由一道高考題的多角度分析談數(shù)列備考策略

摘" 要：2023年新高考全國Ⅰ卷的數(shù)列題放在解答題的第四題位置，打破了命題常規(guī)，真正做到了反模式命題.文章從三個視角引出五種解法，并對數(shù)列的復(fù)習備考提出一些思考.

關(guān)鍵詞：2023年全國Ⅰ卷；數(shù)列

；解題視角；復(fù)習思考

中圖分類號：G632""" 文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）16-0043-05

收稿日期：2024-03-05

作者簡介：王東海（1974.12—），男，安徽省肥東人，本科，中學(xué)一級教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

2023年新高考全國Ⅰ卷第20題的數(shù)列題極具基礎(chǔ)性和創(chuàng)新性，且其題干簡潔，沒有繁冗的文字.和以往的數(shù)列解答題比較，學(xué)生易想到運用通項和求和公式去處理，即它相對容易入題.但此題融入了眾多數(shù)學(xué)思想與方法的考查，體現(xiàn)了對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)應(yīng)用水平和關(guān)鍵能力的較高要求.從本人參加閱卷后的體會來看，本題的第（2）小題得分率較低.但本題的區(qū)分度好，不失為一道比較成功的數(shù)列解答題.

1" 真題呈現(xiàn)

題目" 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，且dgt;1.令bn=n2+nan，記Sn，Tn分別為數(shù)列an，bn的前n項和.

（1）若3a2=3a1+a3，S3+T3=21，求an的通項公式；

（2）若bn為等差數(shù)列，且S99-T99=99，求d.

分析"" 第（1）小題較容易，易得an=3n.第（2）小題利用好條件bn=n2+nan是解題的關(guān)鍵，可以使用判斷等差數(shù)列的定義法、等差中項法、通項公式法等視角來處理.

2" 解法探究

視角1" 等差中項視角.

解法1" 因為{bn}為等差數(shù)列，

所以2b2=b1+b3.

即12a2=2a1+12a3.

所以6（1a2-1a3）=6da2a3=1a1.

即a21-3a1d+2d2=0，

解得a1=d或a1=2d.

因為dgt;1，所以angt;0.

又S99-T99=99，由等差數(shù)列性質(zhì)知

99a50-99b50=99.

即a50-b50=1.

所以a50-2 550a50=1.

即a250-a50-2 550=0，

解得a50=51或a50=-50（舍）.

當a1=2d時，a50=a1+49d=51d=51，解得

d=1，與dgt;1矛盾，無解；

當a1=d時，a50=a1+49d=50d=51，解得d=5150.

綜上，d=5150.

評注" 此法采用先特殊后一般的技巧，抓住數(shù)列的前三項進行突破，導(dǎo)出首項與公差的關(guān)系［1］.

視角2" 通項公式視角.

解法2" 因為an，bn為等差數(shù)列，

由通項公式法設(shè)an=dn+p，bn=sn+t（dgt;1），

而bn=n2+nan，即sn+t=n2+ndn+p.

整理，得sdn2+（sp+dt）n+tp=n2+n.

故觀察兩邊系數(shù)知：sd=1，sp+dt=1，tp=0.①

當t=0時，sd=1，sp=1.

故t=0，d=p，從而an=dn+d，bn=n2+n（n+1）d=nd.

又S99-T99=99，由等差數(shù)列性質(zhì)知，

99a50-99b50=99.

即a50-b50=1.

所以51d-50d=1，即51d2-d-50=0，

解得d=-5051（舍去），或d=1（舍去）.

②當p=0時，sd=1，dt=1.

所以an=dn，所以bn=n+1d.

故50d-51d=1，解得d=5150，或d=-1（舍）.

綜上，d=5150.

評注" 此法根據(jù)等差數(shù)列通項的一次函數(shù)特點，使用待定系數(shù)法進而得到一系列等式來解決.

解法3" 因S99-T99=99，由等差數(shù)列性質(zhì)知

99a50-99b50=99.

即a50-b50=1.

所以a50-2 550a50=1.

即a250-a50-2 550=0，

解得a50=51或a50=-50（舍）.

所以an=a50+（n-50）d

=51+（n-50）d.

所以n=an-51+50dd.

所以bn=n2+nan=（an-51+50dd）2·1an+an-51+50dd·1an=1d2·an+2（50d-51）d2+（50d-51）2d2·an+1d+50d-51d·an.

因為bn為等差數(shù)列，故其通項公式為一次函數(shù).

即（50d-51）2d2·an+50d-51d·an=0.

即（50-51d）2+d（50-51d）=0，

解得d=5150，或d=1.

因為dgt;1，所以d=5150.

評注" 此法先從a50=51導(dǎo)出該數(shù)列的通項公式，反解出n，代入bn的條件后再利用等差數(shù)列的通項公式法，從而得到所求［2］.

解法4" 因為an，bn為等差數(shù)列，故其通項公式必為一次函數(shù).

而bn=n2+nan=n（n+1）an.

從而欲使bn的表達式為關(guān)于n的一次函數(shù)，則必有an=dn，或an=d（n+1）.

此時對應(yīng)有bn=n+1d，或bn=nd.

而由解法1知a50=51.

從而d=5150，或d=1.

因為dgt;1，所以d=5150.

評注" 此法直接利用等差數(shù)列通項公式的特點，可觀察出an兩種不同表達式，從而快速求解.

視角3" 等差數(shù)列定義視角.

解法5" 因為bn為等差數(shù)列，故由等差數(shù)列定義知bn-bn-1為常數(shù)，即當n≥2時，有n2+nan-（n-1）2+（n-1）an-1為常數(shù).

將an=a1+（n-1）d代入得

n2+na1+（n-1）d-（n-1）2+（n-1）a1+（n-2）d=dn2+（2a1-3d）nd2n2+（2a1d-3d2）n+2d2+a21-3a1d.

因此式為常數(shù)，故有2d2+a21-3a1d=0，且dd2=2a1-3d2a1d-3d2.

化簡，得a1=2d，或a1=d.

而a50=51，故d=1（舍）或d=5150.

評注" 此法利用等差數(shù)列的定義，相鄰兩項作差后要求為常數(shù)，從而可以導(dǎo)出首項與公差的關(guān)系.總的來說，該題第（2）小題比較新穎，學(xué)生如果轉(zhuǎn)化方面的能力偏弱，則遇見不熟悉的或平時沒有練過的就沒有思路，從而造成丟分.

3nbsp; 數(shù)列復(fù)習備考策略

3.1" 把脈高考命題方向，狠抓學(xué)生雙基練習

研究高考真題是每個高中數(shù)學(xué)老師在高三復(fù)習備考時的一項重要工作，通過研究才能把脈高考命題方向.今年的數(shù)列題有所變化，考題沒有考查數(shù)列的幾種求和方法，而是對等差數(shù)列的判斷方法做了重點考查，體現(xiàn)其反常規(guī)的命題思路，但其仍然離不開對數(shù)列雙基的考查.因而建議數(shù)列復(fù)習教學(xué)中，師生繼續(xù)掌握數(shù)列的基本概念、基本性質(zhì)、常用公式，能夠熟練掌握研究通項公式和前n項和的基本方法，且不能對基礎(chǔ)知識不加理解地死記硬背.

題1" （2023年甲卷理數(shù)17題）已知數(shù)列an中，a2=1，設(shè)Sn為an前n項和，2Sn=nan.

（1）求an的通項公式；

（2）求數(shù)列an+12n的前n項和Tn.

解析" 此題是對已知數(shù)列遞推公式求通項公式及錯位相減法求和這一常見題型的考查.

當n≥2時，2Sn-1=（n-1）an-1，

所以2（Sn-Sn-1）=nan-（n-1）an-1=2an.

化簡，得（n-2）an=（n-1）an-1.

當n≥3時，ann-1=an-1n-2=…=a32=1，

即an=n-1，n=1，2，3滿足上式.

所以an=n-1.

（2）由（1）知an+12n=n2n，用錯位相減法知

Tn=2-（2+n）（12）n.

通過本題可看出只要基礎(chǔ)知識掌握扎實了，則易知分析轉(zhuǎn)化后利用累加法即可.因此只有基礎(chǔ)牢固，知識形成了網(wǎng)，解題時才能從容應(yīng)對.

3.2" 注重理性思維，重視運算能力

理性思維是數(shù)學(xué)學(xué)習應(yīng)注意的思維，它的高層次表現(xiàn)就是創(chuàng)新意識，能通過觀察、歸納、類比、概括來發(fā)現(xiàn)并提出問題，通過抽象、證明來解決問題.數(shù)列的本質(zhì)是觀察、歸納、概括，教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生回歸數(shù)列的本質(zhì)，注重理性思維的培養(yǎng)，自然而然數(shù)列問題可順利解決.另外任何解題方法都是以計算能力為支撐，故平時教學(xué)中要注意運算能力的培養(yǎng)，如在運用錯位相減法求和、奇偶分析和并項求和時，要提供時間讓學(xué)生反復(fù)練習，訓(xùn)練運算能力.

題2" （2023年新高考Ⅱ卷第18題）已知an為等差數(shù)列，bn=an-6，n為奇數(shù)，2an，n為偶數(shù)，記Sn，Tn分別為數(shù)列an，bn的前n項和，S4=32，T3=16.

（1）求an的通項公式；

（2）證明：當ngt;5時，Tngt;Sn.

解法1" （1）運用數(shù)列中的基本量進行計算，可得an=2n+3.

（2）對于an的前n項和Sn較容易求，而數(shù)列bn通過觀察、概括后發(fā)現(xiàn)：適宜奇偶分析和并項去求和.

由（1）知，Sn=n（5+2n+3）2=n2+4n，

bn=2n-3，n=2k-1，4n+6，n=2k，k∈N*，

當n為偶數(shù)，Tn=（b1+b3+…+bn-1）+（b2+b4+…+bn）=-1+2（n-1）-32·n2+14+4n+62·n2=32n2+72n.

當ngt;5時，Tn-Sn=（32n2+72n）-（n2+4n）=12n（n-1）gt;0，因此Tngt;Sn.

當n為奇數(shù)，若n≥3，則

Tn=（b1+b3+…+bn）+（b2+b4+…+bn-1）

=2n-42·n+12+4（n-1）+202·n-12

=32n2+52n-5，

顯然T1=b1=-1滿足上式.

因此當n為奇數(shù)時，Tn=32n2+52n-5.

當ngt;5時，Tn-Sn=（32n2+52n-5）-（n2+4n）=12（n+2）（n-5）gt;0.

綜上Tngt;Sn.

解法2"" 由（1）知，Sn=n（5+2n+3）2=n2+4n，

bn=2n-3，n=2k-1，4n+6，n=2k，（k∈N*），

當n為偶數(shù)時，

bn-1+bn=2（n-1）-3+4n+6=6n+1，

Tn=13+（6n+1）2·n2=32n2+72n.

當ngt;5時，Tn-Sn=（32n2+72n）-（n2+4n）=12n（n-1）gt;0，

因此Tngt;Sn，

當n為奇數(shù)時，Tn=Tn+1-bn+1=32（n+1）2+72（n+1）-［4（n+1）+6］=32n2+52n-5.

當ngt;5時，Tn-Sn=（32n2+52n-5）-（n2+4n）=12（n+2）（n-5）gt;0.

綜上，Tngt;Sn.

題3" （2023年天津卷第19題）已知an=2n+1，又bn為等比數(shù)列，對于任意k∈N*，若2k-1≤n≤2k-1，則bklt;anlt;bk+1，

（1）當k≥2時，求證：2k-1lt;bklt;2k+1；

（2）求bn的通項公式及其前n項和.

解析" （1） 由題意可知，當2k-1≤n≤2k-1時，bklt;an，取n=2k-1，則

bklt;a2k-1=2×2k-1+1=2k+1.

即bklt;2k+1.

當2k-2≤n≤2k-1-1時，anlt;bk，

取n=2k-1-1，此時an=a2k-1-1=2（2k-1-1）+1=2k-1，故2k-1lt;bk.命題獲證.

（2）由（1）可知：1lt;b1lt;3，3lt;b2lt;5，7lt;b3lt;9，15lt;b4lt;17，據(jù)此猜測bn=2n. 否則，若數(shù)列的公比qgt;2，則bn=b1qn-1gt;b1×2n-1gt;2n-1.

注意到2n-1-（2n-1）=1-2n-1，

則2n-1-（2n-1）gt;0不恒成立.

即2n-1gt;2n-1不恒成立.

此時無法保證2n-1lt;bn.

若數(shù)列的公比qlt;2，則

bn=b1qn-1lt;b1×2n-1lt;3×2n-1.

注意到3×2n-1-（2n+1）=2n-1-1，則2n-1-1lt;0不恒成立.

即3×2n-1lt;2n+1不恒成立.

此時無法保證bnlt;2n+1.

綜上，數(shù)列公比為2，則數(shù)列通項公式bn=2n，其前n項和為Sn=2×（1-2n）1-2=2n+1-2.

3.3" 注意知識交叉融合

新高考背景下命制情景化試題越來越多，不僅考查學(xué)生分析問題的能力，同時也考查應(yīng)用數(shù)學(xué)知識綜合處理問題的能力.另外數(shù)列會經(jīng)常與概率、函數(shù)等知識點相融合，達到對學(xué)生知識交叉融合的考查目的.

題4" （2023年新高考Ⅰ卷第21題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

（1）求第i次投籃的人是甲的概率；

（2）已知：若隨機變量Xi服從兩點分布，且

P（Xi=1）=1-P（Xi=0）=qi，i=1，2，…，n，則

E（∑ni=1Xi）=∑ni=1qi.記前n次（即從第1次到第n次投籃）中甲投籃的次數(shù)為Y，求E（Y）.

解析" （1） 記“第i次投籃的人是甲”為事件Ai，“第i次投籃的人是乙”為事件Bi，設(shè)P（Ai）=pi，依題可知，P（Bi）=1-pi.

則P（Ai+1）=P（AiAi+1）+P（BiAi+1）=P（Ai）P（Ai+1|Ai）+P（Bi）P（Ai+1|Bi）.

即pi+1=0.6pi+（1-0.8）×（1-pi）=0.4pi+0.2.

構(gòu)造等比數(shù)列pi+λ，設(shè)pi+1+λ=25（pi+λ），解得λ=-13.

則pi+1-13=25（pi-13）.

又p1=12，故pi-13是公比為25的等比數(shù)列.

即pi-13=16×（25）i-1.

所以pi=16×（25）i-1+13.

（2）因為pi=16×（25）i-1+13，i=1，2，…，n，

所以當n∈N*時，

E（Y）=p1+p2+…+pn

=16×1-（2/5）n1-2/5+n3

=518［1-（25）n］+n3.

故E（Y）=518［1-（25）n］+n3，n∈N*.

本題綜合性較強，要求學(xué)生能夠熟練掌握由遞推公式求數(shù)列通項、數(shù)列分組求和、概率求解的相關(guān)知識，試題將概率與數(shù)列有機融合.

4" 結(jié)束語

針對新高考下數(shù)列精準復(fù)習備考，教學(xué)中需打破這部分內(nèi)容考查“簡單”這一傳統(tǒng)思維定式，做到每一個知識點務(wù)必讓學(xué)生知其所以然.教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生回歸數(shù)列本質(zhì)——觀察、猜想，注重學(xué)生理性思維的培養(yǎng)，讓學(xué)生多去探究、思考以及總結(jié).另外，復(fù)習中也要注重和其他知識點的融合，讓學(xué)生能融會貫通，提高綜合素養(yǎng).

參考文獻：

［1］

王東海.深度探究善解題 追根溯源探本質(zhì)：一道2022年山東省聯(lián)賽題的探究、溯源及引申［J］.理科考試研究，2023，30（05）：28-31.

［2］ 王東海.一道聯(lián)考試題的解法探究、背景分析及拓展推廣［J］.數(shù)學(xué)通訊，2023（08）：41-43，61.

［責任編輯：李" 璟］