初中數(shù)學(xué)校本分層作業(yè)設(shè)計(jì)與思考

董盼紅

一、“二次函數(shù)”校本分層作業(yè)設(shè)計(jì)背景分析

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，二次函數(shù)是一個(gè)非常重要的領(lǐng)域。然而，每個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)水平和學(xué)習(xí)需求都不盡相同，校本分層作業(yè)設(shè)計(jì)正是基于這種需求而提出的，它可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，為每個(gè)學(xué)生量身定制作業(yè)，使每位學(xué)生在適當(dāng)?shù)碾y度下學(xué)習(xí)，避免因整體教學(xué)速度過快或過慢而導(dǎo)致的學(xué)習(xí)困擾。由于作業(yè)的難度與學(xué)生的實(shí)際水平相匹配，學(xué)生更容易理解和掌握知識(shí)，從而提高學(xué)習(xí)效果。

二次函數(shù)這一課涉及圖象、方程、解析式等多個(gè)方面，對(duì)學(xué)生的邏輯思維和數(shù)學(xué)抽象能力提出了很高的要求。根據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，教師應(yīng)分層設(shè)計(jì)基礎(chǔ)概念的習(xí)題，對(duì)于基礎(chǔ)較好的學(xué)生，可以設(shè)計(jì)一些深入探討二次函數(shù)性質(zhì)的問題；對(duì)于基礎(chǔ)較弱的學(xué)生，則可以設(shè)計(jì)一些較為簡(jiǎn)單的題目，幫助他們建立起基本概念。同時(shí)，二次函數(shù)的圖象和方程之間有著密切的聯(lián)系。對(duì)于學(xué)生來說，將圖象轉(zhuǎn)化為方程，或者根據(jù)方程繪制出準(zhǔn)確的圖象，都是重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，校本分層作業(yè)可以設(shè)計(jì)一些關(guān)于圖象與方程轉(zhuǎn)化的題目，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際能力分層設(shè)置難度。

二、“二次函數(shù)”校本分層作業(yè)設(shè)計(jì)目標(biāo)

通過本單元的學(xué)習(xí)，基礎(chǔ)層的學(xué)生能夠理解并運(yùn)用二次函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式和頂點(diǎn)形式，能夠簡(jiǎn)單地將二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為這兩種形式，并確定二次函數(shù)的圖象特征，如開口方向、最值點(diǎn)等。提高層的學(xué)生能夠深入分析二次函數(shù)的性質(zhì)，包括最值、零點(diǎn)，并運(yùn)用這些性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，如最大最小值問題和二次函數(shù)方程的解。拓展層的學(xué)生在掌握基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上能夠運(yùn)用二次函數(shù)解決更為復(fù)雜的實(shí)際問題，包括最優(yōu)化問題、二次函數(shù)與其他函數(shù)的復(fù)合應(yīng)用等，培養(yǎng)實(shí)際問題建模和解決問題的能力。

在基礎(chǔ)層的教學(xué)中，側(cè)重于夯實(shí)基本概念，讓學(xué)生掌握如何將二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式和頂點(diǎn)形式，理解這兩種形式對(duì)應(yīng)的圖象特征，練習(xí)題目應(yīng)該注重基本形式的變形和應(yīng)用，幫助學(xué)生建立基礎(chǔ)知識(shí)體系。提高層學(xué)生已經(jīng)具備了基礎(chǔ)知識(shí)，需要更深入地了解二次函數(shù)的性質(zhì)，練習(xí)題目應(yīng)該更具挑戰(zhàn)性，要求學(xué)生解決實(shí)際問題，涉及二次函數(shù)性質(zhì)的復(fù)雜應(yīng)用。同時(shí)繼續(xù)鞏固基本概念，確保學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的圖象和代數(shù)性質(zhì)有深入的理解。拓展層學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)更加深入廣泛，練習(xí)題目應(yīng)該突出實(shí)際問題的建模和解決能力，要求學(xué)生將所學(xué)的二次函數(shù)知識(shí)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)（如函數(shù)的復(fù)合、最優(yōu)化問題的建模）相結(jié)合，解決更為復(fù)雜的實(shí)際問題，這一層次的作業(yè)旨在培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，讓他們能夠更加靈活地應(yīng)對(duì)各種實(shí)際問題。

三、“二次函數(shù)”校本分層作業(yè)設(shè)計(jì)案例

在設(shè)計(jì)初中數(shù)學(xué)校本分層作業(yè)時(shí)，教師要著眼于學(xué)生的不同學(xué)習(xí)需求和能力水平，制訂基礎(chǔ)層、提高層和拓展層三個(gè)層次的教學(xué)目標(biāo)和相應(yīng)的分層作業(yè)內(nèi)容，這樣的設(shè)計(jì)不僅充分考慮了學(xué)生的差異化學(xué)習(xí)需求，也促使他們?cè)诓煌瑢哟紊汐@得相應(yīng)難度的練習(xí)，從而更好地鞏固和拓展二次函數(shù)的知識(shí)。分層作業(yè)設(shè)計(jì)是為了滿足不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，特別是在學(xué)習(xí)二次函數(shù)時(shí)，分層作業(yè)顯得尤為重要。

（一）基礎(chǔ)層：鞏固基本概念

基礎(chǔ)層的學(xué)生通常對(duì)二次函數(shù)的基本概念有所了解，但需要進(jìn)一步鞏固知識(shí)，這個(gè)層次的作業(yè)將側(cè)重于幫助學(xué)生理解標(biāo)準(zhǔn)形式和頂點(diǎn)形式之間的關(guān)系，以及二次函數(shù)圖象的基本特征。在二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，系數(shù)a決定了拋物線的開口方向和是否為正（凹）或負(fù)（凸）；系數(shù)b影響了拋物線的位置，決定了最值點(diǎn)的橫坐標(biāo)；常數(shù)項(xiàng)c決定了拋物線與y軸的交點(diǎn)，通過這些參數(shù)，學(xué)生能夠深入分析二次函數(shù)的性質(zhì)。

示例題目一：

考慮二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，其中a，b和c是常數(shù)，求該二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)（h，k）。

（設(shè)計(jì)意圖：通過這個(gè)問題，學(xué)生將學(xué)會(huì)如何找到二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，這是了解二次函數(shù)圖象特征的基礎(chǔ)。在這個(gè)問題中，學(xué)生需要了解二次函數(shù)的頂點(diǎn)形式f（x）=a（x-h）2+k。其中，h是頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，k是頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)。為了找到頂點(diǎn)坐標(biāo)（h，k），可以利用公式x=-b/2a來求解。學(xué)生需要識(shí)別出二次函數(shù)的a，b和c的值，然后將這些值代入公式x=-b/2a中，得到頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)h。接著，將h代入原始函數(shù)中，即可求得頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)k。最終，學(xué)生得到了頂點(diǎn)坐標(biāo)（h，k），這就是二次函數(shù)的最低點(diǎn)或最高點(diǎn)，具體取決于a的正負(fù)性。這個(gè)問題的解答過程幫助學(xué)生理解了頂點(diǎn)坐標(biāo)的一般求解方法，同時(shí)也加深了他們對(duì)二次函數(shù)圖象特征的認(rèn)識(shí)，為學(xué)生提供了解決更復(fù)雜問題的基礎(chǔ)。）

示例題目二：

1.將二次函數(shù)y=-2x2+8x-6轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)形式，并求出頂點(diǎn)坐標(biāo)。

2.比較二次函數(shù)f（x）=x2+4x+5與g（x）=x2-6x+10的圖象，分析它們的開口方向和最值點(diǎn)。

（設(shè)計(jì)意圖：在第一個(gè)問題中，學(xué)生需要運(yùn)用配方法將二次函數(shù)寫成y=-2（x2-4x）-6的形式，接下來，化簡(jiǎn)得到y(tǒng)=-2（x-2）2+2，從中可以看出頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）。這個(gè)問題要求學(xué)生熟練運(yùn)用平方公式，同時(shí)幫助他們理解頂點(diǎn)形式中的h和k分別代表什么意義，以及如何從中得出頂點(diǎn)坐標(biāo)。

在第二個(gè)問題中，學(xué)生需要將兩個(gè)二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，比較它們的系數(shù)，然后分析它們的圖象特征。首先，將兩個(gè)函數(shù)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，得到f（x）=（x+2）2+1和g（x）=（x-3）2+1。比較系數(shù)，可以看出f（x）是一個(gè)開口朝上的拋物線，最小值點(diǎn)為（-2，1）；而g（x）也是一個(gè)開口朝上的拋物線，最小值點(diǎn)為（3，1），這個(gè)問題培養(yǎng)了學(xué)生對(duì)二次函數(shù)圖象特征的觀察和分析能力。

通過這些基礎(chǔ)層的題目，學(xué)生不僅僅是在鞏固基本知識(shí)，更是在建立對(duì)數(shù)學(xué)圖象和函數(shù)性質(zhì)的直觀認(rèn)識(shí)。這種直觀的認(rèn)識(shí)是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)更高階數(shù)學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)，也是他們應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的基礎(chǔ)。幫助學(xué)生打牢這些基礎(chǔ)，能夠使他們?cè)诟呒?jí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中更加游刃有余。

（二）提高層：深入解析二次函數(shù)的性質(zhì)

提高層的學(xué)生已經(jīng)掌握了二次函數(shù)的基本概念，需要更深入地了解二次函數(shù)的性質(zhì)，包括最值、零點(diǎn)和凹凸性，這個(gè)層次的作業(yè)將側(cè)重于幫助學(xué)生運(yùn)用這些性質(zhì)解決更為復(fù)雜的問題。

示例題目一：

給定二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，求該函數(shù)的最大值或最小值，并指出在哪個(gè)點(diǎn)取得。

（設(shè)計(jì)意圖：教師可以提供不同a的二次函數(shù)，有些有最大值，有些有最小值。學(xué)生需要使用x=-b/2a找到頂點(diǎn)，然后代入函數(shù)，比較得出最大值或最小值，并找出取得最值的點(diǎn)。在這個(gè)問題中，學(xué)生需要判斷二次函數(shù)的開口方向。如果a為正數(shù)，二次函數(shù)的圖象開口向上，有最小值；如果a為負(fù)數(shù)，二次函數(shù)的圖象開口向下，有最大值。學(xué)生需要找到頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)h，然后將h代入原始函數(shù)，即可求得頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)k。這樣，頂點(diǎn)坐標(biāo)（h，k）就找到了。接著，學(xué)生需要判斷最值是最大值還是最小值。如果a>0，那么函數(shù)的最小值就是k，取得最小值的點(diǎn)為（h，k）；如果a<0，那么函數(shù)的最大值就是k，取得最大值的點(diǎn)也是（h，k）。通過這個(gè)問題，學(xué)生不僅掌握了最值的一般求解方法，還學(xué)會(huì)了如何判斷最值以及找出取得最值的點(diǎn)，這種問題的設(shè)計(jì)能夠幫助學(xué)生理解二次函數(shù)圖象特征的變化規(guī)律，并且學(xué)會(huì)舉一反三。

示例題目二：

1.對(duì)于二次函數(shù)y=-3x2+12x-10，求其最大值，并確定使函數(shù)取得最大值的x值。

2.解方程2x2-4x-6=0，并分析方程的根與二次函數(shù)y=2x2-4x-6的圖象的關(guān)系。

（設(shè)計(jì)意圖：在第一個(gè)問題中，學(xué)生需要將給定的二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)形式。首先，利用配方法將二次函數(shù)寫成y=-3（x2-4x）-10的形式，然后完成平方得到y(tǒng)=-3［（x-2）2-4］-10。接下來，化簡(jiǎn)得到y(tǒng)=-3（x-2）2+2，從中可以看出最大值為2，并且當(dāng)x=2時(shí)取得最大值。這個(gè)問題要求學(xué)生運(yùn)用完全平方公式，同時(shí)加深了對(duì)頂點(diǎn)形式的理解。

在第二個(gè)問題中，學(xué)生需要求出方程的根，然后觀察根的位置與函數(shù)圖象的關(guān)系。首先，利用求根公式得到x=-1或x=3，這兩個(gè)根分別對(duì)應(yīng)著函數(shù)圖象上的兩個(gè)交點(diǎn)。通過觀察系數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)開口朝上的拋物線，根的位置與函數(shù)的頂點(diǎn)有關(guān)。這個(gè)問題培養(yǎng)了學(xué)生觀察數(shù)學(xué)關(guān)系的能力，同時(shí)鞏固了解二次函數(shù)與方程根的關(guān)系。

（三）拓展層：應(yīng)用二次函數(shù)解決實(shí)際問題

拓展層的學(xué)生已經(jīng)具備了較高的數(shù)學(xué)抽象和建模能力，現(xiàn)在需要將二次函數(shù)的知識(shí)應(yīng)用到更為復(fù)雜的實(shí)際問題中。這個(gè)層次的作業(yè)將側(cè)重于培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力，使他們能夠?qū)⑺鶎W(xué)知識(shí)應(yīng)用到真實(shí)世界的情境中。在現(xiàn)實(shí)生活中，二次函數(shù)常常出現(xiàn)在自然科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域的建模問題中，學(xué)生需要學(xué)會(huì)將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際問題相結(jié)合，進(jìn)行建模和分析，以便應(yīng)對(duì)實(shí)際挑戰(zhàn)。

示例題目一：

1.一架火箭發(fā)射后的高度h（單位：米）與時(shí)間t（單位：秒）的關(guān)系由二次函數(shù)h（t）=-5t2+60t描述，求火箭的最大高度及達(dá)到最大高度的時(shí)間。

2.一家工廠生產(chǎn)的電視機(jī)銷售價(jià)格x（單位：元）與銷售數(shù)量q（單位：臺(tái)）的關(guān)系由二次函數(shù)P（x）=

-0.01x2+200x-500000描述，求該工廠的最大利潤及相應(yīng)的銷售價(jià)格。

（設(shè)計(jì)意圖：在第一個(gè)問題中，學(xué)生需要通過求解二次函數(shù)的最值問題，找到火箭的最大高度及達(dá)到最大高度的時(shí)間。首先，將火箭的高度函數(shù)h（t）轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)形式，得到-5（t-6）2+180。從中可以看出，最大高度為180米，達(dá)到最大高度的時(shí)間為t=6秒。這個(gè)問題模擬了火箭發(fā)射的實(shí)際情境，幫助學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到物理問題中，培養(yǎng)他們的建模和解決實(shí)際問題的能力。

在第二個(gè)問題中，學(xué)生需要分析電視機(jī)的利潤函數(shù)，并找到使得利潤最大的銷售價(jià)格。首先，將利潤函數(shù)P（x）轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)形式，得到P（x）-0.01（x-10000）2+500000。從中可以看出，最大利潤為500000元，相應(yīng)的銷售價(jià)格為x=10000元。這個(gè)問題模擬了企業(yè)定價(jià)的實(shí)際情境，要求學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)與經(jīng)濟(jì)實(shí)際相結(jié)合，為企業(yè)提供最佳策略建議。通過這類問題，學(xué)生不僅深入理解了二次函數(shù)的應(yīng)用，還培養(yǎng)了他們的分析和決策能力。）

示例題目二：

一個(gè)人站在河邊，希望拋出一個(gè)物體跨過河到達(dá)對(duì)岸。假設(shè)河的寬度為d米，拋物線的方程為y=ax2+bx+c，其中y表示高度（米），x表示水平距離（米）。如何選擇a、b、c，使得物體能夠以最小的初速度拋出，成功跨過河流，而不觸及對(duì)岸的地面？

（設(shè)計(jì)意圖：在這個(gè)問題中，學(xué)生需要將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。首先，設(shè)定物體起始點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，即（0，c），并要求物體能夠跨越河流，因此頂點(diǎn)的高度必須大于河流的寬度，即c>d。其次，拋物線與x軸的交點(diǎn)為拋物線的兩個(gè)根，其中一個(gè)根為負(fù)數(shù)（物體的起點(diǎn)在拋出時(shí)已經(jīng)在空中），另一個(gè)根表示物體著陸的位置。接下來，學(xué)生需要建立一個(gè)目標(biāo)函數(shù)：S=a2+b2，這個(gè)函數(shù)表示了初速度的平方和。問題要求最小初速度，即需要最小化目標(biāo)函數(shù)。為了求解這個(gè)問題，學(xué)生可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)，如頂點(diǎn)坐標(biāo)的x值為-b/2a。通過將這個(gè)值與河流的寬度相比較，學(xué)生可以得到關(guān)于a和b的方程。接著，結(jié)合c>d，學(xué)生可以得到問題的可行解集。最后，通過分析S這個(gè)函數(shù)的最小值，學(xué)生可以確定最小初速度以及相應(yīng)的a、b、c的值，滿足問題的要求。通過這個(gè)案例，學(xué)生將學(xué)會(huì)將二次函數(shù)用于實(shí)際的優(yōu)化問題中，培養(yǎng)了他們的問題建模和求解能力，進(jìn)一步提高了他們的數(shù)學(xué)建模水平。）

通過以上分層作業(yè)設(shè)計(jì)，學(xué)生在逐步深化對(duì)二次函數(shù)理論知識(shí)的掌握的同時(shí)，也得到了充分的解決實(shí)際問題的機(jī)會(huì)。這種分層作業(yè)設(shè)計(jì)不僅滿足了學(xué)生個(gè)性化學(xué)習(xí)的需求，也為他們將來更深入地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。