǎn)化的難點(diǎn)處（如問題16）、指向問題背后的本質(zhì)處（如問題15、問題20）的問題，激發(fā)學(xué)生有效思考，加強(qiáng)學(xué)法指導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生解題的主動性;要給予學(xué)生充分思考、表達(dá)的時間，設(shè)計有意義的數(shù)學(xué)活動（如問題9、問題21），讓學(xué)生自主建構(gòu)，加深理解.

（3）精構(gòu)題型框圖，提煉專題復(fù)習(xí)模式

通過構(gòu)建題型框圖對試題進(jìn)行分析，具有普適性和遷移性，可為專題學(xué)習(xí)提供教與學(xué)的模式. 題型框圖可以清晰地闡釋題型特征，將解題思路進(jìn)行程序化展示，這樣有利于學(xué)生掌握通性通法;對題型框圖進(jìn)行從簡到繁、從小到大逐步補(bǔ)充、逐步細(xì)化、逐步完善的構(gòu)建過程，有利于學(xué)生突破思維難點(diǎn)，保持認(rèn)知的一致性和有序性，提升分析問題和解決問題的能力，從而指向深度學(xué)習(xí).

總之，專題復(fù)習(xí)教學(xué)要重點(diǎn)考慮“教什么”“怎么教”“怎么測”三個問題. 對題型框圖進(jìn)行深入研究，可以為前面兩個問題的解決提供一種有效途徑.

基金項(xiàng)目：杭州市基教教研規(guī)劃課題——初中數(shù)學(xué)中的框圖研究（L2021095）.

作者簡介：王飛飛（1989—），中學(xué)一級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.