表征視角下的數(shù)形結(jié)合思想方法引導(dǎo)探究

李成 蔡慶有

【摘? 要】? 問(wèn)題表征是解決問(wèn)題的一種有力工具，而數(shù)學(xué)表征能力是學(xué)生數(shù)學(xué)核心能力之一的體現(xiàn).中學(xué)數(shù)學(xué)的主要研究對(duì)象就是以數(shù)量關(guān)系與空間形式所表征出現(xiàn)的問(wèn)題，“數(shù)”與“形”的各自表征體現(xiàn)出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S和直覺(jué)的感知思維，研究“數(shù)”與“形”的結(jié)合方法在一定程度上也拓寬了這兩種思維的培養(yǎng)路徑.

【關(guān)鍵詞】? 高中數(shù)學(xué)；表征；數(shù)形結(jié)合

1? 概念綜述

1.1? 數(shù)學(xué)表征

在心理學(xué)中表征一詞概念為“信息在大腦中的呈現(xiàn)就稱為表征”.徐斌艷對(duì)于數(shù)學(xué)表征站在變換能力的角度定義為：“用某種形式，例如書(shū)面符號(hào)、圖形（表）、情景、操作性模型、文字（包括口頭文字）等，表達(dá)要學(xué)習(xí)或處理的數(shù)學(xué)概念或關(guān)系，以便最終解決問(wèn)題”[1].從數(shù)學(xué)表現(xiàn)形式上將數(shù)學(xué)概念或問(wèn)題劃分為符號(hào)（文字）表征和圖示表征.例如集合的表示法中的描述法就是用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)下定義集合概念的，而圖示法（維恩圖法）就是用幾何圖形重疊的區(qū)域表示集合的一種方法，兩種方法都是對(duì)集合概念的描述方法.符號(hào)表征具有歷時(shí)性，是對(duì)數(shù)學(xué)概念的信息的抽象化數(shù)字表征.圖示表征具有共時(shí)性，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵的直觀化的形象表征.問(wèn)題解決表征呈現(xiàn)形式不同，采取的解決路徑也是大相徑庭.

1.2? 數(shù)形結(jié)合

數(shù)與形是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的兩大主題.從畢達(dá)哥拉斯的“萬(wàn)物皆數(shù)”到笛卡爾解析幾何的建立都是“數(shù)形結(jié)合”在歷史長(zhǎng)河中的痕跡[2].將一個(gè)代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一種特定形式的幾何問(wèn)題，便可直觀化地分析出問(wèn)題中要素關(guān)系以及其解法；將一個(gè)幾何問(wèn)題代數(shù)化后，便可抽象化精準(zhǔn)化地測(cè)量出幾何要素的位置關(guān)系[3].數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)就是通過(guò)對(duì)數(shù)與形在符號(hào)形式與空間形式上的對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)換，使得數(shù)量關(guān)系與空間形式在某種機(jī)制下相得益彰、水乳交融[4].

2? 表征視角下的數(shù)形結(jié)合思想方法引導(dǎo)探究

數(shù)形結(jié)合的思想方法在高考中的考查屬于重點(diǎn)和難點(diǎn)，考查學(xué)生的代數(shù)運(yùn)算能力和圖形空間想象能力.作為一種解題技巧，無(wú)非就是兩種情況（形化為數(shù)和數(shù)化為形），但是從高中數(shù)學(xué)知識(shí)的表征形態(tài)來(lái)看，以知識(shí)層面對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用分類為三種表征對(duì)象：①方程、不等式、代數(shù)式最值；②平面幾何和立體幾何；③代數(shù)和幾何的橋梁者（函數(shù)和向量）.這些都是獨(dú)立的知識(shí)體系，數(shù)形結(jié)合的考查要點(diǎn)就是對(duì)這幾種知識(shí)體系的轉(zhuǎn)換.根據(jù)不同知識(shí)點(diǎn)的不同表征形態(tài)劃分轉(zhuǎn)化，使得數(shù)形結(jié)合解題思路清晰有章可循.已有的成固定思維的數(shù)形結(jié)合本文不再探究，例如方程的根與函數(shù)圖象零點(diǎn)問(wèn)題、用建系法解決平面或立體幾何中位置關(guān)系等問(wèn)題.高級(jí)段的數(shù)形結(jié)合應(yīng)是跨度大但有深層聯(lián)系的不同知識(shí)板塊的數(shù)形結(jié)合，這也是近年來(lái)高考的難點(diǎn)和學(xué)生思維的障礙點(diǎn).

2.1? 平面幾何表征解決方程問(wèn)題

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思路? 方程組中后兩式與余弦定理可聯(lián)系，余弦定理與三角形有密切聯(lián)系，此題的方程表征就轉(zhuǎn)換到三角形幾何表征了.

評(píng)價(jià)? 本題的突破點(diǎn)在于方程能否轉(zhuǎn)化為余弦定理公式，其次根據(jù)余弦定理與幾何圖形（三角形）的聯(lián)系性，運(yùn)用等積法解決.

2.2? 立體幾何表征解決不等式問(wèn)題

觀察變化后不等式，發(fā)現(xiàn)左邊類似于勾股定理，那么我們就能進(jìn)一步聯(lián)想為在長(zhǎng)方體中各邊構(gòu)造關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題.

評(píng)價(jià)? 本題的突破點(diǎn)在于利用勾股定理把問(wèn)題引入到幾何表征中，值得強(qiáng)調(diào)的是，勾股定理多在平面幾何中出現(xiàn)，能聯(lián)想到立體幾何空間中去構(gòu)造長(zhǎng)方體是此題突破點(diǎn).

2.3? 函數(shù)表征解決代數(shù)式最值問(wèn)題

評(píng)價(jià)? 采用整體視角去發(fā)現(xiàn)代數(shù)式中兩點(diǎn)間距離公式是本題的解答關(guān)鍵所在，之后的構(gòu)建函數(shù)利用圖象來(lái)找最值就迎刃而解了.

2.4? 等式表征解決平面幾何“長(zhǎng)度”問(wèn)題

思路? 從題的表征形式上看，這是一道幾何求線段長(zhǎng)的問(wèn)題，那么其中的各條幾何線段必存在某種數(shù)量的聯(lián)系，這就會(huì)讓學(xué)生聯(lián)想到用以三角形為工具展開(kāi)的“勾股定理”或“三角函數(shù)”來(lái)解決此問(wèn)題了.

評(píng)價(jià)? 此題的轉(zhuǎn)化角度在于要明察到線段長(zhǎng)度背后的代數(shù)關(guān)系，這里的表征突破點(diǎn)在于幾何圖形里的直角三角形勾股定理的運(yùn)用，因?yàn)閺拇鷶?shù)的角度看，勾股定理就是平面幾何中線段長(zhǎng)度的關(guān)系橋梁，當(dāng)然了，還有三角函數(shù).

2.5? 向量表征解決平面幾何“角度”問(wèn)題

思路? 角度與長(zhǎng)度都屬于“數(shù)”的表征，所以這題的解法肯定要用到代數(shù)關(guān)系來(lái)解決，我們就容易想到“向量”.求∠MPN可以轉(zhuǎn)化到求兩向量夾角.

評(píng)價(jià)? 幾何題中求解角度的問(wèn)題從實(shí)質(zhì)性上講就是代數(shù)問(wèn)題，但是需要在無(wú)序的圖形中搭建適宜的坐標(biāo)系以及找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)的向量關(guān)系，這樣后續(xù)的代數(shù)運(yùn)算才能事半功倍.

3? 結(jié)語(yǔ)

數(shù)形結(jié)合思想方法作為高中數(shù)學(xué)的必備解題思想策略之一，也滲透了轉(zhuǎn)化、類比、分類等重要數(shù)學(xué)思想，值得強(qiáng)調(diào)的是數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用要具體情況具體分析，切記不可生搬硬套.學(xué)生要深入研究高中知識(shí)板塊，明了哪些板塊之間可以運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”思想搭建起溝通橋梁，以便解題思路的清晰和過(guò)程的簡(jiǎn)便.

參考文獻(xiàn)：

[1]徐斌艷.數(shù)學(xué)學(xué)科核心能力研究[J].全球教育展望，2013，42（06）：67-74+95.

[2]魏芳.數(shù)形結(jié)合，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更有意義[J].教學(xué)與管理，2012（32）：33-34.

[3]李巧文. 數(shù)形結(jié)合的心理機(jī)制[D].西安：陜西師范大學(xué)，2008.

[4]劉星紅.例談“數(shù)形結(jié)合”應(yīng)用的四個(gè)誤區(qū)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2007（11）：48-49.