考查數(shù)學思維，引導有效教學

劉再平 劉祖希 羅新兵

【作者簡介】劉再平，陜西師范大學教育博士，陜西省教學能手，主要從事高考和數(shù)學教學研究；劉祖希，副編審，華東師范大學出版社培訓部（教師進修中心）主任，主要從事數(shù)學教育研究；羅新兵，教育學博士，陜西師范大學教授，博士生導師，主要從事數(shù)學課程與教學、數(shù)學教師教育研究。

【基金項目】陜西省教育科學“十四五”規(guī)劃2023年度課題“新高考背景下高考數(shù)學研究、展望與教學建議”（SGH23Y1834）

【課堂聚焦·評價研究】

【摘 要】2023年全國乙卷數(shù)學試題立足基本知識與基本思想，拓寬解題入口，打破常規(guī)套路，通過少算多想，注重知識的融合，分別考查了數(shù)學思維的深刻性、嚴密性、發(fā)散性、靈活性、批判性與創(chuàng)新性，落實素養(yǎng)立意的理念，突出關(guān)鍵能力的考查，實現(xiàn)人才的選拔。文章在理論上首先闡述了數(shù)學思維的含義、品質(zhì)與表現(xiàn)；然后，結(jié)合具體試題對數(shù)學思維的考查進行評析；最后，在問題命制、學生學法和教師教法三個層面提出了相應(yīng)的建議。

【關(guān)鍵詞】高考數(shù)學；全國乙卷；試題評析；數(shù)學思維；引導教學

一、問題的提出

數(shù)學教育的主要目的應(yīng)該是促進學生數(shù)學思維的發(fā)展［1］，通過數(shù)學教學幫助學生更清晰、全面、深入、合理地學會思考，并從低階的具體數(shù)學知識、基本技能和各種解題技巧層面上升到高階的數(shù)學思維層面，促進普遍性思維策略和思維品質(zhì)的提升，并能由“理性思維”走向“理性精神”。《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課程標準》）［2］在課程性質(zhì)部分指出：數(shù)學教育要引導學生會用數(shù)學的眼光觀察世界，會用數(shù)學的思維思考世界，會用數(shù)學的語言表達世界（以下簡稱“三會”），促進學生數(shù)學思維能力的發(fā)展，并在《課程標準》中首次界定了數(shù)學核心素養(yǎng)，數(shù)學教育改革也正式過渡到素養(yǎng)立意時代?！吨袊呖荚u價體系》（以下簡稱《評價體系》）［3］也指出：新時代高考數(shù)學試題的命題理念是以價值引領(lǐng)、素養(yǎng)導向、能力為重、知識為基，關(guān)鍵能力是高考重要的考核目標，也是測試和評價的核心指標和因素。然而，不論《課程標準》還是《評價體系》，數(shù)學思維能力是“三會”和諸多關(guān)鍵能力的核心，各種數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)都離不開數(shù)學思維能力。

要體現(xiàn)《課程標準》理念和落實《評價體系》要求，實現(xiàn)素養(yǎng)立意、人才選拔和變革機械教學，高考在考查學生數(shù)學思維方面作出了很多努力。因此，本文擬對以下問題進行探討和分析：（1）數(shù)學思維的含義、品質(zhì)與表現(xiàn)是什么？（2）2023年全國乙卷高考數(shù)學試題對數(shù)學思維的考查有什么要求？（3）在教學上，對試題的命制、學法與教法有什么啟示？

二、數(shù)學思維的含義、品質(zhì)與表現(xiàn)分析

數(shù)學思維從屬于一般思維，一般思維指具有意識的人腦對客觀事物的本質(zhì)屬性和相互聯(lián)系的概括和間接的反映［4］。而數(shù)學思維指人腦與空間形式、數(shù)學關(guān)系、結(jié)構(gòu)關(guān)系等數(shù)學對象交互作用，并按照一般思維規(guī)律認識數(shù)學內(nèi)容的內(nèi)在理性活動。數(shù)學思維的深刻性、嚴密性、發(fā)散性、靈活性、批判性與創(chuàng)新性等是數(shù)學思維的重要品質(zhì)，直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、符號表達、運算求解、數(shù)據(jù)處理、空間想象、抽象概括、演繹與證明、反思與構(gòu)建等思維活動是數(shù)學思維能力的具體表現(xiàn)［5］。其邏輯關(guān)系如圖1。

三、高考數(shù)學思維的考查評析

（一）挖掘基本知識，考查思維的深刻性

思維的深刻性主要指思維活動的抽象程度、邏輯水平，以及思維活動的廣度、深度和難度等。而數(shù)學思維的深刻性是指在分析與解決數(shù)學問題時，能夠抓住問題的實質(zhì)以及問題間的相互聯(lián)系的一種思維品質(zhì)。數(shù)學思維的深刻性既表現(xiàn)在嚴謹?shù)臄?shù)學思維活動過程中，又表現(xiàn)在數(shù)學思維活動結(jié)果的廣度和深度上，并能經(jīng)受數(shù)學實踐活動的檢驗，達到舉一反三、觸類旁通的效果。數(shù)學思維深刻性的反面是思維的表面性，它表現(xiàn)為認識的膚淺性，思維活動的淺嘗輒止，只知其現(xiàn)象而不知其本質(zhì)。在數(shù)學教學中，教師要加強學生數(shù)學語言的表達能力，提高學生的邏輯思維能力，引導學生深入挖掘基本知識的本質(zhì)，培養(yǎng)學生數(shù)學思維的深刻性。如2023年全國乙卷理科第16題深入挖掘了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了數(shù)學思維的深刻性。

例1 （2023年全國乙卷理科第16題）設(shè)a[∈（0，1）]，若函數(shù)f（x）=ax+（1+a）x在（0，[+∞]）上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是? ? ? 。

例1需要對指數(shù)函數(shù)求導，然而含參指數(shù)函數(shù)的求導是比較繁雜的，并且求一次導并不能解決問題，若不深入挖掘，停留于表面，思維停滯不前，很容易導致解題失敗，所以需要透過表面，繼續(xù)深入求導，然后小題小做，再用端點效應(yīng)解決。當然，也可以另辟蹊徑，深入挖掘構(gòu)成f（x）的兩個指數(shù)函數(shù)的增減趨勢，即g（x）=（1+a）x在（0，[+∞]）上的增加速度一定大于y=ax在（0，[+∞]）上的減少速度，則將y=ax沿直線y=1對折統(tǒng)一單調(diào)性后，得出函數(shù)h（x）=2-ax在x=0處的導數(shù)g′（0）≥h′（0）即可解決。本題雖然表面上只是考查了最基本的函數(shù)性質(zhì)，但是深入挖掘了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，扎實考查了數(shù)學思維的深刻性，對教師的教學來說具有很好的導向作用。

（二）立足基本思想，考查思維的嚴密性

數(shù)學思想是數(shù)學的精髓，是對數(shù)學規(guī)律的本質(zhì)和理性認識，是在數(shù)學認知過程中從具體的數(shù)學內(nèi)容提煉上升的觀點。數(shù)學思想在數(shù)學認知活動中應(yīng)用廣泛，具有普遍的指導意義，是構(gòu)建數(shù)學體系和解決數(shù)學問題的指導思想［6］。數(shù)學是一門高度抽象與邏輯嚴密的科學，數(shù)學思維的嚴密性是數(shù)學的重要特點，數(shù)學思維的嚴密性表現(xiàn)為思維過程服從于嚴格的邏輯規(guī)則，解決數(shù)學問題時規(guī)范、準確，進行數(shù)學運算和推理時精確無誤。高考中常見的分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想等都對數(shù)學思維的嚴密性有較高要求，如2023年全國乙卷文科第7題和第20題等。

例2 （2023年全國乙卷文科第7題）設(shè)O為平面坐標系的坐標原點，在區(qū)域[x，y|1≤x2+y2≤4]內(nèi)隨機取一點A，則直線OA的傾斜角不大于的概率為（? ）

A.[18]? ?B.[16]? ?C.[14]? ?D.[12]

例2考查了幾何概型的相關(guān)計算，若緊扣題意直線OA的傾斜角在0到之間，那么很容易只考慮到第一象限的陰影部分，從而錯選A，然而當學生運用數(shù)形結(jié)合思想畫出如圖2所示的圖象后，則會很精準地找到兩個陰影部分，從而獲得正確答案C。

例3 （2023年全國乙卷文科第20題）已知函數(shù)[f（x）=1x+aln1+x]。

（1）當[a=-1]時，求曲線[y=f（x）]在點[1，f（1）]處的切線方程；

（2）若函數(shù)[f（x）]在[0，+∞]單調(diào)遞增，求[a]的取值范圍。

例3轉(zhuǎn)化為[f（x）]的導數(shù)[f ′（x）≥0]恒成立后，還需要局部構(gòu)造函數(shù)[g（x）]。當對[g（x）]第一次求導后，需要展開第一層分類討論，即a[≤0]和a[>0]；當對[g（x）]第二次求導后，需要展開第二層分類討論，即a[≥12]和0[<]a[<12]。分類討論要求有序，并不重不漏。

綜上所述，例2、例3都需要立足基本數(shù)學思想，才能減少很多不必要的失誤，考查了數(shù)學思維的嚴密性。

（三）拓寬解題入口，考查思維的發(fā)散性

發(fā)散思維是20世紀50年代，由美國心理學家吉爾福特在研究智力結(jié)構(gòu)模型時提出來的，發(fā)散思維是從同一對象中產(chǎn)生多種分化因素，或者揭示同一本質(zhì)所表現(xiàn)出來的現(xiàn)象、形式之間的差異性思維過程。發(fā)散性思維要求思維流暢、獨特與開闊，對已知信息進行多方向、多角度的聯(lián)想，從而幫助問題的解決。在日常教學中，一題多解、一題多用往往有益于培養(yǎng)學生數(shù)學思維的發(fā)散性，如2023年全國乙卷文科第11題等解答方法多樣，入口寬，有利于考查學生數(shù)學思維的發(fā)散性。

例4 （2023年全國乙卷文科第11題）已知實數(shù)x，y滿足x2+y2-4x-2y-4=0，則x-y的最大值是（? ）

A. 1+[322]? B. 4? C. 1+3[2]? D. 7

例4雖然處在選擇題次壓軸位置，但是這道高考試題解答入口寬，學生容易上手，其主要解答方法如下：方法一先換元令x-y=t，即將x=y+t代入條件獲得主元為y的一元二次方程，且方程有解，判別式非負，建立關(guān)于t的不等式，解得其范圍即可。方法二將條件化為圓的標準形式（x-2）2+（y-1）2=9后，運用圓的參數(shù)方程，令x=3cos[α]+2，y=3sin[α+1]，即x-y=3[2cos]+1，然后再運用三角函數(shù)的有界性即可解決。方法三將條件化為圓的標準形式（x-2）2+（y-1）2=9后，圓心到直線x-y=t的距離小于等于圓的半徑，建立關(guān)于t的不等式，即可解得其范圍。

綜上所述，例4的三種解法分別基于一元二次方程、三角函數(shù)、解析幾何視角，這些解法都很常規(guī)，相關(guān)內(nèi)容學生比較熟悉，較好地考查了學生數(shù)學思維的發(fā)散性。

（四）打破常規(guī)套路，考查思維的靈活性

學生的成績受試題的難度和分布順序等因素的影響，在以前的高考數(shù)學中，特別是每道解答題的考試內(nèi)容、解法和難易程度都是相對固定的。通常來說六道解答題的內(nèi)容順序是：解三角形或數(shù)列、立體幾何、概率統(tǒng)計、圓錐曲線、導數(shù)、選考（極坐標參數(shù)方程或不等式）。六道解答題的難度順序是：前三道試題和最后的選考題簡單；圓錐曲線試題第一問簡單，第二問難度中等偏上，是次壓軸點；導數(shù)試題第一問簡單或中等難度，第二問難度較大，是真正的壓軸點。這種試題固化的局面很容易造成高考考什么有的教師就只教什么、學生也就只學什么的機械學習態(tài)勢，不利于國家選才。因此，2023年的全國數(shù)學乙卷在試題順序方面打破了連續(xù)四年的“第四題效應(yīng)”，并把概率統(tǒng)計放在了解答題第一題。在考查內(nèi)容與解題方法上，試題也打破了固有套路，如理科第9、19題求線面角和二面角時，教師常教的、學生熟悉的建系、利用空間向量的解答套路失去了應(yīng)有的效果。這種從試題順序與解法等多方面打破試題套路和固化的現(xiàn)象，不僅有利于培養(yǎng)學生良好的心理素質(zhì)，而且考查了思維的靈活性，還引導教學摒棄猜題、押題和疲勞刷題的高三復習模式［7-8］。

例5 （2023年全國乙卷理科19題）如圖3，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=2[2]，PB=PC=[6]，BP，AP，BC的中點分別為D，E，O，AD=[5DO]，點F在AC上，BF⊥AO。

（1）證明：EF∥平面ADO；

（2）證明：平面ADO⊥平面BEF；

（3）求二面角D-AO-C的正弦值。

例5是2023年全國乙卷理科試題中典型的“反套路”題。首先，證明F為AC的中點是解決第（1）（2）問的關(guān)鍵，然而用常見證明中點的平面幾何方法基本失效，學生雖然熟悉，但是在立體幾何中運用得較少。若學生分別以BA、BC建立x、y軸的解析幾何方法和平面向量的方法則不難解答。其次，第（3）問在求二面角時，由于題目條件的限制，建立空間直角坐標系，運用空間向量的解法套路很難展開。最后，運用二面角的定義，轉(zhuǎn)化為平面幾何也可以求解二面角的正弦值，然而要找到二面角D-AO-C的平面角卻很困難，且計算量較大，比較恰當?shù)慕夥ㄊ菍⑵滢D(zhuǎn)化為[DO]與[BF]的夾角，然后再用基底向量[BA]、[BP]、[BC]解答。顯然，該題打破了立體幾何在求角時的固有套路，深入考查了學生數(shù)學思維的靈活性。

（五）通過少算多想，考查思維的批判性

數(shù)學批判性思維能力是指面對各類數(shù)學問題情境，運用已有數(shù)學知識經(jīng)驗進行嚴密思考、分析推理和評價重構(gòu)的多種思維能力，是學生優(yōu)化問題解答的重要能力［9-10］。批判性思維能力也是國家培養(yǎng)創(chuàng)新人才的迫切需要。在數(shù)學學習過程中，發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、思辨問題、優(yōu)化問題策略，對數(shù)學結(jié)論進行大膽猜測和通過邏輯推理驗證猜想的心路歷程就是批判性思維的具體表現(xiàn)，然而學生要在高考短時間內(nèi)充分展開上述批判性思維過程，就需要高考數(shù)學試題適當?shù)臏p少運算量，增加思維含量，讓學生少算多想，為學生批判性思維的蔓延提供空間，從而才能達到真正考查學生思維批判性的目的。如2023年全國乙卷理科第12題就需要學生認真分析、自主探究，不斷辨析和優(yōu)化思維策略，增加思維含量，實現(xiàn)對學生批判性思維能力的深入考查。

例6 （2023年全國乙卷理科第12題）已知[⊙O]的半徑為1，直線PA與[⊙O]相切于點A，直線PB與交于B、C兩點，D為BC的中點，若[PO]=[2]，則[PA]·[PD]的最大值為（? ）

A.[1+22] B.[1+222] C.1+[2] D.2+[2]

例6是一道選擇壓軸題，若按常規(guī)引入角分類討論后，再利用三角函數(shù)的有界性解決比較麻煩。因此，學生需要積極思辨和及時優(yōu)化思維策略，聯(lián)系初中平面幾何知識與高中投影概念，獲得如下簡解：由OD⊥PD，即動點D在以O(shè)P的中點E為圓心，[22]為半徑的圓弧上運動，[PA]·[PD]=

|[PA]|[×]|[PD]|cos<[PA]，[PD]>=|[PD]| cos<[PA]，[PD]>，根據(jù)向量投影的概念只需求[PD]在[PA]上的最長投影即可，如圖4，當點D運動到最左F點的位置時，投影最長為|EF|+[|PA|2=22+12]。因此，只有當學生具備這種少算多想的能力后，解題思維才會自然地流淌，批判性思維才得以充分的考查。

（六）注重知識的融合，考查思維的創(chuàng)新性

數(shù)學創(chuàng)新能力是數(shù)學實踐研究活動中不斷提供具有原創(chuàng)價值、學術(shù)價值、發(fā)展價值的新思想、新理論和新方法的能力。當今社會的競爭，與其說是人才的競爭，不如說是人的創(chuàng)造力的競爭，加強對創(chuàng)新能力的考查是社會進步和民族振興對高考改革的迫切要求，也是高考數(shù)學作為工具學科和基礎(chǔ)學科的重要體現(xiàn)。高考數(shù)學對創(chuàng)新能力考查的主要特點有：一是借助試題相對的新穎性，即考查的對象不是學生沒見過的，而是學生不熟悉的，對學生來說相對新穎；二是注重知識的融合，在考查學生解決綜合問題的過程中，突出學生數(shù)學思維的創(chuàng)新能力，如2023年全國乙卷理科第21題。

例7 （2023年全國乙卷理科第21題）已知函數(shù)[f（x）=1x+aln1+x]。

（1）當[a=-1]時，求曲線[y=f（x）]在點[1，f（1）]處的切線方程。

（2）是否存在a，b，使得曲線y=[f1x]關(guān)于直線x=b對稱，若存在，求a，b的值；若不存在，說明理由。

（3）若[f（x）]在[0，+∞]存在極值，求a的取值范圍。

例7綜合了導數(shù)的幾何意義、函數(shù)的對稱性與函數(shù)的極值等核心知識，不僅考查了學生的問題分析能力、運算求解能力、邏輯思維能力等關(guān)鍵能力與核心素養(yǎng)，更重要的是綜合考查了學生的創(chuàng)新思維能力，即在解決這種壓軸題的思維瓶頸之處，學生能夠表現(xiàn)出積極的心理狀態(tài)，運用所學數(shù)學知識、思維策略，獨立思考與頑強探索，創(chuàng)造性地突破思維的障礙，使得問題的解決柳暗花明。因此，這種知識綜合、能力綜合、思維跨度大、區(qū)分度明顯的高考壓軸題，不僅考查了學生數(shù)學思維的創(chuàng)新性，而且還實現(xiàn)了人才的選拔。

四、教學啟示

綜上所述，2023年全國乙卷文理科兩套數(shù)學試題既有創(chuàng)新，又保持穩(wěn)定。2023年全國乙卷數(shù)學試題立足基本知識與基本思想，拓寬解題入口，打破常規(guī)套路，通過少算多想，注重知識的融合分別考查了數(shù)學思維的深刻性、嚴密性、發(fā)散性、靈活性、批判性與創(chuàng)新性，落實了《課程標準》素養(yǎng)立意的理念，突出了《評價體系》關(guān)鍵能力的考查，實現(xiàn)了人才的選拔，在引導數(shù)學教學方面得到以下啟示。

一是在問題命制方面，創(chuàng)設(shè)問題情境，注重問題情景的熟悉與陌生的思辨性，激發(fā)思維動機，構(gòu)建良好的思維場域。教師在教學中可以嘗試命制一些跨學科和學科融合的新題型，為發(fā)展學生的數(shù)學思維能力提供良好的載體，培養(yǎng)學生的高階思維能力。

二是在學生學法方面，引導學生“三個重視”：重視數(shù)學概念的生成過程，因為概念不僅是思維的細胞，還是數(shù)學思維創(chuàng)新的基礎(chǔ)；重視數(shù)學思想方法，提高學生思維策略水平；重視暴露解決典型問題的思維歷程，積累從有限道題目中獲取解決無限道題的思維活動經(jīng)驗［11］，促進學生深度學習。

三是在教學方式方面，關(guān)注問題驅(qū)動與數(shù)學探究，深入到數(shù)學思維層面，鼓勵學生對問題進行反復、深入的思考，探究離不開合作，但也少不了獨立思考，應(yīng)該將兩者有機融合起來，實現(xiàn)深度教學，提升數(shù)學思維品質(zhì)。當然，數(shù)學探究要把握好度，以避免表面的熱鬧掩蓋學生思維貧乏的現(xiàn)象［12-13］。

參考文獻：

［1］鄭毓信.“數(shù)學深度教學”的理論與實踐［J］. 數(shù)學教育學報，2019（5）：24-32.

［2］中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［3］中華人民共和國教育部考試中心. 中國高考評價體系［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［4］涂榮豹，季素月. 數(shù)學課程與教學論新編［M］. 南京：江蘇教育出版社，2007.

［5］王建磐. 中國數(shù)學教育：傳統(tǒng)與現(xiàn)實［M］. 南京：江蘇教育出版社，2009.

［6］劉再平. 高考壓軸題中的數(shù)學思想研究與教學建議：以2010—2019年高考數(shù)學全國卷為例［J］. 中國數(shù)學教育，2021（1-2）：65-69.

［7］胡鳳娟. 促進“學會學習”：基于2022年高考數(shù)學試題的分析［J］. 基礎(chǔ)教育課程，2022（8）：11-19.

［8］胡鳳娟. 走出“機械刷題”：基于2021年高考數(shù)學試題的分析［J］. 基礎(chǔ)教育課程，2021（8）：19-26.

［9］趙軒，任子朝，陳昂. 高考數(shù)學科批判性思維考查研究［J］. 數(shù)學通報，2019（12）：38-42.

［10］劉再平. 淺析新高考對數(shù)學關(guān)鍵能力的考查：以2022年全國高考數(shù)學為例［J］. 中小學課堂教學研究，2022（9）：62-65.

［11］羅增儒. 數(shù)學解題學引論［M］. 2版. 西安：陜西師范大學出版社，2001.

［12］李祎. 別被理念綁架了教學［J］. 數(shù)學通報，2019（2）：18-20，25.

［13］李祎. 高水平數(shù)學教學到底該教什么［J］. 數(shù)學教育學報，2014（6）：31-35.

（責任編輯：陸順演）