做數(shù)學(xué):培養(yǎng)學(xué)生高階思維的有效途徑

王凌逸　李明樹

[摘? 要] 做數(shù)學(xué)是以“做”為支架，讓學(xué)生通過觀察、假設(shè)、思考、實踐等活動，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律、獲得數(shù)學(xué)概念、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的一種有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，是為了探尋數(shù)學(xué)知識，檢驗數(shù)學(xué)結(jié)論或猜想，從而進(jìn)行的實驗操作或思維活動. 它改變了數(shù)學(xué)知識的形態(tài)，改進(jìn)了學(xué)生學(xué)習(xí)的方式，促進(jìn)了學(xué)生認(rèn)知和情感的和諧發(fā)展，是培養(yǎng)學(xué)生高階思維的學(xué)科實踐. 文章以“三角尺拼角”為例，談?wù)勅绾我龑?dǎo)學(xué)生在做數(shù)學(xué)的過程中經(jīng)歷操作、觀察、猜想、實踐、歸納、驗證、探究的學(xué)習(xí)歷程，旨在激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的高階思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 做數(shù)學(xué);高階思維;三角尺拼角

緣起

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在課程實施教學(xué)建議中指出：數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，關(guān)注學(xué)生，使其在獲得間接經(jīng)驗的同時，也能獲得直接經(jīng)驗. 引導(dǎo)學(xué)生通過實踐、思考、交流、探究等方式，能主動地、富有個性地學(xué)習(xí)，不斷提高發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力[1]. 對于“三角尺拼角”中蘊(yùn)含的知識、方法，學(xué)生理解、掌握的知識與能力不夠，需要在教師適時引導(dǎo)、同學(xué)合作交流的氛圍中理性探究，方能掌握知識、關(guān)注本質(zhì)、理解原理、形成能力.

在課堂教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生在操作中經(jīng)歷觀察、抽象、建模的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，通過“拼角”準(zhǔn)確地畫圖、計算，探索出給定三角尺的角度和能拼出的角度之間的關(guān)系. GeoGebra的直觀演示，裴蜀定理的理性證明，能增強(qiáng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力，能培養(yǎng)學(xué)生的高階思維.

課堂回放

1. 拼角、疊角、畫角，訓(xùn)練高階思維的廣度

課例以“三角尺拼角”入手，引導(dǎo)學(xué)生在已有知識體系的框架下初步探究角的和差關(guān)系，逐步深入理解拼角的本質(zhì);讓學(xué)生動手做數(shù)學(xué)，在“做”中思考，在“做”中積淀;引導(dǎo)學(xué)生在觀察、分析、抽象、推理、歸納的過程中訓(xùn)練高階思維的廣度.

【情境引入】

教學(xué)時，由國家寶藏《伏羲女媧圖》引出“規(guī)”和“矩”，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)工具的演變與發(fā)展過程，從而自然地過渡到直角三角尺. 教師提問學(xué)生對三角尺的認(rèn)知，探究為何三角尺要設(shè)計成30°，45°，60°，90°的特殊角度. 課件展示三角尺中的直角與生活密切相關(guān)，而特殊角度來源于常見的等邊三角形和正方形……直觀的圖片與數(shù)學(xué)文化知識，充分地調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，也讓他們切實地感受到：數(shù)學(xué)源于生活、用于生活.

列舉常見的數(shù)學(xué)工具：直尺、圓規(guī)、量角器、三角尺. 通過畫19°，30°，15°角需要使用的數(shù)學(xué)工具，引出用一副三角尺進(jìn)行特殊擺放，可以得到新的角度，自然揭題“三角尺拼角”.

設(shè)計意圖? 從敦煌壁畫《伏羲女媧圖》開始，通過圖片展示，引出數(shù)學(xué)工具，用問題驅(qū)動教學(xué)，引領(lǐng)學(xué)生的興趣探究，滲透用數(shù)學(xué)的眼光看待世界的思想.

【三角尺拼角】

活動一：拼一拼，擺一擺.

（1）一副三角尺任意擺放，還可以得到哪些新的角度？

15°，75°，105°，120°，135°，150°，180°（學(xué)生上臺擺放）.

（2）學(xué)生通過“圖形拼疊”與“數(shù)字加減”間的關(guān)系，初步感悟數(shù)形結(jié)合思想.

（3）將能拼出的角度從小到大排列，發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

（4）發(fā)現(xiàn)所拼的角都是15°角的整數(shù)倍，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)少了一個165°的角.

設(shè)計意圖? 讓學(xué)生在拼圖這類做數(shù)學(xué)的過程中，溫習(xí)角的相關(guān)概念，認(rèn)識并理解角與角的“和差”關(guān)系，初步感受數(shù)形結(jié)合思想. 學(xué)生利用三角尺得到新的角度，發(fā)現(xiàn)這些角度都是15°的整數(shù)倍，這里既有“形”的構(gòu)建，又有“數(shù)”的探究. 數(shù)學(xué)實驗的關(guān)鍵在于聯(lián)結(jié)“經(jīng)驗”和“思維”，實現(xiàn)建立在經(jīng)驗直觀之上的抽象[2]，這些都是培養(yǎng)高層次思維能力的基本要素.

活動二：畫一畫，疊一疊.

（1）用一副三角尺畫出165°的角.（如圖1所示）

（2）用一副三角尺擺出165°的角.（如圖2所示）

（3）小結(jié)：通過加減運(yùn)算可以得到的數(shù)，拼疊操作也一定可以得到這樣的角.

設(shè)計意圖? 通過做數(shù)學(xué)，學(xué)生經(jīng)歷了觀察、分析、驗證等探究活動，變整體化學(xué)習(xí)為個性化學(xué)習(xí). 在“拼一拼”“疊一疊”的實踐操作中，學(xué)生初步體會到了拼角能拼出來的角，就是角度通過加減運(yùn)算所能得到的角. 通過做數(shù)學(xué)，學(xué)生了解了“數(shù)”與“形”之間的轉(zhuǎn)換.

2. 探究、論證、歸納，提升高階思維的深度

高階思維和任何一種技能一樣，需要不斷地鍛煉. 觀察事物：接受事物的一切信息;分析論證：深入思考，多角度實踐;歸納總結(jié)：得出猜想、實踐、論證后的成果. 學(xué)生在不斷的“輸入”“思考”“實踐”“輸出”循環(huán)往復(fù)中，能提升高階思維的深度.

【模板畫角】

活動三：畫一畫，論一論.

（1）任意設(shè)計2個模板畫出1°的角.

（2）指定2個17°、19°的模板畫出1°的角.

設(shè)計意圖? 拼角的關(guān)鍵是如何運(yùn)用所給兩個數(shù)字進(jìn)行運(yùn)算. 活動3能實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的逐步滲透，體現(xiàn)了“做中想”“想中做”“邊做邊想”“邊想邊做”的深度學(xué)習(xí)理念. 這一環(huán)節(jié)主要是發(fā)展學(xué)生的建構(gòu)能力，需要學(xué)生將17°，19°角的模板通過拼或疊，最終建構(gòu)出1°的角，而建構(gòu)能力也是高階思維能力的一個重要組成部分，由此能提高學(xué)生的高階思維能力.

（3）分組討論：任意給定的兩個模板，求可以畫出的最小角.

第一組：3°和 7°;

第二組：5°和 20°;

第三組：14°和 21°;

第四組：16°和 24°.

設(shè)計意圖? 在前面數(shù)與形的經(jīng)驗的積累下，學(xué)生能快速地找出各組所能拼成的最小角. 然后通過四組數(shù)據(jù)，歸納出結(jié)論：

對整數(shù)角m，n進(jìn)行有限次拼疊操作，一定可以得到m，n的最大公因數(shù)d的整數(shù)倍的角.

這個結(jié)論也對接下來的活動產(chǎn)生了推動作用. 在從特殊到一般的思考過程中，教師引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并用文字表述出來，從而揭示問題的本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生解決問題的能力. “學(xué)習(xí)的最高境界在于運(yùn)用”，解決問題則是高階思維的高位形式.

（4）利用1個19°的模板畫出1°的角.

生：19×19°=361°，361°-360°=1°.

師：（小結(jié)）為什么1個19°的模板也能畫出1°的角？

生：19°是顯性角度，360°是隱性角度，這個問題可以等價于求19和360的最大公因數(shù).

生：只要有一個角，就可以利用它的一條邊畫出直線，得到180°的平角，所以這個問題也等價于求19和180的最大公因數(shù)1.

【GeoGebra演示】

GeoGebra動態(tài)演示，能讓學(xué)生直觀感受利用19°畫1°的過程，深入理解能畫所有整數(shù)角的原因. 學(xué)生通過觀看19°和360°角的多次拼疊過程，讓自己的猜想、推理得以論證（如圖3和圖4所示）.

師：如果想利用一個角度模板m畫出任意角度，m需要滿足什么條件？

生：m和360的最大公因數(shù)是1.

師：把剛才走的每一步由直線變成曲線在圓內(nèi)跳動，就可以得到我們熟悉的圖形——繁花曲線（如圖5和圖6所示）.

設(shè)計意圖? GeoGebra多角度動態(tài)的拼疊展示，能讓學(xué)生直觀地感受到“19°角是如何拼出1°角的”“為什么可以拼出任意的整數(shù)角”“怎樣的角在經(jīng)過反復(fù)地拼疊操作后，可以拼出1°的角”“普通的角度折疊如何演變成廣泛運(yùn)用于人民幣中的繁花曲線圖象”……這里的思維跳躍很大，也是從形到數(shù)的歸納理解的提升，從中學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活.

【內(nèi)化升華】

實踐論證，數(shù)與形是可以相互轉(zhuǎn)化的. 教師嘗試提升結(jié)論，從“形”的角度到“數(shù)”的角度的概括：

[

對整數(shù)角m，n進(jìn)行有限次拼疊操作，一定可以得到m，n最大公因數(shù)d的整數(shù)倍的角.

?

對整數(shù)m，n進(jìn)行有限次加減運(yùn)算，一定可以得到m，n最大公因數(shù)d的整數(shù)倍的數(shù). ]

這個從“形”到“數(shù)”的性質(zhì)的升華，正是高等數(shù)學(xué)中數(shù)論里很重要的裴蜀定理，是十八世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家艾蒂安·裴蜀所創(chuàng). 這樣的教學(xué)，能讓學(xué)生感受到高等數(shù)學(xué)也不是那么遙遠(yuǎn)，只要用心探究，大膽猜想，小心驗證，就一定有所收獲. 而這一定理，待學(xué)生學(xué)習(xí)了二元一次方程，還可以表述成：“關(guān)于x，y的二元一次方程mx+ny=kd（k為整數(shù)），一定有整數(shù)解. ”把m，n看成角度模板，其最大公因數(shù)為d，x和y則表示有限次的加減運(yùn)算序數(shù).

最后以經(jīng)典的“韓信走馬分油問題”結(jié)尾，既論證了結(jié)論，又讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識從實踐中來，到實踐中去，加深了學(xué)生對這個定理的理解，還讓學(xué)生對做數(shù)學(xué)的興趣更加濃厚了.

思考

本次做數(shù)學(xué)通過問題驅(qū)動法引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷拼角、疊角、畫角、探究、論證、歸納的過程，問題由簡單到復(fù)雜，內(nèi)容從具體到抽象，教學(xué)思路清晰明了，教學(xué)設(shè)計環(huán)環(huán)緊扣，知識螺旋遞進(jìn)，思維拾級而上，而這一切，做數(shù)學(xué)功不可沒.

1. 做數(shù)學(xué)，讓課堂教學(xué)突出重點、突破難點

新課改要求學(xué)生從被動接受式學(xué)習(xí)向主動探索型學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變，倡導(dǎo)樂于參與、勤于探究、勇于實踐. 在課堂教學(xué)中，重點如何突出，難點如何突破？假如教師適當(dāng)借助一定的數(shù)學(xué)實驗活動，定能既加強(qiáng)學(xué)生的基礎(chǔ)性學(xué)力，又能提高學(xué)生的發(fā)展性學(xué)力和創(chuàng)造性學(xué)力，從而培養(yǎng)學(xué)生終身學(xué)習(xí)的能力.

要拼出15°，75°，105°，120°，135°，150°，180°的角，借助三角尺，學(xué)生能輕易地完成，但他們卻被如何拼出165°的角給難住了. 在教師的適時引導(dǎo)下，學(xué)生動手操作，探究發(fā)現(xiàn)，在“形”的拼、疊下，在“數(shù)”的加、減中，難點迎刃而解.

做數(shù)學(xué)，活動目的明確了，主題切入點找準(zhǔn)了，理解數(shù)學(xué)，理解教學(xué)，理解學(xué)生，教學(xué)設(shè)計化繁為簡，不停留在表面，并進(jìn)行融會貫通，定能讓課堂活潑靈動，充滿智慧.

2. 做數(shù)學(xué)，讓學(xué)生學(xué)會發(fā)現(xiàn)、善于歸納

做數(shù)學(xué)，追求的是理解、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造，其并不聚焦于教師的教學(xué)行為，而是聚焦于學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì). 學(xué)生在實驗情境中的“做中學(xué)”，對問題發(fā)現(xiàn)、解決、引申、變換等過程的實驗?zāi)M和探索，促進(jìn)了高階思維的深刻性和歸納性.

在小組探究這一環(huán)節(jié)，學(xué)生通過仔細(xì)觀察、合作探究、大膽猜測、小心求證，歸納出“對任何整數(shù)角m，n和它們的最大公因數(shù)d，一定可以通過角m，n進(jìn)行有限次的拼疊操作，得到任意d的整數(shù)倍的角”這一結(jié)論. 絢爛的繁花曲線，直觀而精彩的GeoGebra演示，讓學(xué)生們的課堂不只是教室，而是進(jìn)入到一個更廣闊的世界——在學(xué)習(xí)初等數(shù)學(xué)的同時，卻滲透了高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容. 從“角”的發(fā)現(xiàn)到“數(shù)”的定理，這是質(zhì)的飛躍.

俗話說“眼過千遍，不如手過一遍”，數(shù)學(xué)課堂不應(yīng)讓學(xué)生生搬硬套公式、定理，而要注重知識的生成過程，教師應(yīng)想方設(shè)法為學(xué)生提供素材，讓學(xué)生通過實際操作去探索、去發(fā)現(xiàn)、去猜想、去驗證、去證明、去解決問題，教師要鼓勵學(xué)生通過合作探究獲取知識，理解知識的本質(zhì)，從而進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，培養(yǎng)高階思維.

3. 做數(shù)學(xué)，讓數(shù)學(xué)內(nèi)涵始于生活、用于生活

知識是發(fā)現(xiàn)的對象、實驗的基礎(chǔ)、方法的載體. 學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，往往需要利用已有的知識和方法，通過觀察、實驗、分析、歸納，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)特征，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì). 但義務(wù)教育階段的學(xué)生卻是通過“課堂聽、反復(fù)記、重復(fù)練”來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，缺乏對數(shù)學(xué)知識本源的理解，缺少對數(shù)學(xué)思想方法的感悟，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也普遍缺乏熱情.

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，而數(shù)量關(guān)系大多來源于生活，所以教師在教學(xué)時不應(yīng)只關(guān)注成績單上的分?jǐn)?shù)，更重要的是要教會學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看待生活，用數(shù)學(xué)的思維思考問題，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)情感.

數(shù)學(xué)文化，古今中外，源遠(yuǎn)流長. 從古代的矩到現(xiàn)代的尺，從華夏的“韓信走馬分油”到國外的“裴蜀定理”……通過做數(shù)學(xué)，學(xué)生由“聽”數(shù)學(xué)變?yōu)樽鰯?shù)學(xué)，由“被動接受”變?yōu)椤爸鲃犹骄俊?通過做數(shù)學(xué)，學(xué)生獲得如何探究、如何發(fā)現(xiàn)的方法感悟，實現(xiàn)了接受式、思辨式學(xué)習(xí)向探究式、體驗式學(xué)習(xí)的轉(zhuǎn)變;通過做數(shù)學(xué)，學(xué)生經(jīng)歷了動手操作、用眼觀察、提出猜想、驗證結(jié)論等環(huán)節(jié)，充分體驗到了“知識是什么”“知識從何而來”“知識向何而去”的完整數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，獲得了如何探究、如何發(fā)現(xiàn)的方法論感悟，實現(xiàn)了被動學(xué)習(xí)方式向體驗式、探究式學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變[3].

學(xué)生在做數(shù)學(xué)中體驗到了發(fā)現(xiàn)的樂趣，感悟到了數(shù)學(xué)的真諦，發(fā)展了數(shù)學(xué)思維和智慧，提高了數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)了高階思維，全面發(fā)展了核心素養(yǎng). 這也是我們數(shù)學(xué)教育者永遠(yuǎn)的追求.

參考文獻(xiàn)：

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[2]林松. 關(guān)于數(shù)學(xué)實驗的理性思考與實踐[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2019（32）：5-6+29.

[3]董林偉. “做數(shù)學(xué)”：中小學(xué)生適合教育的實踐構(gòu)建[J]. 教育研究與評論，2021（03）：16-21.

基金項目：蘇州市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2022年度立項課題“初中數(shù)學(xué)‘做中學(xué)體系的構(gòu)建研究”（2022/LX/02/166/09），江蘇省教育學(xué)會“十四五”教育科研規(guī)劃課題“指向核心素養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)混合式教學(xué)實踐研究”（22A11SXSZ295），蘇州工業(yè)園區(qū)基礎(chǔ)教育前瞻性教學(xué)改革實驗項目“基于STEAM理念的初中數(shù)學(xué)綜合與實踐教學(xué)設(shè)計研究”.

作者簡介：王凌逸（1997—），二級教師，李明樹名師工作坊成員，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作.