斜面體上牛頓運動定律問題的解題研究

摘" 要：斜面體問題一直是高中物理教學(xué)中的重點內(nèi)容，物體在斜面體上的平衡狀態(tài)以及非平衡狀態(tài)下的動力學(xué)問題中，通常涉及整體和隔離的思想方法.對物體在斜面體上處于非平衡狀態(tài)時的動力學(xué)問題可以通過隔離分析、質(zhì)點系的牛頓第二定律的應(yīng)用、非慣性系下慣性力的使用三個方面進行解題方法的研究.

關(guān)鍵詞：斜面體問題；整體法和隔離法；牛頓第二定律；慣性力

中圖分類號：G632""" 文獻標(biāo)識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）16-0119-03

收稿日期：2024-03-05

作者簡介：蔡飛（1980.10—），湖北省鄂州人，本科，中教二級教師，從事物理教學(xué)研究.

物體在斜面體上運動的場景在生活中比較常見，物理中主要通過模型的建構(gòu)，結(jié)合數(shù)學(xué)和物理方法對實際問題進行定性和定量的研究分析.物體在斜面體上運動的模型是非常重要的模型.本文重點討論斜面體上物體處于非平衡狀態(tài)時的動力學(xué)問題.

1" 問題呈現(xiàn)

例題" 如圖1所示，水平面上有一質(zhì)量為M、傾角為θ的斜面體，在斜面上輕放上一質(zhì)量為m的光滑滑塊，求物塊在斜面上下滑過程中，地面對斜面體的摩擦力和支持力的大小.整個運動過程中空氣阻力不計，斜面體始終保持靜止，重力加速度為g.

2" 解法研究

2.1" 運用牛頓運動定律隔離分析

對物塊和斜面體受力分析分別如圖2、圖3所示.根據(jù)物塊在垂直于斜面方向上的平衡方程可得：FN=mgcosθ .根據(jù)牛頓第三定律得F′N=mgcosθ.

對斜面體由水平方向和豎直方向上的平衡方程可知：f=F′Nsinθ，

FN1=Mg+F′Ncosθ

即： f=mgsinθcosθ，

FN1=Mg+mgcos2θ.

運用牛頓定律進行隔離分析的過程中，主要判斷物體之間的相互作用力的大小和方向，逐步求解.下面對隔離分析的方法進行簡單應(yīng)用.

變式1" 如圖4所示，質(zhì)量為M=2 kg的斜面體置于水平地面上，斜面體上有一個質(zhì)量為m=1 kg的滑塊，在方向水平向右的拉力F=30 N作用下沿斜面向上運動.已知滑塊與斜面的動摩擦因數(shù)為0.5，斜面的傾斜角為37°.整個過程中斜面體保持不動，不計空氣阻力.求地面對斜面的支持力和摩擦力的大小.（g取10 m/s2）

解" 對物塊和斜面體受力分析分別如圖5、圖6所示.根據(jù)物塊在垂直于斜面方向上的平衡方程可得：FN=mgcos+Fsinθ=26 N，f=μFN=13 N.

根據(jù)牛頓第三定律得F′N=26 N， 方向垂直斜面向下. f ′=13 N，方向沿斜面向上.

對斜面體由水平方向和豎直方向上的平衡方程可知：

f1=F′Nsinθ +f ′cosθ，

FN1=Mg+F′Ncosθ-f ′sinθ.

解得f1=26 N，F(xiàn)N1=33 N.

2.2" 質(zhì)點系牛頓第二定律與加速度分解相結(jié)合

當(dāng)系統(tǒng)內(nèi)各物體的加速度不同時，牛頓第二定律的基本表達式為：F合=m1a1+m2a2+…+mnan，這是一個矢量表達式（研究的F合為系統(tǒng)所受合外力，mn為各部分物體的質(zhì)量，an為各部分物體的加速度）.系統(tǒng)牛頓第二定律又稱作“質(zhì)點系牛頓第二定律”［1］.其正交形式為：

Fx合=m1a1x+m2a2x+…+mnanx；

Fy合=m1a1y+m2a2y+…+mnany.

將物塊和斜面體當(dāng)作系統(tǒng)，因物塊的加速度沿斜面向下，系統(tǒng)中存在向左的加速度分量，所以地面對斜面體的摩擦力方向向左.對物塊由牛頓第二定律可得：mgsinθ=ma，所以a=gsinθ. 將加速度沿水平和豎直方向分解可得：ax=acosθ，方向水平向左；ay=asinθ，方向豎直向下.對物塊和斜面組成的系統(tǒng)受力分析如圖7所示，由質(zhì)點系的牛頓第二定律：

水平方向：f=max=mgsinθcosθ；

豎直方向：（M+m）g-FN=may，

解得FN=Mg+mgcos2θ.

以上分析可知，在解決斜面體受到地面的摩擦力和支持力的問題時，使用質(zhì)點系牛頓第二定律與加速度分解相結(jié)合的方法往往能起到化繁為簡的效果.下面就此法解決問題進行簡單應(yīng)用.

變式2" 如圖8所示，A、B兩物體從斜面上滑下，求兩物體在運動過程中地面對斜面體的支持力和摩擦力的大小.已知mA=1 kg，mB=2 kg，斜面體的質(zhì)量M=5 kg.兩物體與斜面的動摩擦因數(shù)均為0.5，α=53°，β=37°.整個運動過程中斜面體始終保持不動，不計空氣阻力.（g取10 m/s2）

解" 隔離A、B由牛頓第二定律可得

aA=gsinα-μgcosα，

aB=gsinβ-μgcosβ

由質(zhì)點系牛頓第二定律可知，

（M+mA+mB）g-FN=mAaAsinα+mBaBsinβ，

f=mBaBcosβ-mAaAcosα，

解得FN=73.6 N，f=0.2 N.

2.3" 慣性力與整體法相結(jié)合

慣性力，是指當(dāng)物體有加速度時，物體具有的慣性會使物體有保持原有運動狀態(tài)的傾向，而此時若以研究對象為參考系，并在該參考系上建立坐標(biāo)系，看起來就仿佛有一股方向相反的力作用在研究對象上令研究對象在坐標(biāo)系內(nèi)發(fā)生位移［2］.在非慣性系中牛頓運動定律不成立，所以不能直接用牛頓運動定律處理力學(xué)問題.若仍然希望能用牛頓運動定律處理這些問題，則必須引入一種作用于物體上的慣性力［3］.

由本文《2.1運用牛頓運動定律隔離分析》可知：a=gsinθ，以沿斜面向下加速度為a=gsinθ 的非慣性系統(tǒng)為參考系，為使系統(tǒng)仍滿足牛頓運動定律，可以引入慣性力F慣=ma，方向沿斜面向上.對于整個系統(tǒng)由水平方向和豎直方向上的平衡方程可得：

f=F慣cosθ，

FN=（M+m）g-F慣sinθ.

解得f=mgsinθcosθ，F(xiàn)N=Mg+mgcos2θ.

利用非慣性力解決問題時，先要求出系統(tǒng)中物體的加速度，即選定非慣性系，然后設(shè)定慣性力，再根據(jù)

平衡條件求解.

變式3" 如圖9所示，置于水平地面上的斜面體，質(zhì)量為M=2 kg.斜面體上面有一個質(zhì)量為m=1 kg的滑塊，在F=20 N方向沿斜面向上的拉力的作用下沿斜面向上運動.已知滑塊與斜面的動摩擦因數(shù)為0.5，斜面的傾斜角為37°.整個過程中斜面體保持不動，不計空氣阻力.求地面對斜面的支持力和摩擦力的大小.（g取10 m/s2）

解" 對滑塊由牛頓第二定律可得：

F-mgsinθ-μmgcosθ=ma，

解得a=10 m/s2.

選取以沿斜面向上，加速度為a=10 m/s2的運動系為參考系，則慣性力F慣=ma=10 N，方向沿斜面向下，對物塊和斜面組成的系統(tǒng)由平衡方程：

FN+Fsinθ=（M+m）g+F慣sinθ，

f=Fcosθ-F慣cosθ.

解得FN=24 N，f=8 N.

3" 解題方法對比分析

牛頓運動定律隔離方法是在動力學(xué)問題中是最為常見及常用的方法，通過對相互作用的各個物體單獨進行受力分析，以牛頓第三定律為橋梁，將相互作用的力聯(lián)系起來解決問題.此法優(yōu)勢在于對系統(tǒng)中每個物體的受力情況比較清晰，能較好了解作用機理.相互作用力不多的情況下可以優(yōu)先選用此法解題.

質(zhì)點系的牛頓第二定律與加速度分解相結(jié)合分析中，質(zhì)點系牛頓第二定律是牛頓第二定律在質(zhì)點系統(tǒng)中的應(yīng)用，研究質(zhì)點系統(tǒng)所受外力時能更好地解決問題.此法優(yōu)勢在于不用考慮系統(tǒng)內(nèi)部的物體之間的相互作用力，受力分析比較簡潔，并且系統(tǒng)內(nèi)部各個物體的加速度也不需要統(tǒng)一.在研究的問題中若存在多個物體時，可優(yōu)先考慮質(zhì)點系的牛頓第二定律解決問題.

慣性力與整體法相結(jié)合方法需要選擇非慣性系，引入慣性力，能將非平衡問題轉(zhuǎn)化成平衡問題，實現(xiàn)運動模型的簡化，然后再根據(jù)平衡問題求解對應(yīng)的物理量.但由于慣性力比較抽象，理解方面容易形成誤區(qū)，所以在不熟練的情況下，不推薦使用此法解題.

4" 結(jié)束語

本文主要通過隔離分析、質(zhì)點系的牛頓第二定律的應(yīng)用、非慣性系下慣性力的使用三個常用方法對非平衡狀態(tài)下斜面體受力問題進行分析討論.處理方法不同，計算難度也不同，但不論什么方法，使用的情景很重要.只有在匹配運動情景的情況下才能找到最優(yōu)解.所以在斜面體的動力學(xué)模型中，重視運動情景的分析，同時要對各種模型進行歸類分析，這樣才能找到更適合自己的解題模式.

參考文獻：［1］ 曾小江.質(zhì)點系牛頓第二定律的應(yīng)用［J］.數(shù)理化學(xué)習(xí)（高中版），2020（6）：4.

［2］ 李長松.慣性力之淺談［J］.華章，2013（32）：369.

［3］ 劉克哲，張承琚.物理學(xué)（第四版）上卷［M］.北京：高等教育出版社，2012：37.

［責(zé)任編輯：李" 璟］