緊抓問(wèn)題條件形式 巧妙構(gòu)造函數(shù)

付 洵

(贛東學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部,江西 撫州 344100)

導(dǎo)數(shù)問(wèn)題是高考試題中的重點(diǎn)和難點(diǎn),其中與不等式的交匯問(wèn)題更是考試的熱點(diǎn)內(nèi)容,它的命題模式以抽象函數(shù)為基礎(chǔ)[1],對(duì)學(xué)生的思維能力要求較高.在求解時(shí),要能夠通過(guò)所給條件的形式,選取合適的運(yùn)算法則,適當(dāng)構(gòu)造函數(shù)[2],再根據(jù)所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性研究問(wèn)題所給出的不等式問(wèn)題.

1 根據(jù)f ′(x)±g′(x)構(gòu)造函數(shù)

2 根據(jù)xf ′(x)±nf(x)構(gòu)造函數(shù)

A．a(chǎn)

C．b>a>cD．a(chǎn)>b>c

又因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),

則a

3 根據(jù)f ′(x)±nf(x)構(gòu)造函數(shù)

A．eaf(c)

C．ecf(1)eaf(b)

因?yàn)閒′(x)>f(x),所以g′(x)>0.

因?yàn)閏<1,所以g(1)>g(c).

所以ecf(1)>ef(c),C錯(cuò).

所以eaf(b)>ebf(a),D錯(cuò);

同理,g(a)>g(c),A對(duì);g(b)>g(c),B錯(cuò).

4 根據(jù)f(x)±f ′(x)tanx構(gòu)造函數(shù)

解析由題得f(x)cosx-f′(x)sinx<0.

因此g(x)在定義域上單調(diào)遞增.

代入函數(shù)得

故選D.

5 根據(jù)f(x)±f(-x)=g(x)構(gòu)造函數(shù)

例5 設(shè)函數(shù)f(x)在R上存在導(dǎo)函數(shù)f′(x),對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有f(x)=f(-x)+2x,當(dāng)x>0時(shí),f′(x)>2x+1．若f(a+1)≥f(-a)+2a+1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____．

解析因?yàn)閒(x)=f(-x)+2x,

所以f(x)-x=f(-x)+x.

設(shè)g(x)=f(x)-x,則g(-x)=f(-x)+x.

故g(x)=g(-x).所以g(x)為偶函數(shù).

因?yàn)間′(x)=f′(x)-1,且當(dāng)x>0時(shí),f′(x)>2x+1,所以g′(x)=f′(x)-1>2x>0.

所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

故g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減.

因?yàn)閒(a+1)≥f(-a)+2a+1,

所以f(a+1)-(a+1)≥f(-a)-(-a).

所以g(a+1)≥g(-a).

所以|(a+1)|≥|-a|.

點(diǎn)評(píng)由f(x)=f(-x)+2x,得f(x)-x=f(-x)+x,構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-x,再整理出g(x)的單調(diào)性和奇偶性即可.一般地,若給出f(x)±f(-x)=g(x)可構(gòu)造偶函數(shù)或奇函數(shù).

6 根據(jù)所給比較大小的數(shù)值特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)

例6 設(shè)a=2ln3π,b=3ln2π,c=3lnπ2,則( ).

A．a(chǎn)>c>bB．b>a>cC．b>c>aD．c>b>a

所以a>c>b．