談初中數(shù)學(xué)建模的基本類型和應(yīng)用

林沁瑤

數(shù)學(xué)建模是指根據(jù)實(shí)際建立數(shù)學(xué)模型，對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析和求解，以解決實(shí)際問(wèn)題。數(shù)學(xué)建模是全面提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、推進(jìn)中學(xué)數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的重要組成部分。提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力是落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的根本途徑和要求。教師應(yīng)從引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想，讓學(xué)生深入認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，真正意識(shí)到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活又應(yīng)用于生活。

一、建立二次函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題

新課標(biāo)要求會(huì)用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表示和刻畫(huà)一些實(shí)際問(wèn)題中變量與變量之間的關(guān)系，初步預(yù)測(cè)變量的變化規(guī)律，從而用函數(shù)來(lái)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。學(xué)生在初中階段學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)后，意識(shí)中有了這些基本函數(shù)的模型。因此，面對(duì)一些實(shí)際問(wèn)題就可以引導(dǎo)學(xué)生嘗試通過(guò)建立函數(shù)模型來(lái)解決。

例：潮州西湖里有一條形如拋物線的小拱橋，如圖1，當(dāng)湖面在如圖所示的n位置時(shí)，拱橋頂（弧的中點(diǎn)）離湖面為2 m ，湖面寬 4 m；當(dāng)湖面比原來(lái)下降 1 m時(shí)，問(wèn)此時(shí)水面寬度為多少？水面寬度增加多少 ？

本題是考查以函數(shù)為背景的函數(shù)型數(shù)學(xué)模型的問(wèn)題，學(xué)生要解決此問(wèn)題，首先就要建立函數(shù)模型把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題。難點(diǎn)在于如何分析判斷這是學(xué)過(guò)的哪種基本函數(shù)模型。從題目中的“拋物線”不難聯(lián)想到二次函數(shù)圖像的形狀，因此，可以利用二次函數(shù)相關(guān)的知識(shí)解決此問(wèn)題。由于圖像是建立在坐標(biāo)系中研究的，所以建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系是解答本題的關(guān)鍵（圖1展示了四種不同的建立坐標(biāo)系模型），再根據(jù)函數(shù)圖像的特征設(shè)函數(shù)的解析式，并求出相應(yīng)的二次函數(shù)的解析式，進(jìn)而解決問(wèn)題。

二、建立幾何模型解決實(shí)際問(wèn)題

初中幾何圖形的學(xué)習(xí)有很多是三角形、四邊形和圓等幾何圖形的推理證明。幾何中的數(shù)學(xué)建模就是根據(jù)幾何的基本圖形構(gòu)造模型，需要較強(qiáng)的圖形構(gòu)造能力和空間想象能力。

例：如圖2，一個(gè)牧童在距小河邊1千米的點(diǎn)A處放牛，河邊同側(cè)且距河邊7千米的點(diǎn)B處為牧童的家。已知點(diǎn)A與點(diǎn)B的直線距離是10千米，牧童想先把牛牽到河邊去飲水，然后再回家，求牧童要完成這件事情所走的最短路程是多少。

如果“河邊”用一條直線l表示，“牧童”用點(diǎn)A表示，“家”用點(diǎn)B表示，那么問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的幾何模型——在直線l上找一個(gè)點(diǎn)P，使線段AP與PB之和為最小的數(shù)學(xué)問(wèn)題。因此，利用兩點(diǎn)關(guān)于某條直線對(duì)稱的性質(zhì)和勾股定理的知識(shí)可以解決。

本題以實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題為背景，從“最短路程”問(wèn)題中挖掘隱藏著的距離和最值的問(wèn)題。學(xué)生必須以兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的性質(zhì)為載體，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為距離和最小模型，即兩邊之和的最小值問(wèn)題。因三角形A′BA不是直角三角形（如圖3），可以進(jìn)一步構(gòu)造直角三角形，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知直角三角形兩邊的長(zhǎng)求第三邊的基本類型題。把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成若干個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題就是建模的思想，有利于培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想，從而使思維更具靈活性、創(chuàng)造性。

三、建立概率與統(tǒng)計(jì)模型解決實(shí)際問(wèn)題

為滿足時(shí)代的發(fā)展，概率與統(tǒng)計(jì)在日常生活中的應(yīng)用越來(lái)越廣泛。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該服務(wù)于生活，應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí)應(yīng)用于日常生活等方面，使新課標(biāo)中提到的“用樣本估計(jì)總體”數(shù)學(xué)模型得到更充分地體現(xiàn)。

例：為了估計(jì)某一池塘的螃蟹數(shù)量，經(jīng)常采用“抓、放、抓”的方法，即先抓上來(lái)n只螃蟹，分別打上標(biāo)記，再放回去；如果在多次捕獲的螃蟹中，每a只中有b只有標(biāo)記，則嘗試估算該池塘的螃蟹數(shù)量（用包含b、n、a的代數(shù)式表示）。

平時(shí)用樣本估計(jì)總體的試驗(yàn)中，更多的是利用摸球的方式進(jìn)行試驗(yàn)。對(duì)于此種實(shí)際問(wèn)題，學(xué)生較為生疏。教學(xué)中，教師可以通過(guò)平時(shí)學(xué)生最為熟悉的“摸球問(wèn)題”進(jìn)行類比，從而建立數(shù)學(xué)模型。

１.先從池塘中捉n只螃蟹，做好標(biāo)記后，重新放回池塘，存在有標(biāo)記和無(wú)標(biāo)記兩種螃蟹——相當(dāng)于在袋子中放有紅和白兩種球。

２.讓帶有標(biāo)記的螃蟹完全混合于池塘——相當(dāng)于把兩種球攪拌均勻。

３.再捕上來(lái)a只螃蟹——相當(dāng)于在袋子中取出若干球作為樣本。

4.發(fā)現(xiàn)帶有標(biāo)記的螃蟹只有b只——相當(dāng)于取出樣本中紅色球的數(shù)目。

5. 樣本中有記號(hào)的螃蟹的百分比——相當(dāng)于樣本中紅色球的百分比。

6. 估計(jì)池塘中有記號(hào)的螃蟹的百分比——相當(dāng)于估計(jì)總體紅色球的百分比。

因此，此題可解答為：設(shè)該池塘中有螃蟹x只，則＝，解得x＝。

本題用生活中可能碰到的實(shí)際問(wèn)題，提出了如何估計(jì)池塘中螃蟹的數(shù)量，激發(fā)了學(xué)生解決問(wèn)題的欲望和學(xué)習(xí)的興趣。在解決此問(wèn)題時(shí)，重在指導(dǎo)學(xué)生類比熟悉的模型，把未知關(guān)系轉(zhuǎn)為已知的關(guān)系，還可以先用數(shù)字表示，再到用字母代替數(shù)字，讓學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與認(rèn)同并掌握用樣本估計(jì)總體的數(shù)學(xué)模建，為以后解決新的問(wèn)題打好基礎(chǔ)。

四、建立方程（組）模型解決實(shí)際問(wèn)題

方程模型的題型有工程、增長(zhǎng)率、利息和稅率、面積、分配等問(wèn)題。解決此類型題，通常從分析問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，設(shè)定未知數(shù)，運(yùn)用定義、性質(zhì)、定理、公式和已知條件、隱含條件，把實(shí)際問(wèn)題中已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為方程（組）的數(shù)學(xué)模型，從而使問(wèn)題得到解決，有利于提高學(xué)生創(chuàng)造性的思維能力。

例：某種病毒具有人傳人的特性，若一人攜帶相關(guān)病毒，若未實(shí)行有效隔離，經(jīng)過(guò)研究，兩輪傳染后共有144人患上該種病毒（假設(shè)每輪傳染的人數(shù)基本相同）。問(wèn)每輪傳染中平均每個(gè)人對(duì)應(yīng)傳染了幾個(gè)人？

本題考查的是傳播問(wèn)題，可以通過(guò)建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題。

五、建立不等式模型解決實(shí)際問(wèn)題

在現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中，有許多問(wèn)題很難確定具體的數(shù)值，這時(shí)教師可以通過(guò)問(wèn)題中的等量和不等量關(guān)系列出不等式，可以求出或確定這一問(wèn)題中某個(gè)量的變化范圍，從而對(duì)所有研究的實(shí)際問(wèn)題有一個(gè)比較清楚的認(rèn)識(shí)。這就是不等式模型。不等式建模題型有最佳方案、交通運(yùn)輸、生產(chǎn)規(guī)劃、方案設(shè)計(jì)等。

數(shù)學(xué)建?？梢詮牟煌慕嵌确殖珊芏嗖煌念愋?，想要更好地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)，應(yīng)該從日常生活中學(xué)生熟悉的問(wèn)題入手，幫助歸納不同情況下的不同的模型和方法，讓學(xué)生在頭腦中形成一個(gè)數(shù)學(xué)建模的框架，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

責(zé)任編輯 羅 峰