幾何性質(zhì)解析，定理應(yīng)用探尋

陳俞怡

【摘? 要】? 幾何中存在大量的性質(zhì)定理，直角三角形斜邊中線性質(zhì)定理是其中較為常用的一種.問(wèn)題解析需要提取或構(gòu)造直角三角形，提取斜邊中線或中點(diǎn)，再結(jié)合定理推導(dǎo)線段長(zhǎng)關(guān)系.本文結(jié)合實(shí)例探究直角三角形斜邊中線性質(zhì)定理的三大常見(jiàn)應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】? 直角三角形；斜邊；中線

直角三角形斜邊中線性質(zhì)在求解幾何問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用.性質(zhì)定理成立的核心有兩點(diǎn)：一是直角三角形；二是斜邊上的中線.應(yīng)用探究有兩種思路：一是直接使用性質(zhì)定理推導(dǎo)線段關(guān)系；二是逆向使用證明三角形為直角三角形.下面進(jìn)行應(yīng)用探究.

1? 推導(dǎo)解析周長(zhǎng)

使用直角三角形斜邊中線性質(zhì)定理可以推導(dǎo)求解幾何周長(zhǎng)問(wèn)題，求解時(shí)提取其中的直角三角形模型，確定斜邊以及中線，再結(jié)合定理進(jìn)行線段關(guān)系推導(dǎo).后續(xù)構(gòu)建周長(zhǎng)模型，代入線段長(zhǎng)完成求解.

例1? 如圖1所示，∠ADB＝∠ACB＝90°，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，若AB＝26，CD＝24，則△DEF的周長(zhǎng)為? ? ? ? ? .

分析? 本題目為幾何周長(zhǎng)問(wèn)題，其中存在直角三角形，求解線段長(zhǎng)時(shí)可以考慮使用直角三角形斜邊中線性質(zhì)定理.先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出DF與CF的長(zhǎng)，再由等腰三角形的性質(zhì)求出DE的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出EF的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論.

過(guò)程詳解? 已知ADB=∠ACB=90°，且點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，AB=26，

利用直角三角形的斜邊中線性質(zhì)可得DF=CF=，從而可推知△CDF是等腰三角形.

又知點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，CD＝24，

所以EF⊥CD，DE=，

在Rt△DEF中，利用勾股定理可得DE==5.

從而可知△DEF的周長(zhǎng)為：DF+DE+EF＝13+12+5＝30.

評(píng)析? 上述求解三角形周長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)用了直角三角形斜邊中線的性質(zhì)定理，根據(jù)定理推導(dǎo)求解DF長(zhǎng)，并推導(dǎo)△CDF的特殊性質(zhì).對(duì)于與幾何周長(zhǎng)相關(guān)的問(wèn)題，解析時(shí)需要注意兩點(diǎn)：一是結(jié)合周長(zhǎng)公式轉(zhuǎn)化為線段和問(wèn)題；二是注意提取問(wèn)題中的幾何模型，利用模型特性推導(dǎo)線段關(guān)系.

2? 分析計(jì)算角度

直角三角形斜邊中線性質(zhì)定理也可用于幾何角度問(wèn)題推導(dǎo)中，通過(guò)分為兩步：第一步，提取直角三角形模型，利用斜邊中線性質(zhì)定理推導(dǎo)線段關(guān)系；第二步，借助線段關(guān)系反推三角形特性，利用三角形特性來(lái)推出角度.

例2? 如圖2所示，已知△ABC中，∠ACB＝90°，O為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，求∠COE的度數(shù).

分析? 本題目求解幾何角度，圖中以直角三角形為背景構(gòu)建了復(fù)合圖形，問(wèn)題求解可以利用直角三角形的相關(guān)性.

由等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠CAE=∠AEC=45°，求得∠CAB=60°，得到∠B=30°.根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CO=BO=AO=，得到△AOC是等邊三角形，∠OCB=∠B=30°，于是得到結(jié)論.

過(guò)程詳解? 已知∠ACB=90°，CE=AC，

則∠CAE＝∠AEC＝45°.

又知∠BAE＝15°，則∠CAB＝60°，所以∠B=30°.

因?yàn)椤螦CB＝90°，O為AB的中點(diǎn)，

由直角三角形斜邊中線性質(zhì)可得CO＝BO＝AO=，

則△AOC是等邊三角形，∠OCB＝∠B=30°，

所以AC＝OC＝CE，

從而可求得∠COE＝∠CEO=（180°﹣30°）＝75°.

評(píng)析? 上述求解幾何角時(shí)使用了眾多幾何性質(zhì)定理，包括直角三角形斜邊上的中線，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì).解題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是正確識(shí)別圖形，提取其中的模型；二是合理利用條件反推幾何特性.

3? 綜合應(yīng)用解析

直角三角形斜邊中線性質(zhì)定理也可用于綜合性問(wèn)題求解，使用時(shí)常與其他幾何性質(zhì)定理相結(jié)合，如三角形中位線或中線定理、垂直平分線性質(zhì)定理等.具體使用同樣需分兩步：第一步，讀題解圖，提取幾何模型；第二步，利用模型性質(zhì)定理進(jìn)行推理分析.

例3? 如圖3所示，在四邊形ABCD中，已知∠ABC＝90°，AC＝AD.點(diǎn)M，N分別為AC，CD的中點(diǎn)，連接BM，MN，BN，回答下列問(wèn)題.

（1）求證：BM＝MN；

（2）若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，寫(xiě)出求BN長(zhǎng)的思路．

分析? 本題目為幾何綜合題，問(wèn)題解析需要關(guān)注其中的直角三角形模型，綜合使用性質(zhì)定理來(lái)推導(dǎo).

（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得BM=，由三角形中位線定理得得MN=，根據(jù)題意證明.

（2）證明△NMB是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.

過(guò)程詳解? （1）證明：已知∠ABC=90°，M為AC中點(diǎn)，

則BM=.

點(diǎn)M為AC中點(diǎn)，N為DC中點(diǎn)，

則MN=.

又知AD＝AC，所以BM＝MN.

（2）已知∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，

（3）則∠DAC＝∠CAB＝30°，

（4）所以BM＝AM==1，可推知∠MAB＝∠MBA＝30°，從而有∠CMB＝60°.

根據(jù)三角形中位線定理得，MN∥AD，MN=＝1，

所以∠DAC=∠NMC=30°，可知△NMB是等腰直角三角形，

由勾股定理得，BN=.

評(píng)析? 上述為幾何綜合問(wèn)題，兩問(wèn)涉及了證明線段關(guān)系，以及求解線段長(zhǎng).具體求解時(shí)綜合運(yùn)用了直角三角形的性質(zhì)定理、三角形中位線定理.利用性質(zhì)定理推導(dǎo)線段長(zhǎng)，分析角度關(guān)系，確定三角形特性.對(duì)于幾何綜合題，解析時(shí)要注意兩點(diǎn)：一是注意拆解圖形，提取其中的關(guān)鍵性質(zhì)；二是定理使用時(shí)注意成立條件.

4? 結(jié)語(yǔ)

總之，直角三角形斜邊中線性質(zhì)定理使用時(shí)，需注意提取或構(gòu)建直角三角形模型，把握問(wèn)題中的中點(diǎn)、線段等量關(guān)系，合理利用性質(zhì)定理轉(zhuǎn)化推導(dǎo)關(guān)系，確定圖形特性.探究學(xué)習(xí)中，需要關(guān)注性質(zhì)定理成立的條件，總結(jié)解題思路及構(gòu)建策略，開(kāi)展類型題分類探究，總結(jié)方法.