高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生公理化思想的實(shí)踐研究

陸娜

【摘? 要】? 公理化思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，其在高中階段的教學(xué)中具有重要的作用.本文從公理化思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用、培養(yǎng)學(xué)生公理化思想的方法和實(shí)踐策略以及在培養(yǎng)學(xué)生公理化思想中遇到的挑戰(zhàn)等方面進(jìn)行探討，旨在為數(shù)學(xué)教學(xué)提供一些借鑒和思路.

【關(guān)鍵詞】? 公理化思想；高中數(shù)學(xué)；邏輯思維

數(shù)學(xué)是一門(mén)抽象的學(xué)科，而公理化思想則是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要內(nèi)容和核心概念，它能夠幫助學(xué)生提高邏輯思維能力、增強(qiáng)自學(xué)能力以及拓展數(shù)學(xué)思維.在高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生公理化思想具有相當(dāng)重要的作用.然而，由于公理化思想的抽象性和難度較高，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中會(huì)面臨一些困難，因此，如何在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中成功培養(yǎng)學(xué)生公理化思想是當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)所面臨的一個(gè)重要問(wèn)題.

1? 公理化思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

公理化思想是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中不可或缺的一部分，主要通過(guò)建立公理系統(tǒng)來(lái)構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系，從而使學(xué)生能夠更加系統(tǒng)地理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí).以下針對(duì)公理化思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用，從三個(gè)方面展開(kāi)論述.

1.1? 培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力

公理化思想的建立是基于邏輯推理的，因?yàn)楣硐到y(tǒng)是在一些基礎(chǔ)假設(shè)下進(jìn)行推理得出的.學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中需要掌握一定的邏輯思維能力，才能夠深入理解公理化思想的本質(zhì).在學(xué)習(xí)公理化思想時(shí)，教師可以與學(xué)生進(jìn)行思考和討論，幫助學(xué)生鍛煉邏輯思維能力，讓學(xué)生能夠?qū)⑺鶎W(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中去[1].

1.2? 增強(qiáng)學(xué)生自學(xué)能力

公理化思想可以幫助學(xué)生從基礎(chǔ)理念開(kāi)始構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系，使得學(xué)生能夠更加深入地理解數(shù)學(xué)知識(shí).通過(guò)公理化思想，學(xué)生能夠了解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)和原理，掌握數(shù)學(xué)解題的方法和技巧，進(jìn)而增強(qiáng)學(xué)生的自學(xué)能力.教師還可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)查閱數(shù)學(xué)文獻(xiàn)、網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)等方式，自主學(xué)習(xí)新知識(shí)，進(jìn)一步提高學(xué)生的自學(xué)能力和獨(dú)立思考能力.

1.3? 拓展學(xué)生數(shù)學(xué)思維

公理化思想可以幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，并擴(kuò)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.數(shù)學(xué)的實(shí)踐過(guò)程就是將公理化思想應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)中一些概念和結(jié)論的理解.通過(guò)對(duì)這些實(shí)際問(wèn)題的研究和解決，學(xué)生能夠更加深入地理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，培養(yǎng)出更為靈活和敏銳的數(shù)學(xué)思維[2].

2? 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生公理化思想的方法

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生公理化思想是非常重要的，因?yàn)檫@是學(xué)生走向科學(xué)研究的必要基礎(chǔ).本文將從三個(gè)方面來(lái)論述高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生公理化思想的方法，并結(jié)合數(shù)學(xué)教材中的例子進(jìn)行說(shuō)明.

2.1? 引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)

數(shù)學(xué)是一門(mén)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，其基礎(chǔ)概念都必須是清晰、準(zhǔn)確、無(wú)歧義的.在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，特別是那些涉及公理的概念，比如集合論中的包含關(guān)系、實(shí)數(shù)系統(tǒng)中的有序性等.要引導(dǎo)學(xué)生從概念出發(fā)，通過(guò)比較、歸納等方式，理解公理的本意和作用，逐漸形成公理化思維.

例如? 在教學(xué)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生從指數(shù)函數(shù)的特性出發(fā)，比較指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而引出對(duì)數(shù)函數(shù)的定義和性質(zhì)，讓學(xué)生在實(shí)際操作中逐漸形成公理化思維[3].

2.2? 讓學(xué)生學(xué)會(huì)嚴(yán)格證明

嚴(yán)格證明是數(shù)學(xué)思想深刻嵌入學(xué)生思維中的一種有效方式.在教學(xué)中，可以適當(dāng)增加證明題目，讓學(xué)生通過(guò)證明來(lái)理解定理，領(lǐng)會(huì)公理化這一思想.

例如? 在教學(xué)三角函數(shù)時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生從幾何和三角函數(shù)的定義出發(fā)，了解三角函數(shù)的定義域、范圍和周期等概念，進(jìn)而逐步證明三角函數(shù)與直角三角形的關(guān)系、周期公式等定理，讓學(xué)生在實(shí)踐證明中逐漸理解公理的內(nèi)涵，培養(yǎng)公理化思維.

2.3? 讓學(xué)生在數(shù)學(xué)建模中體驗(yàn)公理化思想

數(shù)學(xué)建模是一個(gè)非常好的培養(yǎng)公理化思維的平臺(tái)，在數(shù)學(xué)建模中，學(xué)生必須從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型，從模型中提取公理，用公理推導(dǎo)出結(jié)論，最終驗(yàn)證其正確性.

例如? 在教學(xué)平面向量及其應(yīng)用時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生從圖形中提取向量的定義和性質(zhì)，進(jìn)而構(gòu)建出向量模型，從模型中發(fā)掘出向量的加法、數(shù)量積等公理，進(jìn)一步應(yīng)用公理推導(dǎo)出向量的性質(zhì)和應(yīng)用場(chǎng)景，讓學(xué)生在實(shí)際建模中深入體驗(yàn)公理化思維，逐步形成科學(xué)思維[4].

3? 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生公理化思想的實(shí)踐策略

3.1? 引導(dǎo)學(xué)生理解公理的重要性

公理是數(shù)學(xué)推理的起點(diǎn)，是其他定理的前置條件.教師可以通過(guò)教學(xué)中的案例來(lái)引導(dǎo)學(xué)生理解公理的重要性.

例如? 如在指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)中，引導(dǎo)學(xué)生理解單位復(fù)利計(jì)算公式及其本質(zhì)，進(jìn)而發(fā)掘出指數(shù)金字塔大師的貢獻(xiàn)及其實(shí)際應(yīng)用；在三角函數(shù)中，引導(dǎo)學(xué)生理解導(dǎo)出正切函數(shù)的原理及其應(yīng)用；在平面向量及其應(yīng)用中，引導(dǎo)學(xué)生理解向量的重要性及其基本操作等.在日常教學(xué)活動(dòng)中，注意培養(yǎng)學(xué)生的公理化思想，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)常思考問(wèn)題的公理化本質(zhì)，反復(fù)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)中重要的公理原則，漸次加深學(xué)生對(duì)公理的理解和認(rèn)識(shí)[5].

3.2? 鼓勵(lì)學(xué)生嘗試證明定理

證明是培養(yǎng)公理化思維的重要途徑.在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，證明定理，可以提高他們的公理化思維.

例如? 對(duì)隨機(jī)事件與概率，可以引導(dǎo)學(xué)生自己推導(dǎo)概率公式及其性質(zhì)；在三角函數(shù)中，可以引導(dǎo)學(xué)生自行發(fā)現(xiàn)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)及其關(guān)系等等.教師應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生自己動(dòng)手證明定理，提高他們的感性認(rèn)識(shí)，構(gòu)建牢固的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).

3.3? 引導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)學(xué)概念和規(guī)律

概念和規(guī)律是公理化思想的重要體現(xiàn).在教學(xué)過(guò)程中，教師可引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自主探究、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念并進(jìn)行歸納總結(jié).

例如? 在三角函數(shù)中，引導(dǎo)學(xué)生研究銳角三角函數(shù)和平角三角函數(shù)的概念及其性質(zhì)；在平面向量及其應(yīng)用中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)向量的定義和性質(zhì)等.學(xué)生通過(guò)探究問(wèn)題，可以理解數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力.

3.4? 幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)框架

數(shù)學(xué)框架是公理化思維的重要體現(xiàn).在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)框架，使學(xué)生能夠?qū)⒅R(shí)點(diǎn)有機(jī)地融合在一起，形成有機(jī)的體系.

例如? 在指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)中，引導(dǎo)學(xué)生將指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的定義、性質(zhì)及其基本應(yīng)用融合成一整個(gè)知識(shí)體系.在平面向量及其應(yīng)用中，引導(dǎo)學(xué)生掌握向量的基本操作和應(yīng)用，建立平面向量的框架，進(jìn)而應(yīng)用向量分解原理解決幾何問(wèn)題.

4? 高中數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生公理化思想中遇到的挑戰(zhàn)

高中數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生公理化思想是教學(xué)中必須重視的一個(gè)方面.但是在教學(xué)過(guò)程中，教師往往會(huì)面臨一些挑戰(zhàn)，這些挑戰(zhàn)需要根據(jù)具體情況進(jìn)行解決.本文將從四個(gè)方面論述高中數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生公理化思想中遇到的挑戰(zhàn)以及解決措施，并結(jié)合高中數(shù)學(xué)的教學(xué)例子進(jìn)行說(shuō)明.

4.1? 學(xué)生理解公理的難度

公理是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中無(wú)可替代，使用公理可以準(zhǔn)確地推導(dǎo)出數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決方法.然而，學(xué)生理解一些基本公理可能會(huì)遇到一定的難度，比如結(jié)合律、分配律等.特別是對(duì)初學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)生，他們往往會(huì)覺(jué)得這些公理過(guò)于抽象，并且很難應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中.為了讓學(xué)生更好地理解公理，需要通過(guò)具體的實(shí)例來(lái)解釋公理的應(yīng)用.

例如? 在教授指數(shù)函數(shù)的時(shí)候，可以結(jié)合實(shí)際生活中的例子，如復(fù)利計(jì)息等，來(lái)解釋指數(shù)函數(shù)的公理，幫助學(xué)生更好地理解公理的應(yīng)用.另外，教師還可以利用場(chǎng)景模擬、探究實(shí)驗(yàn)等方式，讓學(xué)生通過(guò)實(shí)踐的方式來(lái)感性理解公理的應(yīng)用.

4.2? 學(xué)生差異性問(wèn)題

每個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和習(xí)慣都有所不同，這一點(diǎn)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中尤其明顯.因此，對(duì)數(shù)學(xué)教師來(lái)說(shuō)，他們需要考慮到學(xué)生的差異性，采取不同的教學(xué)策略來(lái)滿足不同學(xué)生的需求.

例如? 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)這一主題比較抽象，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，很難通過(guò)看書(shū)和聽(tīng)課來(lái)理解它們的概念和應(yīng)用.為此，教師可以采取思想啟發(fā)的方式，利用實(shí)例進(jìn)行講解，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的特點(diǎn)和規(guī)律.例如，可以通過(guò)講解化學(xué)反應(yīng)中的PH值和酸堿度來(lái)引出對(duì)數(shù)函數(shù)的概念.此外，教師還可以通過(guò)編一些生活中的情境題目來(lái)幫助學(xué)生理解指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，激發(fā)學(xué)生的興趣和熱情.同樣，在三角函數(shù)這一主題中，很多學(xué)生也會(huì)覺(jué)得抽象和難懂.教師可以采用多樣化的教學(xué)策略來(lái)助力學(xué)生的理解.如，引入三角函數(shù)的歷史背景和應(yīng)用場(chǎng)景，打破學(xué)生的傳統(tǒng)觀念，在學(xué)習(xí)過(guò)程中感受到三角函數(shù)的美妙之處.

又如，教師還可以通過(guò)編寫(xiě)相關(guān)的應(yīng)用題，加強(qiáng)學(xué)生的實(shí)踐能力和應(yīng)用能力.平面向量及其應(yīng)用是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)非常關(guān)鍵的主題.在教學(xué)中，教師可以通過(guò)展示真實(shí)的應(yīng)用場(chǎng)景，如工程、建筑等領(lǐng)域，讓學(xué)生了解向量在實(shí)際生活中的重要性和應(yīng)用價(jià)值.同時(shí)，教師還可以通過(guò)展示向量圖、建立向量坐標(biāo)系、演示向量積等多種方式，讓學(xué)生掌握向量的基本概念和運(yùn)算方法.

4.3? 理論與實(shí)踐脫節(jié)

數(shù)學(xué)是一門(mén)理論完備的學(xué)科，它提供了一系列的概念和公式來(lái)描述現(xiàn)實(shí)世界的各種規(guī)律和現(xiàn)象.然而，實(shí)際上，很多時(shí)候理論與實(shí)際之間并不完全一致，學(xué)生們往往難以將抽象的理論概念應(yīng)用到實(shí)際求解問(wèn)題當(dāng)中，導(dǎo)致了理論甚至與實(shí)際完全脫節(jié)的情況的出現(xiàn).針對(duì)這一問(wèn)題，需要采取一些實(shí)際有效的解決措施.

首先，教師可以通過(guò)生動(dòng)、有趣、實(shí)際的教學(xué)實(shí)例來(lái)激發(fā)學(xué)生的興趣.

例如? 在教學(xué)平面向量的時(shí)候，可以結(jié)合比如物體的運(yùn)動(dòng)和速度，平面直角坐標(biāo)系等實(shí)際問(wèn)題來(lái)解釋向量的方向、大小等概念，讓學(xué)生真正理解與實(shí)際之間的聯(lián)系，尤其是讓學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題過(guò)程中創(chuàng)造性地應(yīng)用理論知識(shí).

其次，在教學(xué)過(guò)程中，可以強(qiáng)調(diào)理論的應(yīng)用性，讓學(xué)生明白理論知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用，并且激發(fā)學(xué)生的求知欲和好奇心，進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和熱情.同時(shí)，也可以豐富學(xué)生的閱讀量和數(shù)學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解和掌握.

4.4? 課堂氛圍不夠活躍

課堂的學(xué)習(xí)氛圍是影響學(xué)生學(xué)習(xí)積極性的關(guān)鍵因素之一.如果學(xué)生感覺(jué)無(wú)法融入課堂，或是無(wú)法得到教師的反饋與指導(dǎo)，就有可能會(huì)導(dǎo)致他們的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力下降.因此，教師應(yīng)該采取一系列措施來(lái)營(yíng)造積極的學(xué)習(xí)氛圍，為學(xué)生創(chuàng)造良好的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，提高教學(xué)效果.比如可以采用多媒體教學(xué)法，通過(guò)多樣性的板書(shū)、有趣的課件、圖像等方式吸引學(xué)生的眼球，幫助他們更好地理解課程內(nèi)容.

另外，教師也可以在課堂中采用互動(dòng)式教學(xué)方式，例如開(kāi)展討論、提問(wèn)、分組合作等，讓學(xué)生能夠得到更積極的參與和更正面的反饋.這樣可以有效提高學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心和主動(dòng)性，同時(shí)增強(qiáng)學(xué)生的思考能力和獨(dú)立性.除此之外，教師還應(yīng)該注意利用課外活動(dòng)來(lái)加強(qiáng)學(xué)生的積極性.例如，組織科普展覽、實(shí)踐活動(dòng)、文化比賽等等，來(lái)激發(fā)學(xué)生的興趣和熱情，從而增強(qiáng)他們參與課堂的積極性.

5? 結(jié)語(yǔ)

本文主要介紹了在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生公理化思想的作用、方法、策略和挑戰(zhàn).高中數(shù)學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一，其目的是讓學(xué)生掌握公理化思想，以解決實(shí)際問(wèn)題.在教學(xué)中，教師需要根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)和需要，靈活運(yùn)用各種手段，以便最大限度地培養(yǎng)學(xué)生的公理化思想.同時(shí)，教師也應(yīng)該針對(duì)學(xué)生在公理化思想的學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到的問(wèn)題和困難，采取積極有效的措施，來(lái)幫助學(xué)生更好地掌握這方面的知識(shí).

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