整體性教學視角下章首課教學的實踐與思考

張礫　卞煥清

【摘 要】單元章首課教學是實施整體性教學的關鍵。文章圍繞蘇科版數(shù)學八年級上冊“函數(shù)”的教學設計，以函數(shù)知識結構關聯(lián)為內(nèi)容，以思維方法培養(yǎng)為紐帶，以關鍵能力培養(yǎng)為支柱，引導學生自主搭建函數(shù)知識的整體框架，形成探究函數(shù)的一般觀念與方法，發(fā)展學生的系統(tǒng)性、拓廣性和同構性數(shù)學思維方式，讓學生真正體會數(shù)學知識“為什么學”“學什么”“怎么學”，落實數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

【關鍵詞】整體性教學；函數(shù)；章首課

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022年版）》）強調(diào)數(shù)學課程的整體性與發(fā)展性［1］。這就要求課堂的設計不僅要整體把握教學內(nèi)容之間的關聯(lián)，更要把握教學內(nèi)容與關鍵能力、核心素養(yǎng)發(fā)展之間的關聯(lián)。具體地說，整體性的教學視角需要教師用全方位的研究視野去思考知識整體與局部的內(nèi)在結構，對教學規(guī)劃進行整體布局，對知識學習方式進行局部挖掘，對相似問題的研究策略進行有效遷移，發(fā)展關鍵能力，繼而形成系統(tǒng)性、拓廣性和同構性數(shù)學思維方式［2］，讓學生真正地體會“為什么學”“學什么”“怎么學”。因此，本文以蘇科版數(shù)學八年級上冊“函數(shù)”為例，探討整體性教學視角下章首課的教學。

一、用整體的眼光審視函數(shù)章首課地位

函數(shù)是中學數(shù)學中重要的概念之一，是描述現(xiàn)實世界運動變化規(guī)律的重要數(shù)學模型，同時，也是初中階段變量數(shù)學的開端，是初中階段重要的學習任務之一。函數(shù)知識體系在初中數(shù)學中具有重要地位，一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)相關內(nèi)容分布在初中不同階段，內(nèi)容繁多、抽象度高、計算量大，是不少學生學習的薄弱環(huán)節(jié)。因此，教師需要對函數(shù)教學進行整體性規(guī)劃，以提升學生對函數(shù)內(nèi)容的整體理解，發(fā)展關鍵能力，提升學科核心素養(yǎng)。

1.建構函數(shù)知識體系，培養(yǎng)系統(tǒng)性思維方式

數(shù)學學科系統(tǒng)性思維方式的培養(yǎng)需要建構數(shù)學知識體系，使得數(shù)學知識體系呈現(xiàn)秩序化的樣態(tài)。章首課對整個章節(jié)的教學起到統(tǒng)領性的作用，對系統(tǒng)性思維方式的培養(yǎng)起到關鍵作用。因此，章首課的教學更應體現(xiàn)“為什么學”“學什么”“怎么學”三個核心問題，從學習的高度層面對數(shù)學內(nèi)容進行架構。

函數(shù)是刻畫生活實際重要的數(shù)學模型，是研究生活中動態(tài)變化規(guī)律的重要工具，即“為什么學”。因此，函數(shù)需要依托實際問題情境來研究。函數(shù)及一次函數(shù)的概念、表達方式、性質(zhì)是“函數(shù)”學習的主要內(nèi)容，即“學什么”。這就要求教師系統(tǒng)鋪設函數(shù)的研究路徑，形成結構化的知識體系。學生需要通過函數(shù)概念的辨析、函數(shù)性質(zhì)的深入研究，感悟變量之間的聯(lián)系，發(fā)展關鍵能力，即“怎么學”。這就要求教師引導學生體會函數(shù)研究過程的數(shù)學思維及一般方法。

2.探究函數(shù)研究方法，培養(yǎng)拓廣性思維方式

數(shù)學思維方式的培養(yǎng)需要承上啟下、一以貫之。系統(tǒng)性思維方式讓數(shù)學知識有序化。拓廣性思維方式則通過不斷添加具體條件，構建出同一概念在不同問題情境下的連續(xù)性的解題方式、模型，從學習的廣度層面對數(shù)學內(nèi)容進行架構。概念學習是數(shù)學知識研究的起點，拓廣性思維方式通過對函數(shù)概念添加不同類型的現(xiàn)實情境，促進函數(shù)模塊從概念中生長出新的研究對象及研究方法，即定理、法則、性質(zhì)等，建立研究函數(shù)的基本路徑為“情境→概念→表達方式→圖像及性質(zhì)→應用”。例如，在研究一次函數(shù)時，可以由生活情境抽象得到一次函數(shù)概念，由一次函數(shù)概念獲得函數(shù)表達式，并據(jù)此畫出函數(shù)圖像。同時，通過函數(shù)表達式和圖像分析一次函數(shù)的基本性質(zhì)，最終將一次函數(shù)應用于生活實際。因此，函數(shù)章首課需要考慮研究路徑的鋪設，為后續(xù)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，甚至是高中階段的冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等的學習打下思維基礎。

3.挖掘函數(shù)解決策略，培養(yǎng)同構性思維方式

問題是數(shù)學的心臟，問題的解決是數(shù)學學習的核心，問題解決的過程也是數(shù)學知識生成的過程。同構性思維方式是從學習的深度層面對教學內(nèi)容進行研究的思維方式，其主要作用于不同概念數(shù)學知識解決策略的共同點，通過類比不同概念在解決問題過程中的相似點，形成更加一般化的結論。在初中數(shù)學數(shù)與代數(shù)模塊中，函數(shù)的知識繁雜，涉及一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等，如何培養(yǎng)學生的同構性思維方式，通過相同的解決策略解決不同類型的函數(shù)問題，并據(jù)此提升學生的關鍵能力是教學難點。

在函數(shù)概念的抽象與辨析過程中，應充分滲透函數(shù)的三種表達方式，即式（函數(shù)表達式）、表（表格）、圖（函數(shù)圖像）。教師可以通過式、表與圖多角度探究函數(shù)的性質(zhì)，引導學生從數(shù)學概念的本質(zhì)進行理解，為后續(xù)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等具體函數(shù)的探究打下基礎。同時，通過對函數(shù)概念的反復辨析、函數(shù)性質(zhì)的深入探究，發(fā)展學生的代數(shù)推理、數(shù)學抽象、數(shù)學建模、直觀想象等關鍵能力。

二、用整體的理念架構函數(shù)章首課

基于以上分析，函數(shù)章首課的教學，教師應引導學生體會函數(shù)從生活中來，又回到生活中去；用運動的眼光觀察世界，研究事物的變化規(guī)律；架構函數(shù)知識整體認知框架，形成一般路徑，繼而形成認知創(chuàng)新，發(fā)展多維數(shù)學核心素養(yǎng)。

1.情境引入，體會數(shù)學與生活的聯(lián)系

教師通過視頻或圖片引入學生耳熟能詳?shù)摹翱讨矍髣Α钡墓适?，啟發(fā)學生思考：“為什么船身上的刻痕并不能幫助船上的人找到他的佩劍？”

萬物皆變，生活中大量存在著一個量隨著另一個量的變化而變化的現(xiàn)象，比如，行星的位置、河流的水位、植物的高度、汽車行駛的路程都會隨著時間的變化而變化。教師通過故事的引入，引導學生要用變化的眼光觀察世界，不能墨守成規(guī)，同時，讓學生體會數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系，即“為什么學”。

2.概念抽象，歸納概念基本特征

情境1：觀察表1中展示的水位信息，你能發(fā)現(xiàn)其中有哪些量？這些量有什么特征？

情境2：你見過水中漣漪嗎？如圖1，圓形水波慢慢地擴大。你能寫出圓形水波的面積S與其半徑r的關系式嗎？

追問：這個關系式中有哪些量？這些量有什么特征？

情境3：圖2是某市冬季某一天的氣溫變化圖，你能發(fā)現(xiàn)圖2中表示了哪些量嗎？這些量有什么特征？

教師通過上述三個情境，引導學生體會在不同事物變化的過程中不變的量與變化的量，即常量與變量。同時，引導學生發(fā)現(xiàn)每個情境中變量之間的關系，抽象出函數(shù)的概念，關注函數(shù)概念中的三個關鍵點：變化過程、兩個變量和唯一確定，即“學什么”。

3.推理判斷，深入探究概念內(nèi)涵

問題1：下列式子中的y是x的函數(shù)嗎？為什么？

（1）y=x；（2）y=x2；（3）y2=x。

追問：在關系式y(tǒng)=[1／x]中，y是x的函數(shù)嗎？為什么？

問題2：根據(jù)表2中的信息回答問題。其中，x表示乘公交車的站數(shù)（個），y表示相應的票價（元）。

（1）y是x的函數(shù)嗎？為什么？（2）x是y的函數(shù)嗎？為什么？

拓展：“雙11”期間國內(nèi)快遞包裹收發(fā)量驟增，某快遞公司寄件收費標準見表3。

（1）y是x的函數(shù)嗎？為什么？（2）x是y的函數(shù)嗎？為什么？

問題3：圖3是一幅心電圖，橫坐標表示時間t，縱坐標表示心臟部位的生物電流y，在這個變化的過程中存在函數(shù)關系嗎？

問題1通過對關系式的辨析，進一步鞏固函數(shù)概念，發(fā)展學生的代數(shù)推理能力和思辨思維。問題2及其拓展從表格的角度入手，通過分析表格中的數(shù)據(jù)判斷是否存在函數(shù)關系。問題3從圖像的角度入手，引導學生如何通過圖像來發(fā)現(xiàn)變量之間的函數(shù)關系。該環(huán)節(jié)的三個問題分別通過式、表和圖三個角度入手，讓學生從不同角度進行分析，體會函數(shù)表現(xiàn)方式的多樣性，從而深刻地認識函數(shù)關系的本質(zhì)。

4.課堂回顧，架構知識框架體系

教師引導學生思考本節(jié)課的探究過程，讓學生談一談認識和收獲，并對本節(jié)課的知識進行總結，架構知識框架體系（如圖4）。

本環(huán)節(jié)旨在引導學生回顧本節(jié)課的探究過程，并架構知識框架體系。首先，分析生活中存在的大量變化過程，提出常量與變量的概念。然后，通過研究變量之間的關系建立函數(shù)這一數(shù)學模型。最后，通過式、表與圖，發(fā)現(xiàn)變量之間的函數(shù)關系，讓學生理解解析式法、表格法和圖像法既是函數(shù)關系表達的三種基本方式，也是后期學習的重點。當然，函數(shù)的學習最終是為了將函數(shù)應用到研究生活中變量之間的關系中去。

5.觀察反思，巧用新知解決問題

思考：觀察艾賓浩斯遺忘曲線（如圖5），結合今天所學的函數(shù)知識，同學們有何感悟？

本環(huán)節(jié)要求學生利用函數(shù)的相關知識去分析問題。教師首先引導學生解決以下2個問題：（1）圖5中存在哪些變量？（2）這些變量之間是否存在函數(shù)關系？然后，引導學生觀察“記憶的數(shù)量”隨著“學習后經(jīng)過的時間”的變化是如何變化的，讓學生初步體會函數(shù)的基本性質(zhì)，為后期具體函數(shù)性質(zhì)的探究埋下伏筆。最后，引導學生思考學習需要“學而時習之”，只有經(jīng)常復習，才能打好學習基礎，以提升學習品格。

三、教學思考

本節(jié)課以整體性教學理念為依托，以函數(shù)的核心知識點為載體，以發(fā)展學生思維為核心，通過精心設計問題鏈，讓學生自主體會知識的生成，實現(xiàn)知識框架的搭建和學習路徑的梳理。

1.發(fā)揮章首課的先行組織作用

章首課的教學不能拘泥于教材第一節(jié)課中的內(nèi)容，需要從更廣闊的視角，從知識關聯(lián)、方法關聯(lián)、邏輯關聯(lián)入手，形成整體，為后續(xù)知識的探究與學習確定目標、明確方法、設計路線［3］。在函數(shù)的章首課教學中，教師不僅要引導學生提煉函數(shù)的基本概念，更要適時地展示研究函數(shù)“情境→概念→表達方式→圖像及性質(zhì)→應用”的基本路徑，明確一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的研究內(nèi)容和任務。學生通過對函數(shù)知識體系整體的理解，體會函數(shù)知識體系、方法體系與邏輯之間的密切聯(lián)系，發(fā)展系統(tǒng)性思維能力。

2.建構章節(jié)整體知識與方法體系

正如《課標（2022年版）》所強調(diào)的，教學設計應當以核心素養(yǎng)為導向，整體把握教學內(nèi)容，架構知識之間聯(lián)系的橋梁。函數(shù)章首課應立足于知識的生長點，以解決函數(shù)關鍵問題為抓手，理解函數(shù)知識的來源、價值和意義。在函數(shù)概念的探究與鞏固過程中，讓學生充分理解函數(shù)概念的內(nèi)涵，重點關注函數(shù)式、表、圖三種表達方式，以單元整體的視角進行研究，幫助學生用聯(lián)系的、發(fā)展的眼光審視問題。同時，讓學生深刻地感受一般函數(shù)與具體函數(shù)研究路徑、研究方法的一致性和連貫性，為后續(xù)知識的學習指明方向，發(fā)展學生的拓廣性思維能力。

3.關注核心素養(yǎng)的落地與發(fā)展

核心素養(yǎng)導向的章首課，應當讓學生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的完整學習過程，使學生親身體驗數(shù)學知識的生成過程，注重方法提煉、思維發(fā)散和創(chuàng)新意識的培養(yǎng)，建構數(shù)學邏輯體系，發(fā)展數(shù)學學科關鍵能力。在逐步建構函數(shù)知識體系時，教師應引導學生發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學問題。例如，在研究艾賓浩斯遺忘曲線時，從形象的圖形入手，讓學生體會曲線的變化趨勢，自主提出函數(shù)性質(zhì)相關問題，使學生在探究中學到知識，在應用中學會創(chuàng)新，培養(yǎng)同構性思維方式。

教學有法，但無定法，貴在得法。區(qū)別于片段式教學，整體性教學視角下的函數(shù)章首課教學更關注知識架構層面、技能培養(yǎng)層面和能力發(fā)展層面的整體思考，并在此基礎上進行設計。同時，在函數(shù)知識的整體教學中，教師應準確把握函數(shù)單元主題的認知定位，處理好一般函數(shù)與一次函數(shù)等具體函數(shù)之間的邏輯關系，引導學生搭建結構化的認知體系，最終通過有意義的活動鞏固學生的認知，進一步提升學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)。

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］申燁暉. 整體性數(shù)學思維方式下的單元教學：以人教版“幾何圖形初步”教學為例［J］. 數(shù)學通報，2022（12）：12-16，21.

［3］卞煥清，王俊蓉. 拋磚引玉：芻議初中數(shù)學章首課的建構：以“反比例函數(shù)”的教學為例［J］. 中學數(shù)學雜志（初中版），2020（6）：12-15.

（責任編輯：羅小熒）

【作者簡介】張礫，高級教師，主要研究方向為中學數(shù)學教育；卞煥清，一級教師，主要研究方向為初中數(shù)學教學。

【基金項目】江蘇省教育科學“十四五”規(guī)劃2021年度重點課題“指向初中生代數(shù)推理能力發(fā)展的問題鏈設計研究”（C-b/2021/02/01）；2023年無錫市義務教育課程與教學改革項目“初中‘立體數(shù)學學科示范中心”