指向高階思維的初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)

徐樂

【摘? 要】? 問題是數(shù)學(xué)的“心臟”，解決問題是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心.問題解決是一項(xiàng)復(fù)雜且有創(chuàng)造性的活動(dòng)，思維則是重中之重.本文以2021年一道中考試題為例，基于高階思維的視角，對(duì)整個(gè)解題教學(xué)過程展開探究.

【關(guān)鍵詞】? 高階思維；初中數(shù)學(xué)；解題教學(xué)

數(shù)學(xué)作為初中階段最為重要的一門學(xué)科，極具抽象性、邏輯性，素有“思維體操”之稱.新課程改革背景下，基于數(shù)學(xué)課堂激活、促進(jìn)高階思維，已成為教學(xué)的重中之重.縱觀當(dāng)前初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)現(xiàn)狀，受到灌輸式、機(jī)械化解題教學(xué)模式的影響，學(xué)生的思維水平比較低，依然拘泥于定向思維模式中，致使學(xué)生一旦遇到開放、復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，就會(huì)手足無措.鑒于此，立足于日常解題教學(xué)加強(qiáng)學(xué)生的高階思維訓(xùn)練刻不容緩.

1? 基于初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生高階思維發(fā)展

原題? 如圖1所示，射線，且的長度為8，點(diǎn)位于射線的上方，并在線段的垂直平分線上，連接，將線段繞著按照逆時(shí)針方向進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，最終得到對(duì)應(yīng)線段，若點(diǎn)恰好落在射線上，則到射線的距離為多少？

圖1

1.1? 搭建問題支架，激活高階思維

在培養(yǎng)學(xué)生高階思維時(shí)，必須要科學(xué)、合理搭建問題支架，使得學(xué)生在問題支架的引導(dǎo)下，構(gòu)建起從題目已知條件到所求結(jié)論之間橋梁[1].在本題目中，就遵循這一原則，為學(xué)生設(shè)計(jì)如下問題：

問題1? 回憶旋轉(zhuǎn)具備哪些性質(zhì)？分析題目和圖形，在必要時(shí)可添加輔助線，一共可得到的已知條件？在這一問題的引導(dǎo)下，學(xué)生根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出：，結(jié)合“對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心距離相等”得出；結(jié)合“由任意點(diǎn)一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)中心連線構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)角相等”得出；如此，學(xué)生就會(huì)聯(lián)想到連接，在題目中構(gòu)建成為兩個(gè)新的三角形，分別為：（如圖2所示）.

圖2

問題2? 分析題目結(jié)論，可在圖中如何表示出來？在這一問題的引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞“所求結(jié)論”展開分析，得出：要想求出“到射線的距離”，需要過做，垂足為，因此即為所求距離.

問題3? 分析圖2，圖形中存在哪些特殊的圖形，這些特殊的圖形與所求結(jié)果之間存在什么關(guān)系？在這一問題引領(lǐng)下，學(xué)生通過題目分析得出，因?yàn)槎呤切D(zhuǎn)得到的；同時(shí)，圖形中還存在一系列的直角三角形，且這些直角三角形對(duì)應(yīng)角相等.不僅僅是一條直角邊，同時(shí)還是中邊上的高.

如此，在這三個(gè)問題的引導(dǎo)下，學(xué)生不僅理清了已知條件和所求結(jié)論，也逐漸形成了明確的解題思路，為高階思維發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

1.2? 一題多解訓(xùn)練，推進(jìn)高階思維

為了促進(jìn)學(xué)生的高階思維發(fā)展，必須要引領(lǐng)學(xué)生從多個(gè)角度探索解題方法.在本題目中，結(jié)合上述分析，以及初中生已有的知識(shí)體系，可從以下兩個(gè)角度進(jìn)行思考和解答：角度一：將視為一條直角邊進(jìn)行解答；角度二：將視為中邊上的高進(jìn)行解答.根據(jù)這兩種思路，可形成三種不同解題方法：

解法1? 從三角形相似的角度進(jìn)行解答.設(shè)的垂直平分線與射線相交于點(diǎn)，則有，根據(jù)勾股定理得知.

因?yàn)槭怯删€段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所得，

所以，

又因?yàn)椋?/p>

所以，即，

代入相關(guān)數(shù)值，即可得出.

解法2? 從三角函數(shù)的角度進(jìn)行解答.設(shè)的垂直平分線與射線相交于點(diǎn)，則有，根據(jù)勾股定理得知.

同時(shí)，結(jié)合旋轉(zhuǎn)知識(shí)得出，

因此，，則有，

代入即可得.

解法3? 利用等積法進(jìn)行解答.設(shè)的垂直平分線與射線相交于點(diǎn)，則有，根據(jù)勾股定理得知.

結(jié)合旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出，，因此，

則，代入相關(guān)數(shù)值即可得出.

1.3? 變式訓(xùn)練，強(qiáng)化高階思維

為促進(jìn)數(shù)學(xué)高階思維發(fā)展，教圍繞“線段繞線段外一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)”展開變式訓(xùn)練.

變式1? 如圖3所示，射線互相垂直，且，點(diǎn)位于射線的上方，并在線段的垂直平分線上，連接，將線段繞著按照逆時(shí)針的方向進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，最終得到對(duì)應(yīng)線段，若點(diǎn)恰好落在射線上，則線段在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積為多少？

圖3

在這一變式訓(xùn)練中，學(xué)生只要添加必要的輔助線，即可構(gòu)成兩個(gè)全等三角形，即：，根據(jù)題目中所求“陰影部分面積”，即可采用割補(bǔ)法，通過.

變式2? 在直角坐標(biāo)系中，，線段繞著點(diǎn)按照逆時(shí)針方向進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，最終得到，使得其一個(gè)端點(diǎn)恰好落在軸上，求另一點(diǎn)的橫坐標(biāo)？

變式3? 在直角坐標(biāo)系中，，線段繞著點(diǎn)按照逆時(shí)針的方向旋轉(zhuǎn)得，使得其一個(gè)端點(diǎn)恰好落在軸上，試用的代數(shù)式對(duì)另一點(diǎn)的橫坐標(biāo)進(jìn)行表示？

1.4? 解題反思，升華高階思維

解題反思是促進(jìn)學(xué)生高階思維發(fā)展的關(guān)鍵階段.但在引領(lǐng)學(xué)生反思的過程中，鑒于初中生實(shí)情，應(yīng)充分發(fā)揮教師的引導(dǎo)價(jià)值，為學(xué)生科學(xué)設(shè)置反思問題.在本題目解題反思中，就為學(xué)生提出了以下問題：

問題1? 在解答上述問題時(shí)，總共涉及哪些數(shù)學(xué)知識(shí)？

問題2? 上述題目分析思考流程如何？

問題3? 在分析和解決問題的過程中，出現(xiàn)了哪些錯(cuò)誤？應(yīng)如何避免？

問題4? 在解題過程中，遇到了哪些解題障礙？又是如何突破這些障礙的[2]？

2? 結(jié)語

綜上所述，基于數(shù)學(xué)解題教學(xué)培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的高階思維，已經(jīng)成為數(shù)學(xué)解題教學(xué)的重中之重.鑒于此，教師應(yīng)深層次挖掘數(shù)學(xué)題目中蘊(yùn)含的高階思維培養(yǎng)點(diǎn)，科學(xué)組織解題教學(xué)，使得學(xué)生在解題學(xué)習(xí)中，逐漸形成一定的高階思維.

參考文獻(xiàn)：

[1]張文鈺.解題教學(xué)中初中生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)策略分析[J].新課程研究，2022（35）：132-134.

[2]劉舟娟.培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng) 提升高階思維[J].現(xiàn)代教學(xué)，2022（19）：54-55.