二次函數(shù)不同表達式的求解思路分析

趙亞文

【摘? 要】? 二次函數(shù)既是初中數(shù)學的重要內(nèi)容，也是學生們學習的難點之一.作為基本要素之一，二次函數(shù)的解析式是打開函數(shù)世界的一把關(guān)鍵“鑰匙”，因此解析式的求解是學習的關(guān)鍵與重點.常見的二次函數(shù)解析式形式有一般式、頂點式、交點式，掌握所有表達式對應(yīng)的解題思路和方法，才能夠提高解題效率，達到解題目的.本文主要對三種不同的二次函數(shù)表達式問題進行分析，通過例題得到一些解題的通法，提供給更多經(jīng)驗以便學生學習和思考.

【關(guān)鍵詞】? 初中數(shù)學；二次函數(shù)；解題技巧

1? 一般式

形如的表達式被稱為二次函數(shù)的一般表達式，是三種不同表達形式中最基礎(chǔ)、最常見的一種形式.待定系數(shù)法是解答二次函數(shù)一般式的常見方法，即找到三組已知的點坐標，將對應(yīng)的代入解析式中，通過解三元一次方程求出具體的值.

解答二次函數(shù)一般解析式的具體步驟為：①根據(jù)已知條件找到函數(shù)上具體的三個點坐標，假設(shè)函數(shù)解析式為；②將坐標中值代入假設(shè)的解析式中，得到三元一次方程；③運算求得大小，即可得知二次函數(shù)的具體解析式.

例1? 如圖1，二次函數(shù)（）圖象與軸交于兩點，與軸交于點，則二次函數(shù)的解析式為_____.

剖析? 沒有在問題中給出明確的坐標，首先需要結(jié)合圖形找出經(jīng)過函數(shù)的三個具體坐標值，其次將這些坐標代入解析式中，解三元一次方程組即可求得函數(shù)的一般形式解析式.

解析? 由圖1可知二次函數(shù)經(jīng)過、、三點，

將其代入解析式中，

可得，

解方程組可知，

故拋物線解析式為.

2? 頂點式

形如（）被稱為二次函數(shù)的頂點式，也是初中數(shù)學常見的一種二次函數(shù)表達形式，求解該解析式需要明確頂點坐標和其他點坐標，將其代入假設(shè)的頂點形式解析式中，求得的大小，即可得知具體的函數(shù)解析式.

求解二次函數(shù)頂點式問題，具體解題步驟為：①假設(shè)二次函數(shù)解析式為；②根據(jù)所給條件和已知圖象，代入假設(shè)的解析式中得到方程組；③運算求出的大小，即可得知具體的頂點式.

例2? 如圖2所示，點在函數(shù)圖象上，已知△是邊長為的等腰直角三角形，求該二次函數(shù)的解析式.

剖析? 首先假設(shè)函數(shù)解析式為頂點式，其次結(jié)合三角形的結(jié)構(gòu)特點和已知對稱軸求出頂點坐標，將的具體坐標值代入假設(shè)的解析式中，求得的大小，即可得知具體二次函數(shù)解析式.

解析? 如圖2所示，二次函數(shù)的對稱軸為，

假設(shè)函數(shù)解析式為（），

因為△是邊長為的等腰直角三角形，

所以，

此時點、，

代入解析式中可得：，，，

故二次函數(shù)解析式為，

即.

3? 交點式

形如的解析式被稱為二次函數(shù)的交點表達式，其中對應(yīng)函數(shù)與軸的交點.作為常見的一種二次函數(shù)解析式，求解時需要知道交點坐標和其他任意一點坐標，即可對解析式做出解答.

求解二次函數(shù)的交點形式解析式，具體解題步驟為：①假設(shè)二次函數(shù)解析式為交點形式；②根據(jù)所給條件，找出與軸相交的兩點坐標和其他一點坐標；③將坐標值帶入假設(shè)的解析式中，求出的值，即可求得具體坐標解析式.

例3? 已知一元二次方程的兩個實數(shù)根，且，若分別是拋物線與軸的兩個交點的橫坐標（如圖3），且拋物線與軸交于點，求拋物線的具體解析式.

剖析? 拋物線與軸相交的兩點對應(yīng)方程的兩個實數(shù)根，首先假設(shè)拋物線解析式為交點形式，解方程求出兩個交點坐標，代入解析式中求得的值，其次根據(jù)點求出的值，即可得知函數(shù)的具體解析式.

解析? 假設(shè)二次函數(shù)解析式為（），

因為是方程的兩個實數(shù)根，

因為，

所以，，

因為經(jīng)過點，

所以，

解得，

所以二次函數(shù)解析式為，

即.

4? 結(jié)語

通過上述例題分析，一般式、頂點式、交點式都需要找到具體點的坐標，將其代入假設(shè)的解析式中運算，即可求得具體函數(shù)表達式.三種不同形式的函數(shù)表達式分別展示了二次函數(shù)解析式求解的不同思路，每一種表達式對應(yīng)的點坐標各不相同，且都是學生們必須全部掌握和學習的重點內(nèi)容.學生們在實踐過程中，需要結(jié)合其他知識點求坐標具體值，因此熟練掌握基本知識點，是解答函數(shù)解析式問題的基礎(chǔ)與關(guān)鍵.

參考文獻：

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