學(xué)科融合背景下提升數(shù)學(xué)化歸能力的教學(xué)策略探究

許競(jìng)文

【摘? 要】? 數(shù)學(xué)是一個(gè)知識(shí)學(xué)習(xí)的過(guò)程，也是一個(gè)思想方法積累與解決問(wèn)題能力培養(yǎng)的過(guò)程.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，采用一個(gè)合適的方法往往會(huì)得到事半功倍的效果，尤其是面對(duì)復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，唯有選擇合適的思維方法，才能建構(gòu)清晰的解題思路，從而解決問(wèn)題.教師把數(shù)學(xué)知識(shí)相互融合，借助信息技術(shù)的手段，將化歸思想方法滲透入教學(xué)中，有助于學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.

【關(guān)鍵詞】? 高中數(shù)學(xué)；化歸思想；課堂教學(xué)

1? 化歸思想的概念與原則

著名數(shù)學(xué)家波利亞在《怎樣解題》一書中提出，教師可以通過(guò)對(duì)學(xué)生提問(wèn)來(lái)引導(dǎo)學(xué)生尋找已知數(shù)據(jù)與未知量之間的關(guān)系.“你知道一道與它相關(guān)的題目嗎？你知道一條可能有用的定理嗎？觀察未知量！并盡量想出一道你所熟悉的具有相同或者相似未知量的題目.這里有一道題目和你的題目有關(guān)而且以前解過(guò)[1].”人們?cè)诮鉀Q問(wèn)題時(shí)，如果直接應(yīng)用已有知識(shí)不能有效地解決問(wèn)題，往往會(huì)將問(wèn)題進(jìn)行不斷地分解與轉(zhuǎn)化，將它們轉(zhuǎn)化成已知的、熟悉的、簡(jiǎn)單的形式，最終實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決.這種思想方法叫做化歸思想，它是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的簡(jiǎn)稱.化歸不僅是一種解決問(wèn)題的重要方法，還是一種基本的思維策略，更是一種有效的數(shù)學(xué)思維方法.其研究思路如圖1.

圖1

化歸思想方法的實(shí)質(zhì)就是利用已有的、基本的、具體的知識(shí)，將未知的、復(fù)雜的、抽象的知識(shí)轉(zhuǎn)化為具體、常規(guī)、簡(jiǎn)單的問(wèn)題，進(jìn)而解決問(wèn)題，其基本原則如下.

1.1? 熟悉化原則

熟悉化原則也就是將陌生問(wèn)題轉(zhuǎn)化成熟悉問(wèn)題的原則，利用已有的知識(shí)及經(jīng)驗(yàn)，將問(wèn)題不斷分解、調(diào)整、擴(kuò)充.

1.2? 簡(jiǎn)單化原則

簡(jiǎn)單化原則也就是將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題的原則，通過(guò)換元、降次、特殊化等手段，將問(wèn)題不斷簡(jiǎn)化.

1.3? 直觀化原則

直觀化原則也就是把抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體、形象、直觀的問(wèn)題的原則，通過(guò)數(shù)形結(jié)合、構(gòu)造等方法，使得問(wèn)題更加便于理解[2].

1.4? 特殊化原則

特殊化原則也就是把一般的、普遍的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為極端的、特殊的情況，從這些情況中獲得啟示，從而解決問(wèn)題的原則.

2? 化歸思想運(yùn)用于函數(shù)教學(xué)中的意義分析

2.1? 滲透融合，加強(qiáng)函數(shù)知識(shí)聯(lián)系

在化歸思想影響下，學(xué)生整合運(yùn)用已掌握的知識(shí)，構(gòu)建完整的函數(shù)知識(shí)體系.數(shù)學(xué)教師對(duì)函數(shù)知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行串聯(lián)式教學(xué)，側(cè)重性地強(qiáng)化學(xué)生對(duì)各個(gè)函數(shù)知識(shí)板塊的整合能力，使學(xué)生形成函數(shù)知識(shí)整合使用的意識(shí)，以確保學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中能夠進(jìn)行函數(shù)知識(shí)內(nèi)容的化歸，進(jìn)而達(dá)到發(fā)揮化歸思想對(duì)于強(qiáng)化函數(shù)知識(shí)內(nèi)容聯(lián)系的目的.

2.2? 拓展延伸，鍛煉學(xué)生思維能力

化歸思想不僅對(duì)學(xué)生的函數(shù)知識(shí)板塊聯(lián)系作出了化歸要求，還明確要求學(xué)生將解題方法、思維模式等進(jìn)行混合使用，這就需要學(xué)生思維上更加貼切函數(shù)學(xué)習(xí)的發(fā)展要求，具備一定的函數(shù)信息處理能力，能夠靈活調(diào)度使用各種解題方法，而這些能力的發(fā)展無(wú)形中也會(huì)帶動(dòng)學(xué)生函數(shù)思維能力的發(fā)展，使學(xué)生的函數(shù)視野不只是局限于課本教材的函數(shù)知識(shí)，能夠涉及更為廣闊的函數(shù)知識(shí)世界[3].

2.3? 化難為易，降低學(xué)生學(xué)習(xí)壓力

相較于傳統(tǒng)的函數(shù)學(xué)習(xí)模式，在化歸思想的加持輔助之下，學(xué)生實(shí)現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、化未知為已知、復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題等函數(shù)解題策略的高效運(yùn)用，完成了函數(shù)學(xué)習(xí)的舉一反三，一定程度上降低了函數(shù)學(xué)習(xí)對(duì)于學(xué)生思維能力的要求，使得函數(shù)知識(shí)更為容易地被學(xué)生接受，而學(xué)生自然而然就不會(huì)再懼怕函數(shù)學(xué)習(xí)，相反地，學(xué)生會(huì)以更加積極主動(dòng)的姿態(tài)參與到函數(shù)學(xué)習(xí)中，教師也通過(guò)“化歸思想”的運(yùn)用減輕了學(xué)生函數(shù)學(xué)習(xí)的身心壓力.

3? 化歸思想函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

函數(shù)表示了一種變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，它是研究絕大多數(shù)數(shù)學(xué)分支的重要工具，也是研究其他學(xué)科的一大有力工具.函數(shù)與人們的生活息息相關(guān)，它是一種高效的思維方式，掌握函數(shù)及函數(shù)的思想方法，有助于更好地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題.函數(shù)滲透整個(gè)數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，也是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).在學(xué)科交叉的背景下，教師通過(guò)與其他科目的融合，借助信息技術(shù)的手段，將化歸思想方法滲透入函數(shù)教學(xué)中，有助于學(xué)生更好地理解函數(shù)的知識(shí)，解決函數(shù)學(xué)習(xí)中遇到的問(wèn)題.

3.1? 學(xué)科知識(shí)點(diǎn)的串聯(lián)與融合

函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)繁多、具有很強(qiáng)的抽象性，不僅是解決問(wèn)題的重要模型，也是提高學(xué)生核心素養(yǎng)的基本載體.教師在函數(shù)教學(xué)過(guò)程中，需要建立各個(gè)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)，尤其是在后續(xù)函數(shù)的教學(xué)中，需要帶領(lǐng)學(xué)生不斷回顧、復(fù)習(xí)先前所學(xué)的函數(shù)知識(shí)，將新的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題，從而促進(jìn)新問(wèn)題的解決.

此外，教師需要在教學(xué)中將知識(shí)進(jìn)行分類、歸納、總結(jié)，可以借助思維導(dǎo)圖實(shí)現(xiàn)新舊知識(shí)的關(guān)聯(lián).思維導(dǎo)圖又叫心智導(dǎo)圖，它利用圖形及網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，把各級(jí)主題的關(guān)系形象地表示出來(lái)，將知識(shí)整合、優(yōu)化，充分利用左右腦的技能，有助于記憶知識(shí)及培養(yǎng)發(fā)散性思維.通過(guò)思維導(dǎo)圖把從屬的知識(shí)串成線，把相鄰的知識(shí)連成面，將知識(shí)以框架形式呈現(xiàn)給學(xué)生，以便于學(xué)生形象直觀地看到各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)，形成完整的知識(shí)體系，在解決問(wèn)題的過(guò)程中從頭腦中的知識(shí)體系中抽取相應(yīng)的知識(shí)，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的化歸.

3.2? 正向與反向的轉(zhuǎn)化

在函數(shù)教學(xué)中，存在許多無(wú)法從正面解決或者從正面解決比較復(fù)雜的問(wèn)題.所謂正難則反，當(dāng)許多函數(shù)問(wèn)題無(wú)法從正面進(jìn)行解決時(shí)，可以按照給定條件從反向進(jìn)行思考，將正向問(wèn)題化歸為反向問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)正向與反向的轉(zhuǎn)化.

反證法是函數(shù)中常用的一種解決問(wèn)題的方法.通過(guò)判斷反向論題的虛假，推出矛盾，可以間接證明原命題的正確性.牛頓曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦?”一般來(lái)講，反證法常用來(lái)證明正面證明有困難，情況多或復(fù)雜，而命題的否定則比較淺顯的題目，問(wèn)題可能解決得十分干脆.也就是說(shuō)，將一些比較難以解決的正向問(wèn)題，通過(guò)化歸思想方法，轉(zhuǎn)化為先證明反向問(wèn)題的錯(cuò)誤，進(jìn)而推出正向問(wèn)題的正確性[4].

例如? 在三角函數(shù)周期性的學(xué)習(xí)中，教師提出是正弦函數(shù)的最小正周期.在實(shí)際教學(xué)中，由于課時(shí)限制以及學(xué)生理解水平的差異，部分教師往往會(huì)直接向?qū)W生闡明上述結(jié)論，而忽視該命題的證明，這剝奪了學(xué)生對(duì)過(guò)程與方法的體驗(yàn)，不利于學(xué)生邏輯推理能力的發(fā)展.事實(shí)上，運(yùn)用反證法很容易證明上述結(jié)論：根據(jù)誘導(dǎo)公式，可以推得是正弦函數(shù)的周期，再運(yùn)用反證法，通過(guò)舉反例即可推得是正弦函數(shù)的最小正周期.

3.3? 函數(shù)問(wèn)題與其他學(xué)科問(wèn)題的互相轉(zhuǎn)化

函數(shù)表示了一種變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，它是研究絕大多數(shù)數(shù)學(xué)分支的重要工具，也是研究其他學(xué)科的一大有力工具.函數(shù)與人們的生活息息相關(guān)，它是一種高效的思維方式，也與其他數(shù)學(xué)分支有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系.通過(guò)對(duì)函數(shù)問(wèn)題與幾何問(wèn)題、代數(shù)問(wèn)題等等，可以實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的簡(jiǎn)化，從而促進(jìn)問(wèn)題的解決，也可以給予學(xué)生思考問(wèn)題的不同角度，促進(jìn)學(xué)生發(fā)散性思維的發(fā)展.

面對(duì)一些比較復(fù)雜的函數(shù)問(wèn)題，可以將其轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休.”數(shù)學(xué)中，數(shù)和形是兩個(gè)最主要的研究對(duì)象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件下，通化歸思想方法，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透.

例如? 求函數(shù)的最小值，此問(wèn)題可以將上述函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行配方，轉(zhuǎn)化為求的最小值，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，也就是求到距離的最小值.最后，本問(wèn)題可以通過(guò)不斷變形，化歸為求到拋物線上的點(diǎn)的距離的最大值，利用幾何性質(zhì)進(jìn)行求解.這樣把函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)了問(wèn)題的簡(jiǎn)化.

又如，在學(xué)習(xí)空間向量的時(shí)候，教師需引導(dǎo)學(xué)生利用函數(shù)思想解決空間向量問(wèn)題，尤其是在求法向量、平行向量時(shí)，常常會(huì)運(yùn)用函數(shù)與方程的思想進(jìn)行求解，將幾何條件化歸為代數(shù)條件，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化與簡(jiǎn)化.

3.4? 函數(shù)主元的轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)問(wèn)題涉及多變?cè)獣r(shí)通常難度較大，這時(shí)候可以進(jìn)行常量和變量的化歸，將函數(shù)中的常數(shù)或者參數(shù)當(dāng)成“主元”，把函數(shù)中的其他變量當(dāng)做“參數(shù)”，通過(guò)減少變?cè)獊?lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算.尤其是在解決含參變量的函數(shù)、含多個(gè)變量的函數(shù)以及曲線方程的問(wèn)題時(shí)，常常需要轉(zhuǎn)換主元，通過(guò)化歸思想方法實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的簡(jiǎn)化[5].

例如? 求使得對(duì)于滿足-2＜m＜-1的所有實(shí)數(shù)m，不等式恒成立的x的范圍.本問(wèn)題若將x看成主元，m看做參數(shù)，是一道一元二次不等式的問(wèn)題，而若將m看成變量，x看做參數(shù)，則可以化歸為一元一次不等式的問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)了問(wèn)題的簡(jiǎn)化.因此，通過(guò)變換主元，尤其是把已知范圍的參數(shù)作為主元，化歸為已知參數(shù)范圍求解問(wèn)題，可以促進(jìn)問(wèn)題的順利解決.

3.5? 現(xiàn)代信息技術(shù)與教學(xué)的融合

隨著現(xiàn)代技術(shù)的不斷發(fā)展，數(shù)學(xué)課堂的形式也在不知不覺(jué)中發(fā)生了重大的轉(zhuǎn)變，把現(xiàn)代技術(shù)引入課堂教學(xué)是一種必然的趨勢(shì).通過(guò)現(xiàn)代技術(shù)，可以大大簡(jiǎn)化繁瑣的運(yùn)算，給數(shù)學(xué)課堂注入活力.

圖形計(jì)算器是一個(gè)很好的教學(xué)工具，通過(guò)圖形計(jì)算器，可以讓學(xué)生動(dòng)手操作，經(jīng)歷“再發(fā)現(xiàn)”數(shù)學(xué)規(guī)律的過(guò)程，使得抽象繁瑣的數(shù)學(xué)運(yùn)算變得簡(jiǎn)單、自然，提高課堂效率.并且通過(guò)圖形計(jì)算器，學(xué)生可以主動(dòng)地探究數(shù)學(xué)知識(shí)，實(shí)現(xiàn)“歸納先導(dǎo)，演繹跟進(jìn)”的原理.

4? 結(jié)語(yǔ)

教師需要在日常教學(xué)中通過(guò)串聯(lián)知識(shí)點(diǎn)、正反向轉(zhuǎn)化、函數(shù)與其它問(wèn)題的轉(zhuǎn)化、函數(shù)主元的轉(zhuǎn)化，不斷滲透化歸思想方法，讓學(xué)生在化歸思想方法的學(xué)習(xí)與實(shí)踐中從最初的模仿，到自己理解化歸思想方法，進(jìn)而掌握、靈活運(yùn)用化歸思想方法，將復(fù)雜的問(wèn)題進(jìn)行不斷地分解與轉(zhuǎn)化，將它們轉(zhuǎn)化成已知的、熟悉的、簡(jiǎn)單的形式，從中學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)與提出問(wèn)題、分析與解決問(wèn)題.

教師在教學(xué)過(guò)程中，不僅僅需要講授知識(shí)與解題技能、方法，更需要不斷滲透數(shù)學(xué)思想方法，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)進(jìn)一步深化歸思想的函數(shù)教學(xué)滲透，通過(guò)化函數(shù)為圖形、化正面為反面、題根轉(zhuǎn)化等多種策略來(lái)落實(shí)化歸思想的運(yùn)用，發(fā)揮化歸思想函數(shù)增效的功能，使每一個(gè)高中生的數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)素養(yǎng)、思維能力、解題技巧等都能夠?qū)崿F(xiàn)全方位成長(zhǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]波利亞（美）.怎樣解題[M].上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2011.

[2]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[3]周曉琳.數(shù)學(xué)化歸思想的培養(yǎng)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2015（12）：45-46.

[4]王艷輝.例談數(shù)學(xué)化歸的思維[J].成功（教育），2013（22）：91.

[5]李躍勝.學(xué)科融合背景下提高數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容真實(shí)性初探[J].黑河教育，2022（11）：50-52.