利用直觀模型培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)的實(shí)踐探究

摘 要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對(duì)幾何直觀這一核心素養(yǎng)進(jìn)行重新的界定與修訂，其重要地位是毋庸置疑的。文章以直觀模型為著眼點(diǎn)，結(jié)合具體的教學(xué)案例展開(kāi)闡述，致力于激發(fā)學(xué)生的直觀感知，引發(fā)學(xué)生直觀體驗(yàn)，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行直觀洞察，從而達(dá)到促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維順利進(jìn)階，有效培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀這一數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的目的。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；幾何直觀；幾何模型；教學(xué)策略

中圖分類號(hào)：G427? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號(hào)：2097-1737（2023）32-0073-03

何為幾何直觀？顧名思義，就是幾何與直觀。幾何直觀不但包含運(yùn)用圖形或圖表這兩種幾何形式將抽象的不同領(lǐng)域數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行直觀的表征，而且還包含幾何圖形本身元素的內(nèi)容。眾多實(shí)踐表明，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)如果有幾何直觀的輔助，就能有效地降低數(shù)學(xué)的抽象難度，將內(nèi)隱的數(shù)量關(guān)系外顯化，加深對(duì)抽象數(shù)學(xué)概念的理解，加強(qiáng)對(duì)枯燥算理的掌握和對(duì)復(fù)雜數(shù)量關(guān)系的明晰等，讓數(shù)學(xué)思維看得見(jiàn)，讓解題思路可視化。下面，筆者根據(jù)自己多年來(lái)對(duì)幾何直觀素養(yǎng)培養(yǎng)的專題研究闡述幾點(diǎn)淺顯的觀點(diǎn)。

一、學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)培養(yǎng)存在的問(wèn)題

小學(xué)數(shù)學(xué)幾何直觀作為學(xué)生的一種思維方式、一種數(shù)學(xué)素養(yǎng)，在日常的教師教學(xué)過(guò)程中或多或少地存在一些問(wèn)題，分析這些問(wèn)題所產(chǎn)生的原因，筆者認(rèn)為源于以下三個(gè)方面：

（一）學(xué)生幾何直觀操作空間過(guò)窄

當(dāng)前，在很多小學(xué)數(shù)學(xué)課堂上，教師在實(shí)施教學(xué)的過(guò)程中會(huì)單向性地運(yùn)用幾何直觀進(jìn)行教學(xué)，并不重視給學(xué)生提供自主實(shí)踐操作的空間，導(dǎo)致對(duì)學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)也只是停留于形式，并不能實(shí)質(zhì)性地培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)[1]。例如，部分教師在教學(xué)人教版數(shù)學(xué)五年級(jí)（下冊(cè)）“認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體”一課時(shí)，只是運(yùn)用課件展示生活中常見(jiàn)的長(zhǎng)方體物品圖片，讓學(xué)生通過(guò)直觀觀察長(zhǎng)方體圖片，總結(jié)出長(zhǎng)方體的特點(diǎn)。這樣，學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方體的特點(diǎn)只是停留于視覺(jué)層面，不能對(duì)長(zhǎng)方體的特點(diǎn)有一個(gè)深刻的認(rèn)知與理解。幾何直觀實(shí)踐操作空間過(guò)窄，不利于學(xué)生真正建構(gòu)長(zhǎng)方體的概念，也不利于對(duì)學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)。

（二）學(xué)生的幾何概念認(rèn)知不全面

小學(xué)生思維尚處于以直觀形象為主的階段，如果教師在教學(xué)幾何圖形時(shí)呈現(xiàn)的圖形過(guò)于單一，學(xué)生往往會(huì)產(chǎn)生思維定式，這在一定程度上會(huì)影響學(xué)生對(duì)幾何概念的認(rèn)知[2]。例如，在講解“梯形”這個(gè)知識(shí)點(diǎn)時(shí)，如果教師所呈現(xiàn)的圖形都只是單一的“上窄下寬”的梯形，那么學(xué)生就會(huì)產(chǎn)生“梯形就是一種上窄下寬、上下底互相平行的四邊形”的思維定式。之后，學(xué)生在看到直角梯形、上寬下窄的梯形時(shí)，往往會(huì)產(chǎn)生困擾。由此，在教學(xué)幾何概念時(shí)，教師要慢節(jié)奏、多維度、變式性地呈現(xiàn)圖形，讓學(xué)生正確而全面地認(rèn)知和理解幾何概念，為學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)奠定基礎(chǔ)。

（三）幾何圖形內(nèi)部聯(lián)系分析過(guò)少

小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部存在著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，尤其是幾何圖形。要想培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)，教師需要引導(dǎo)學(xué)生分析圖形之間的聯(lián)系。然而，在實(shí)際課堂教學(xué)中，有的教師往往較少引導(dǎo)學(xué)生分析圖形之間的聯(lián)系和區(qū)別，導(dǎo)致學(xué)生辨別不同幾何圖形之間的差異的能力較弱，從而直接影響對(duì)學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)。

二、學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)培養(yǎng)的實(shí)踐路徑

基于當(dāng)前教師在培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)所存在的問(wèn)題分析，筆者認(rèn)為教師可以靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)直觀模型來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)。同時(shí)，小學(xué)生的思維正處于由直觀形象思維向抽象邏輯思維過(guò)渡的階段，他們的主導(dǎo)思維還是直觀形象，因此就會(huì)存在學(xué)生形象直觀思維與數(shù)學(xué)知識(shí)抽象之間的矛盾。而直觀模型則是打通學(xué)生形象思維與數(shù)學(xué)抽象思維之間的橋梁。教師借助幾何直觀這一手段，能有效地促進(jìn)學(xué)生展開(kāi)豐富的聯(lián)想與想象，讓學(xué)生通過(guò)直觀模型的外形直觀洞察它存在的數(shù)學(xué)規(guī)律、數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系等，發(fā)展學(xué)生創(chuàng)造性思維能力[3]?；谶@樣的認(rèn)知，教師在具體課堂實(shí)施過(guò)程中，應(yīng)適時(shí)、適當(dāng)?shù)貪B透一些典型的幾何直觀模型，讓學(xué)生形成幾何直觀觀念，繼而在一定程度上促進(jìn)對(duì)學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)。筆者認(rèn)為，小學(xué)階段應(yīng)重點(diǎn)滲透以下三種幾何直觀模型：

（一）利用數(shù)軸模型，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀

一提起數(shù)軸，人們都會(huì)固執(zhí)地認(rèn)為這是初中才學(xué)習(xí)的內(nèi)容，殊不知小學(xué)數(shù)學(xué)教材編排中就已經(jīng)開(kāi)始有所滲透。對(duì)于“數(shù)的概念”，小學(xué)生總是難以理解其本質(zhì)意義，而利用數(shù)軸這一幾何模型，學(xué)生能直觀地理解數(shù)的概念，不但可以培養(yǎng)數(shù)感，而且能發(fā)展幾何直觀素養(yǎng)。

以人教版數(shù)學(xué)二年級(jí)（下冊(cè)）“近似數(shù)”一課為例，由于學(xué)生是第一次認(rèn)識(shí)近似數(shù)，所以他們對(duì)近似數(shù)概念的認(rèn)識(shí)還只是停留于一種淺層意義上，教材例題也是用數(shù)軸呈現(xiàn)（如圖1），讓學(xué)生建構(gòu)近似數(shù)的意義。然而，在教學(xué)中，很多教師并沒(méi)有充分發(fā)揮數(shù)軸的重要作用，而只是讓學(xué)生直觀感知“因?yàn)?985接近于10000，所以10000是9985的近似數(shù)”，并沒(méi)有繼續(xù)深挖與追問(wèn)，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)近似數(shù)的本質(zhì)意義還存在著一定的認(rèn)知模糊。為了深刻揭示“近似數(shù)”的本質(zhì)意義，筆者充分利用數(shù)軸，幫助學(xué)生真正理解“近似數(shù)”的內(nèi)涵。當(dāng)學(xué)生直觀得出“10000是9985的近似數(shù)，知道生活中有時(shí)不用準(zhǔn)確數(shù)，只用近似數(shù)就可以”之后，筆者再出示9460，讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)它的近似數(shù)是多少，有的學(xué)生說(shuō)是9000，還有的學(xué)生說(shuō)是9500。接著，筆者讓學(xué)生根據(jù)數(shù)軸說(shuō)出理由。一個(gè)學(xué)生能根據(jù)數(shù)軸自信地說(shuō)出：“很明顯，根據(jù)數(shù)軸，9000與10000的中間數(shù)是9500，而這個(gè)9460是在9500的左邊，所以更接近9000，它的近似數(shù)是9000，而不可能是10000；相反，如果數(shù)據(jù)是在9500的右邊，也就是9500至10000之間，那么它的近似數(shù)才是10000?！绷硪粋€(gè)學(xué)生又說(shuō)：“9460的近似數(shù)取9500更好，因?yàn)?500更接近于9460本身這個(gè)準(zhǔn)確數(shù)?！本o接著，全班學(xué)生一起交流得出：確定一個(gè)數(shù)的近似數(shù)，要根據(jù)實(shí)際需要，盡量取最接近于準(zhǔn)確數(shù)本身的數(shù)。最后，筆者讓學(xué)生以小組為單位，互相列舉數(shù)據(jù)并說(shuō)出其近似數(shù)。顯然，這樣的課堂教學(xué)能充分利用教材文本資源，發(fā)揮數(shù)軸這一幾何直觀模型的充分作用，讓抽象而枯燥的數(shù)學(xué)概念變得直觀而形象，不但培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)感，而且有效地發(fā)展了學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)，為學(xué)生今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)“四舍五入”法做好了充分的鋪墊。

（二）巧用線段圖模型，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀

線段圖這個(gè)幾何直觀模型一直以來(lái)深受小學(xué)數(shù)學(xué)教師青睞。人教版教材的編排遵循學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律而進(jìn)行了慢節(jié)奏、漸進(jìn)式線段圖模型的呈現(xiàn)[4]。其中二年級(jí)（上冊(cè)）“解決問(wèn)題”一課中，當(dāng)教材出示“三班小紅旗比一班少4面，三班得了多少面”題目之后，先是讓學(xué)生分析題意“知道了什么”，再用線段圖模型表征“怎樣解答”（如圖2）。很顯然，教材編者基于二年級(jí)學(xué)生的思維特點(diǎn)，先是用畫小紅旗的方法表征一班的數(shù)量，再用條形加文字的形式表征與一班同樣多的部分，緊接著用大括號(hào)標(biāo)出少的4面，最后在條形中用問(wèn)號(hào)表示要求的問(wèn)題。這已經(jīng)為進(jìn)一步建構(gòu)線段圖模型做好了鋪墊。在二年級(jí)（下冊(cè)）的“混合運(yùn)算解決問(wèn)題”一課中，教材出示了題目“面包房一共要烤90個(gè)面包，已經(jīng)烤了36個(gè)。如果每次能烤9個(gè)，剩下的還要烤幾次”，之后在“你知道了什么”這一環(huán)節(jié)直接讓學(xué)生用圖示表征已知條件與問(wèn)題（如圖3）。相較于二年級(jí)（上冊(cè)）教材，教材在這里直接用方條來(lái)代替實(shí)物，如果說(shuō)上冊(cè)教材用實(shí)物側(cè)重于形象直觀，而這里則是半抽象了，是介于實(shí)物圖與真正線段圖的中間地帶，能讓學(xué)生直觀地看到數(shù)量之間的關(guān)系。到了三年級(jí)（上冊(cè)）的“解決問(wèn)題”一課，教材在出示問(wèn)題之后，在“分析與解答”中（如圖4）直接運(yùn)用線段圖表征題中的已知信息與問(wèn)題，讓學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系有一個(gè)直觀的理解。教材循序漸進(jìn)的編排方式充分尊重了學(xué)生的思維發(fā)展特點(diǎn)，也使學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到線段圖這一幾何直觀模型對(duì)自身數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要價(jià)值，能將抽象的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)譯為直觀的線段符號(hào)，從而直觀洞察線段圖所表征的數(shù)量關(guān)系，使線段圖成為學(xué)生解決抽象、復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題的腳手架，同時(shí)有效地發(fā)展學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)。

（三）活用面積圖模型，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀

線段圖模型在解決問(wèn)題中的重要作用已得到大家的共識(shí)，然而有些時(shí)候則需要借助面積圖模型。尤其是在對(duì)算理的推理過(guò)程中，面積圖模型有著獨(dú)特的作用，能將一些抽象的算理進(jìn)行直觀的表征，促進(jìn)算理從內(nèi)隱走向外顯，讓算理可視化[5]。

例如，在講授人教版數(shù)學(xué)六年級(jí)（上冊(cè)）“分?jǐn)?shù)乘法”這一內(nèi)容時(shí)，學(xué)生對(duì)“×”的算理常常無(wú)法理解，

而教材能立足于學(xué)生的現(xiàn)實(shí)思維困點(diǎn)，運(yùn)用畫面積圖的

方式讓學(xué)生正確理解（如圖5）。第一幅圖畫出1公頃的一半，表示公頃，第二幅圖將公頃看作一個(gè)整體，

平均分成5份，其中的一份就是表示“公頃的”，也就是“1公頃的”，得出答案為公頃。緊接著，教材又呈現(xiàn)“×”。這時(shí)，教師就可以放手讓學(xué)生畫面積圖表征算理。事實(shí)表明，運(yùn)用面積圖幾何模型，能成功地將抽象的算理直觀化，讓每個(gè)抽象的數(shù)字都能表征它對(duì)應(yīng)的意義，讓學(xué)生直觀感悟出數(shù)學(xué)運(yùn)算算理的可視化，不但掌握算法，而且理解算理，更有效地發(fā)展幾何直觀素養(yǎng)。

三、結(jié)束語(yǔ)

對(duì)學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)是一個(gè)漫長(zhǎng)的、往復(fù)的過(guò)程，并非朝夕之事。幾何直觀素養(yǎng)作為一項(xiàng)重要的核心素養(yǎng)，應(yīng)引起所有小學(xué)數(shù)學(xué)教師的重視。教師應(yīng)在具體課堂實(shí)施過(guò)程中根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的實(shí)際與學(xué)生思維的內(nèi)需，通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境、畫圖、構(gòu)建直觀模型等多種路徑激發(fā)學(xué)生的直觀感知，引發(fā)學(xué)生的直觀體驗(yàn)，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行直觀洞察，從而促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維順利進(jìn)階，有效地培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)，為學(xué)生的學(xué)習(xí)和發(fā)展奠定基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)

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作者簡(jiǎn)介：許劍鈥（1984.2-），男，福建莆田人，

任教于福建省莆田市城廂區(qū)靈川下尾小學(xué)，一級(jí)教師。