淺談初中數(shù)學教學中的反證法在解題中的應(yīng)用

李慶芳

【摘要】本文以初中數(shù)學教學中的反證法應(yīng)用為研究對象，通過具體的例子，闡述了反證法在初中數(shù)學教學中的應(yīng)用.通過本文的研究，可以幫助教師更好地運用反證法來引導(dǎo)學生思考和解決數(shù)學問題，提高學生的數(shù)學思維能力和證明能力.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學；反證法；教學方法

初中數(shù)學教學中，反證法是一種常用的證明方法.它通過假設(shè)所要證明的命題為假，然后推導(dǎo)出與已知事實或已證明命題矛盾的結(jié)論，從而證明所要證明的命題為真.反證法在數(shù)學教學中的應(yīng)用可以培養(yǎng)學生的邏輯思維能力和推理能力，幫助學生更好地理解和應(yīng)用數(shù)學定理和公式.

1? 反證法在初中數(shù)學教學中的具體應(yīng)用

1.1? 基本命題即學科中的起始性命題

使用反證法進行證明的關(guān)鍵是要找到一個合適的假設(shè)，使得通過推導(dǎo)可以得到矛盾的結(jié)論.這通常需要一些洞察力和創(chuàng)造力.一旦找到了這個假設(shè)，就可以按照推理規(guī)則逐步推導(dǎo)，直到得到矛盾的結(jié)論.

例1? 證明“兩條直線同時平行于第三條直線，則原兩條直線互相平行”.

已知：AB∥EF，CD∥EF，

求證：AB∥CD.

證明? 假設(shè)AB與CD不平行，

則AB與CD相交于點P，

因為AB∥EF，即AP∥EF、CD∥EF即CP∥EF，

這與“過線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”的定理矛盾.

所以假設(shè)AB與CD不平行不成立，即AB與CD平行.

分析? 根據(jù)平行公理，如果兩條直線均與第三條直線平行，那么這兩條直線也是平行的.因此，根據(jù)已知條件，EF與AB平行，EF與CD平行，那么根據(jù)平行公理，AB與CD也應(yīng)該是平行的.然而，根據(jù)題目的描述，過P點有兩條不一樣的直線與EF平行，這與AB與CD平行的結(jié)論相矛盾.因此，假設(shè)AB與CD不平行是不成立的.根據(jù)這個結(jié)論，可以得出以下推論：如果兩條直線與同一條直線平行，那么這兩條直線也是平行的.這個推論可以被看作是平行公理的一個特例，即當兩條直線與同一條直線平行時，它們也是平行的.綜上所述，可以得出結(jié)論：AB與CD不平行不成立.故AB∥CD.

小結(jié)? 讓學生知道這種類型的題目是不能直接通過證明來得出結(jié)論的，需要從問題的反面出發(fā)，證明假設(shè)是錯誤的.

1.2? 采取否定形式的命題

結(jié)論里有“不是”“沒有”“不存在”“不可能”等這樣否定形式的字眼的命題出現(xiàn).

例2? 證明2不是有理數(shù)，即2是無理數(shù).

證明? 假設(shè)2是有理數(shù)，那我們能找到自然數(shù)a和b，使得2=ab，

這里的a和b是互質(zhì)的整數(shù)，對上式兩邊進行平方，得到a2=2b2，

因此，a2為偶數(shù)，所以，a也一定是偶數(shù).于是，存在一個自然數(shù)c，

使得a=2c，則a2=4c2，則2c2=b2，

從而b2是偶數(shù)，因此b也是偶數(shù).

由上得出a，b均為偶數(shù)與a，b互質(zhì)矛盾，

所以我們一開始的假設(shè)是錯誤的，故2是無理數(shù).

分析? 在證明是無理數(shù)的時候，直接證明2是無理數(shù)會讓人手足無措，于是，可以從假設(shè)根號2是有理數(shù)出發(fā)進行證明，結(jié)果肯定與原結(jié)論是矛盾的.

小結(jié)? 通過使用反證法，我們可以簡化解題過程，特別是在證明一個命題的否定形式時.在初中數(shù)學中，經(jīng)常使用反證法證明一些關(guān)于整數(shù)的性質(zhì)，這樣的證明過程可以幫助學生深入理解相關(guān)數(shù)學概念和性質(zhì)，還可以幫助學生培養(yǎng)批判性思維和解決問題的能力.

1.3? 有關(guān)個數(shù)的命題

例3? 已知a，b，c都是正實數(shù)，求證：下列三個式子中至少有一個不小于2：

a+1c，c+1a.

證明? 不妨設(shè)三個式子a+1c，c+1a全部都小于2，

即a+1b<2，b+1c<2，c+1a<2

由于a，b，c是任意的正實數(shù)，

可以令a=b=c=5，

則有：a+1c=c+1a=5.2，顯然矛盾.

所以，假設(shè)不成立，故原命題成立，

即a+1c，c+1a中至少有一個不小于2.

分析? “三個式子中至少有一個不小于2”共有七種情況，雖然結(jié)論很顯然，但是證明起來困難又繁雜，而它的反面是“全都小于2”只有一種情況，因此可以選擇從反面進行證明，假設(shè)三個式子全都小于2，再來證明假設(shè)是錯誤的，原結(jié)論才得以成立.

小結(jié)? 由上述例題可以知道當遇到結(jié)論里包含“最多”“不少于”“至少”“至多”“唯一”等這樣的詞語命題時，可以從反面進行思考并分析問題，看看能不能使用反證法證題，這樣會簡便很多.

1.4? 有關(guān)角度的命題

例4? 在一個三角形中，至少有一個角大于或等于60°.

證明? 假設(shè)三角形三個內(nèi)角都小于60°，則它們的和小于180°.但是根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，三角形三個內(nèi)角的和必須等于180°，這與我們的假設(shè)相矛盾.因此，我們的假設(shè)是錯誤的.

根據(jù)反證法的結(jié)論，我們可以得出原命題“在一個三角形中，至少有一個角大于或等于60°”是正確的.

分析? 這個案例中，反證法的應(yīng)用非常明顯.首先，我們假設(shè)了一個與已知條件相矛盾的結(jié)論（即三角形三個內(nèi)角都小于60°）.然后，我們通過推理得出了矛盾的結(jié)果（即三角形內(nèi)角和定理與假設(shè)相矛盾）.最后，我們得出了與假設(shè)相反的結(jié)論，從而證明了原命題的正確性.

小結(jié)? 反證法可以幫助我們更快地找到解題方法，提高解題效率和準確性.同時，反證法也是一種常用的數(shù)學證明方法，可以幫助我們培養(yǎng)邏輯思維能力和創(chuàng)造性思維能力.

2? 結(jié)語

反證法是數(shù)學推理中常用的一種方法，它通過假設(shè)所要證明的命題為假，然后推導(dǎo)出矛盾的結(jié)論，從而證明原命題為真.通過反證法，可以培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，提高問題解決能力.在初中數(shù)學學習中，反證法可以用來證明一些關(guān)于方程和幾何圖形的性質(zhì).此外，反證法還可以幫助學生發(fā)現(xiàn)和解決一些難題.因此，在初中數(shù)學教學中，我們應(yīng)該充分利用反證法這一有效的推理方法，幫助學生提高數(shù)學思維能力，培養(yǎng)解決問題的能力.

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