批判性思維培養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)實踐研究

張東年　賈隨軍

【摘 要】科學(xué)本質(zhì)上是一種批判的活動，科學(xué)方法的核心就是試錯法，而核心素養(yǎng)在義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)思維表現(xiàn)為發(fā)展質(zhì)疑問難的批判性思維，形成實事求是的科學(xué)態(tài)度。本文將波普爾的科學(xué)方法論“四段圖式”與數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)結(jié)合起來，構(gòu)建了“提供材料與確定對象→發(fā)現(xiàn)問題與提出問題→試誤逼近與批判質(zhì)疑→評價選擇與信息反饋→反思總結(jié)與獲得結(jié)論”的教學(xué)實踐路徑，為培養(yǎng)批判性思維的數(shù)學(xué)教學(xué)實踐提供參考。

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng)；批判性思維；初中數(shù)學(xué)；途徑；教學(xué)實踐

一、引言

中國學(xué)生的核心素養(yǎng)，包括自主發(fā)展、社會參與和文化基礎(chǔ)三個領(lǐng)域，其中文化基礎(chǔ)領(lǐng)域的素養(yǎng)表現(xiàn)為人文底蘊和科學(xué)精神，而科學(xué)精神具體包括理性思維、批判質(zhì)疑、勇于探究等基本要點。［1］數(shù)學(xué)對于提升民族素養(yǎng)和確保國家旺盛的創(chuàng)造力，具有其他學(xué)科無法替代的獨特作用［2］，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》強調(diào)要發(fā)展學(xué)生質(zhì)疑問難的批判性思維，并形成實事求是的科學(xué)態(tài)度［3］。

批判性思維泛指個人對某一現(xiàn)象和事物之長短利弊的評斷，它要求人們對所判斷的現(xiàn)象和事物有獨立的、綜合的、有建設(shè)意義的見解。［4］20世紀(jì)以來，如何提高學(xué)生的批判性思維能力，一直是教育改革的熱點，批判性思維也成為當(dāng)前學(xué)生必備的核心技能之一。因此，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何培養(yǎng)批判性思維是值得一線教師進行深入研究的，本文以“二元一次方程（組）定義”的教學(xué)為例，探討數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生批判性思維的途徑與方法。

二、數(shù)學(xué)批判性思維培養(yǎng)的途徑

數(shù)學(xué)批判性思維從屬于批判性思維，它是批判性思維在數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)。所謂數(shù)學(xué)批判性思維，是指在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中有目的、有意識地對已有的數(shù)學(xué)表述和數(shù)學(xué)思維過程、結(jié)果做出自我調(diào)節(jié)性分析、判斷、推理、解釋和調(diào)整的個性品質(zhì)。［5］

哲學(xué)家波普爾（K. Popper）認(rèn)為，科學(xué)總歸是假說，科學(xué)態(tài)度本質(zhì)上是批判態(tài)度，本質(zhì)上是一種批判的活動，即科學(xué)是批判的，科學(xué)是可被否證的，可否證性和批判性對科學(xué)最為重要。［6］波普爾建立了科學(xué)方法——試錯法，試錯法由嘗試和排錯兩個要素構(gòu)成，后來波普爾將試錯法進一步公式化，發(fā)展為科學(xué)方法論的“四段圖式”，即P1—TT—EE—P2，其中P1表示問題，TT表示嘗試性的各種理論，EE表示通過批判和檢驗即反駁以清除錯誤，P2表示新的問題。［7］

“四段圖式”表明科學(xué)研究的方法是從問題開始，以新的問題（重要結(jié)論）結(jié)束的；科學(xué)方法的核心就是試錯法；理論先于觀察。本研究在數(shù)學(xué)課堂中創(chuàng)設(shè)批判性思維培養(yǎng)的條件，依據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科本身的教學(xué)特點，結(jié)合科學(xué)方法開展教學(xué)，將波普爾“四段圖式”與數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)有機結(jié)合起來（如圖1）。

荷蘭數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾（H. Freudenthal）認(rèn)為，與其說學(xué)數(shù)學(xué)，倒不如說學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化［8］，數(shù)學(xué)化首要是從現(xiàn)實世界到數(shù)學(xué)內(nèi)部。那么，數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的開始就應(yīng)以情境（數(shù)學(xué)外部與數(shù)學(xué)內(nèi)部的情境）為載體，因此教師要為學(xué)生提供學(xué)習(xí)材料，借助材料確定學(xué)習(xí)對象。為此，在波普爾“四段圖式”與數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的對應(yīng)關(guān)系中應(yīng)增補“提供材料與確定對象”環(huán)節(jié)?；谏鲜龇治?，本研究構(gòu)建了數(shù)學(xué)批判性思維培養(yǎng)的教學(xué)實踐途徑（如圖2）。

（一）提供材料與確定對象

提供材料與確定對象階段的操作過程，就是針對本節(jié)課內(nèi)容選取合適的素材，素材來源主要是數(shù)學(xué)外部材料（如實際問題）和數(shù)學(xué)內(nèi)部材料（如數(shù)學(xué)問題），在確保所提供的材料真實的前提下，設(shè)計合理的生活情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境，適當(dāng)引入數(shù)學(xué)文化。利用具體的、直觀的、典型的、豐富的材料，結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗和長時記憶中的相關(guān)信息，讓學(xué)生在情境中辨認(rèn)出本節(jié)課要研究、學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)對象，這是學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化活動而習(xí)得數(shù)學(xué)思維方式的前提。

（二）發(fā)現(xiàn)問題與提出問題

發(fā)現(xiàn)問題與提出問題階段是針對上一階段確定的學(xué)習(xí)對象，利用已有知識和經(jīng)驗進行類比與分析，厘清學(xué)習(xí)、研究本節(jié)課內(nèi)容的思路，依據(jù)研究思路發(fā)現(xiàn)研究過程中需要面對的問題，同時提出具體的問題。這就是在確定數(shù)學(xué)對象的基礎(chǔ)上，進一步細(xì)化學(xué)習(xí)對象，實現(xiàn)從現(xiàn)實世界進入數(shù)學(xué)的目的，讓學(xué)生真正經(jīng)歷數(shù)學(xué)化活動的過程。

（三）試誤逼近與批判質(zhì)疑

試誤逼近與批判質(zhì)疑階段的操作過程，是指對于已提出的數(shù)學(xué)問題，首先提出一個數(shù)學(xué)結(jié)論（待實踐檢驗），教師設(shè)想出用它來處理問題應(yīng)得出的結(jié)果（預(yù)期結(jié)果），同時學(xué)生用這個數(shù)學(xué)結(jié)論去嘗試解決問題（即用實踐檢驗已提出的數(shù)學(xué)結(jié)論），然后將實踐所得結(jié)果與預(yù)期結(jié)果相比較，在整個實踐過程中產(chǎn)生矛盾，質(zhì)疑過程與結(jié)論，批判思想與方法。試誤逼近的過程就是實踐，問題只有在實踐中才能暴露并被發(fā)現(xiàn)。對已暴露和發(fā)現(xiàn)的問題，不斷試誤逼近，試解一次就離錯誤遠(yuǎn)一步，離正確結(jié)論近一步。

（四）評價選擇與信息反饋

評價選擇與信息反饋階段是將上一階段中實踐所得結(jié)果與預(yù)期結(jié)果進行比較，看它們是否一致：若二者一致，則表明問題得到解決，最先提出的數(shù)學(xué)結(jié)論是正確的；若二者不一致，則表明教學(xué)中沒有得到正確結(jié)論，最先提出的數(shù)學(xué)結(jié)論是錯誤的，此時教師要設(shè)計教學(xué)活動，促使學(xué)生找出二者的差距并重新收集材料，或修改原有數(shù)學(xué)結(jié)論，或建立新的數(shù)學(xué)結(jié)論，然后再實踐、再檢驗，在這個循環(huán)反復(fù)的過程中不斷排除錯誤。

（五）反思總結(jié)與獲得結(jié)論

反思總結(jié)與獲得結(jié)論階段是在經(jīng)歷前面所有階段的活動后，教師設(shè)計活動引導(dǎo)學(xué)生對實踐活動進行反思，通過反思學(xué)會管理自己的學(xué)習(xí)，感悟數(shù)學(xué)知識的獲得過程；教師還需設(shè)計活動引導(dǎo)學(xué)生將實踐活動中得出的結(jié)果與方法用合適的方式進行表達，最終獲得正確的結(jié)論。

三、數(shù)學(xué)批判性思維培養(yǎng)的教學(xué)案例

認(rèn)識二元一次方程組是北師大版教材八年級上冊第五章的章首課內(nèi)容，而二元一次方程（組）定義是本節(jié)的核心概念，也是進一步學(xué)習(xí)二元方程的基礎(chǔ)課。本研究以單元整體教學(xué)視角分析本單元內(nèi)容（如圖3），以數(shù)學(xué)批判性思維培養(yǎng)視角設(shè)計“二元一次方程（組）定義”的教學(xué)。

從教學(xué)內(nèi)容看，在掌握一元一次方程的基礎(chǔ)上，對二元一次方程組進行探究學(xué)習(xí)，豐富學(xué)生對方程的認(rèn)識；從思想方法看，讓學(xué)生從實際問題中抽象出方程和類比一元一次方程知識，學(xué)生通過猜測、歸納等多種途徑獲得知識，豐富學(xué)生研究方程的方法與思路；從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)看，讓學(xué)生經(jīng)歷“學(xué)習(xí)材料與確定對象→發(fā)現(xiàn)問題與提出問題→試誤逼近與批判質(zhì)疑→評價選擇與信息反饋→反思總結(jié)與獲得結(jié)論”的過程，可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模和邏輯推理能力，進而發(fā)展學(xué)生的批判性思維。

（一）提供材料與確定對象

引入 大家已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程的相關(guān)知識，那么，我們應(yīng)該從哪些方面學(xué)習(xí)二元一次方程組呢？

【設(shè)計意圖】建立二元一次方程（組）及其解的概念的方法之一，就是類比一元一次方程的相關(guān)知識。復(fù)習(xí)回顧一元一次方程的知識有助于本節(jié)課概念的歸納總結(jié)以及研究思路的借鑒，同時為學(xué)生學(xué)習(xí)新知識提供思維基礎(chǔ)和活動經(jīng)驗。

問題1 列出一元一次方程的過程中，選擇的未知量是什么？另一個量是什么？如何表示另一個量？根據(jù)以下題意可以得到怎樣的一元一次方程？（思路見表1）

（1）已知長方形的長、寬之和等于10，長與寬的2倍之和等于12，求長和寬。（古巴比倫泥板書）

（2）已知兩數(shù)之和為10，差為4，求這兩數(shù)。（丟番圖《算術(shù)》）

【設(shè)計意圖】從數(shù)學(xué)發(fā)展史上看，二元一次方程組問題和一元一次方程問題幾乎出現(xiàn)得一樣早，歷史上最簡單的二元問題具有如下形式：已知兩個量之和為c1，第一個量的a倍與第二個量的b倍之和（或差）為c2，求兩個量分別是多少？本節(jié)課教學(xué)從古巴比倫泥板書和丟番圖《算術(shù)》中選擇典型問題，對史料中的問題進行重構(gòu)。這樣的設(shè)計符合教學(xué)需要：一是促使學(xué)生體會面對實際問題如何設(shè)元，如何尋找等量關(guān)系（自然語言表述），如何列出一元一次方程，培養(yǎng)學(xué)生的模型思想；二是促使學(xué)生能在提供的真實情境中辨認(rèn)出本課學(xué)習(xí)研究的數(shù)學(xué)對象，經(jīng)歷數(shù)學(xué)化活動，進而習(xí)得數(shù)學(xué)思維。

問題2 將問題1兩小題中的另一個量看作未知量，設(shè)為y，如何列出方程？（思路見表2）

【設(shè)計意圖】學(xué)生經(jīng)歷將一元一次方程轉(zhuǎn)化為二元一次方程（組）的過程，體會“增元”與“減元”，以及二元方程解決實際問題的相對優(yōu)越性。問題2滲透“消元”思想，為二元一次方程組解法做鋪墊，同時引導(dǎo)學(xué)生確定本節(jié)課的學(xué)習(xí)對象。

（二）發(fā)現(xiàn)問題與提出問題

問題3 同學(xué)們，表2中列出的是什么方程？你能根據(jù)已學(xué)知識進行命名和定義嗎？為什么將方程x+y=10叫作二元一次方程呢？什么樣的方程叫作二元一次方程？

在此教學(xué)環(huán)節(jié)中，學(xué)生給出的二元一次方程的定義為“含有2個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是1次的整式方程為二元一次方程”，教師進行板書（如圖4）。顯然，學(xué)生得出的二元一次方程的定義是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模ń處熞罁?jù)學(xué)生結(jié)論書寫板書中灰色方框里的內(nèi)容），即“未知數(shù)的次數(shù)都是1次”存在問題，學(xué)生給出此定義的原因之一是類比了一元一次方程的定義，原因之二是學(xué)生個人的感性認(rèn)識。學(xué)生無法看清存在的問題，因此需要教師設(shè)計活動，讓學(xué)生通過實踐活動不斷試誤，逼近正確的結(jié)論。

問題4 上述問題中，x所表示的對象相同嗎？y呢？

例如，在x+y=10和x-y=4中，x，y代表的對象是相同的，就是說x，y同時滿足這兩個二元一次方程，那么把它們合在一起就組成了一個二元一次方程組，可寫為[x+y=10x-y=4]。

問題5 什么是二元一次方程組？

在此教學(xué)環(huán)節(jié)中，學(xué)生給出的二元一次方程組的定義為“2個二元一次方程所組成的一組方程”，顯然學(xué)生得出的這個結(jié)論也是錯誤的。

【設(shè)計意圖】通過直接學(xué)習(xí)二元一次方程的概念，暴露學(xué)生在得出二元一次方程組概念時會出現(xiàn)的錯誤。本環(huán)節(jié)首先讓學(xué)生從形式上直觀認(rèn)識二元一次方程組的概念，得出結(jié)論；接下來，教師要設(shè)計活動，通過批判質(zhì)疑來試誤逼近二元一次方程組的概念，并糾正二元一次方程組概念總結(jié)中出現(xiàn)的錯誤結(jié)論。

（三）試誤逼近與批判質(zhì)疑（Ⅰ）

問題6 下列方程組中，哪些是二元一次方程組？

①[3x-4z=0x+y=7] ②[xy-y=5x+y=10] ③[x=52x+y=40]．

生：①不是二元一次方程組，因為它含有三個未知數(shù)，應(yīng)該叫作三元一次方程組。

師：非常好，這位同學(xué)的遷移能力很強，由二元一次方程組聯(lián)想到了三元一次方程組。

生：②也不是二元一次方程組，因為xy-y=5不是二元一次方程，它的xy這一項次數(shù)是2次，所以，xy-y=5叫作二元二次方程。

師：非常好，這位同學(xué)的遷移能力也很強，但是大家在前面得出的二元一次方程的定義是“含有2個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是1次的整式方程為二元一次方程”，而方程xy-y=5中含有2個未知數(shù)，分別是x，y，且它們的次數(shù)都是1次，那么方程xy-y=5應(yīng)該還是叫二元一次方程才對呀。

此教學(xué)環(huán)節(jié)中，學(xué)生利用自己得出的數(shù)學(xué)結(jié)論（二元一次方程的定義）解決問題，將實踐所得結(jié)果與預(yù)期結(jié)果相比較，在實踐過程中產(chǎn)生了矛盾，學(xué)生開始批判、質(zhì)疑前期得出的數(shù)學(xué)結(jié)論。

（四）評價選擇與信息反饋（Ⅰ）

師：上面爭論的問題出在哪里？是習(xí)題有問題？還是大家已得出的二元一次方程的定義存在問題？如何修改呢？

生：應(yīng)該是我們得出的二元一次方程的定義有錯誤，應(yīng)將“未知數(shù)的次數(shù)都是1次”改為“含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1次”。

（五）反思總結(jié)與獲得結(jié)論（Ⅰ）

學(xué)生在解決問題6的過程中，發(fā)現(xiàn)已得出的二元一次方程的定義存在問題，于是在錯誤結(jié)論的基礎(chǔ)上進行修改完善，一起得到二元一次方程的定義為“含有2個未知數(shù)，且所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1次的整式方程為二元一次方程”。

（六）試誤逼近與批判質(zhì)疑（Ⅱ）

師：大家對問題6中的③存在爭論，若[x=52x+y=40]也是二元一次方程組，則我們已經(jīng)得出的二元一次方程組的定義就有錯；若我們已經(jīng)得出的二元一次方程組的定義是正確的，則[x=52x+y=40]就不是二元一次方程組，那應(yīng)該稱[x=52x+y=40]為什么呢？請大家認(rèn)真思考，可以討論交流。

生：應(yīng)該將[x=52x+y=40]稱為二元一次方程組（要不然這類方程組就沒有名字了），我懷疑是我們已總結(jié)出的二元一次方程組的定義存在問題。

此教學(xué)環(huán)節(jié)中，學(xué)生利用自己得出的數(shù)學(xué)結(jié)論（二元一次方程組的定義）來判斷問題6第③題，將實踐所得結(jié)果與預(yù)期結(jié)果相比較，在實踐過程中同樣產(chǎn)生了矛盾，促使學(xué)生開始批判、質(zhì)疑前期得出的數(shù)學(xué)結(jié)論。

（七）評價選擇與信息反饋（Ⅱ）

師：上面爭論的問題中，有同學(xué)質(zhì)疑大家已得出的二元一次方程組的定義存在問題，那需要如何修改呢？

生：應(yīng)將“2個二元一次方程所組成的一組方程”改為“一共有2個未知數(shù)的2個一次方程組成的一組方程”。

（八）反思總結(jié)與獲得結(jié)論（Ⅱ）

經(jīng)過學(xué)生的不斷修改完善，最終得到正確的結(jié)論“一共有2個未知數(shù)的2個一次方程所組成的一組方程，叫作二元一次方程組”，如[x=7y=3]也是一個二元一次方程組。

【設(shè)計意圖】借助問題6，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷試誤逼近與批判質(zhì)疑、評價選擇與信息反饋、反思總結(jié)與獲得結(jié)論的完整過程，最終獲得二元一次方程和二元一次方程組的概念，培養(yǎng)了學(xué)生的批判、質(zhì)疑、思辨能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。

四、數(shù)學(xué)批判性思維培養(yǎng)的教學(xué)思考

批判性思維對于創(chuàng)新能力是不可或缺的重要影響因素。我國中學(xué)生普遍缺乏質(zhì)疑精神和對知識的評價選擇能力，在學(xué)習(xí)過程中容易形成思維定式，過多依賴標(biāo)準(zhǔn)答案，但這不能說明學(xué)生天生批判質(zhì)疑和創(chuàng)新的潛能薄弱，而是與課堂教學(xué)、評價標(biāo)準(zhǔn)等息息相關(guān)。批判性思維的缺失會導(dǎo)致創(chuàng)新能力的不足，因此，一線教學(xué)應(yīng)該重視學(xué)生批判性思維的培養(yǎng)。

（一）為學(xué)生提供獨立發(fā)現(xiàn)、獨立思考的機會

真理的發(fā)現(xiàn)總是從矛盾和問題開始，問題是真理發(fā)現(xiàn)的出發(fā)點。解決問題僅僅是實踐技能而已，而發(fā)現(xiàn)新問題、提出新問題卻需要創(chuàng)造性的想象力。學(xué)生擁有豐富的、合乎實際的感性材料，才會有思維加工的對象，才有可能產(chǎn)生一系列思維活動。因此，批判性思維培養(yǎng)的首要任務(wù)是教師在教學(xué)實踐中為學(xué)生提供真實材料，設(shè)計活動引導(dǎo)學(xué)生對材料進行去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的思維加工，為學(xué)生在實踐活動中獨立發(fā)現(xiàn)問題、提出問題提供機會，提升學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看世界的能力。

（二）為學(xué)生創(chuàng)設(shè)試誤逼近、批判質(zhì)疑的過程

真理是在實踐過程中通過試誤逼近而被發(fā)現(xiàn)的，試誤逼近是真理發(fā)現(xiàn)的途徑之一，是一個實踐過程，也只有在實踐的過程中才能完成試誤逼近。同時，實踐過程中必定出現(xiàn)觀念不一致、主客體之間爭辯和批判質(zhì)疑等情況。為此，批判性思維的培養(yǎng)需要教師在教學(xué)實踐中精心創(chuàng)設(shè)試誤逼近、批判質(zhì)疑的教學(xué)活動，可行的辦法是用認(rèn)識指導(dǎo)實踐，如用初步獲得的二元一次方程（組）的定義去試解問題，看看是否促使實踐的發(fā)展，問題是否得到解決。如果不能解決問題，則證明原有認(rèn)識或已得數(shù)學(xué)結(jié)論是錯誤或者局部錯誤的，需要重新認(rèn)識對象，甚至修改原有的數(shù)學(xué)結(jié)論，再通過不斷的教學(xué)活動排除錯誤，如此循環(huán)反復(fù)，最終獲得正確結(jié)論。試誤、質(zhì)疑的實踐活動培養(yǎng)了學(xué)生的批判質(zhì)疑的科學(xué)態(tài)度，提升了學(xué)生用數(shù)學(xué)思維思考世界的能力。

（三）為學(xué)生預(yù)留探討問題、反思總結(jié)的時間

真理的獲得過程中，人腦進行著反復(fù)的評價、比較和選擇的操作，甚至?xí)?jīng)歷好幾次的試誤、失敗，進而從失敗的多條途徑中找到正確的方法，最終獲得正確的結(jié)論。經(jīng)歷這樣的教學(xué)活動必定需要花費一定的時間，為此，批判性思維的培養(yǎng)需要教師在教學(xué)實踐中優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)活動，不僅要為學(xué)生經(jīng)歷完整的、有效的試誤逼近、批判質(zhì)疑的學(xué)習(xí)活動提供充足的時間，還要注意預(yù)留探討問題、反思總結(jié)的時間。

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［7］顧春明. 論波普爾的“四段圖式”［J］. 社會科學(xué)輯刊，1998（4）：9-12．

［8］弗賴登塔爾. 數(shù)學(xué)教育再探：在中國的講學(xué)［M］. 劉意竹，楊剛，等譯. 上海：上海教育出版社，1999．

（責(zé)任編輯：潘安）

【作者簡介】張東年，一級教師，主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究；賈隨軍，教授，浙江省中青年學(xué)科帶頭人，美國特拉華大學(xué)訪問學(xué)者，主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究。

【基金項目】甘肅省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2023年度課題“基于新課標(biāo)的數(shù)學(xué)中考試題情境量化分析與命題策略研究”（GS〔2023〕GHB0633）