牛頓第二定律成立的慣性系有選擇性嗎？

黃健康

摘 ? 要：在解答一道習(xí)題的時候，一些教師認(rèn)為牛頓第二定律成立的慣性系有選擇性。本文通過探究和推導(dǎo)，反駁了這種觀點。

關(guān)鍵詞：牛頓第二定律;慣性系;選擇性

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ?文章編號：1003-6148（2015）1-0043-2

牛頓第二定律是實驗定律，作為其徑向分解式的向心力公式，它的適用條件也應(yīng)是宏觀、低速、慣性參考系（下文簡稱慣性系）。但是，在以下一道練習(xí)題上，一些教師在解答學(xué)生疑問的時候，認(rèn)為牛頓第二定律成立的慣性系具有選擇性。筆者覺得有必要進(jìn)行一番探討。

題目 ?如圖1所示，有一半球形小車質(zhì)量為M，球半徑為R，放在光滑的水平面上。現(xiàn)有一光滑小球質(zhì)量為m，貼著光滑的球面從半徑邊緣自由滑下，求小球滑到最低點時對小車的壓力。

圖1 ?小球在光滑球面滑下

解答 ?設(shè)小球滑至最低點時，小車、小球相對地的速度大小分別為u、v。

系統(tǒng)水平方向動量守恒Mu-mv=0 （1）

系統(tǒng)機械能守恒mgR= ?Mu2+ ?mv2 ? （2）

小球最低點處向心力N-mg=m ?（3）

由（1）（2）（3）式可求得壓力

N'=N=mg [1+ ?]

面對上述解答過程，一些物理拔尖的學(xué)生會提出兩個問題：

①為什么向心力公式N-mg=m ?中的速度必須代入u+v？

②第（3）式是選小車為參考系列出的式子，為什么不選地面為參考系呢？

一些教師在解答第一個問題的時候，會告訴學(xué)生，向心力公式中的速度和轉(zhuǎn)動半徑具有相對性。而在解答第二個問題的時候，認(rèn)為牛頓第二定律成立的慣性系帶有選擇性。本題若選地面為慣性參考系，便無法求出壓力大小，且容易列出N-mg=m ?這樣錯誤的式子。

這樣的回答筆者認(rèn)為是錯誤的。本題之所以選擇小車為慣性參考系，是因為小球?qū)π≤噮⒖枷凳亲鲌A周運動，而對地面不是作圓周運動。下面我們不妨選擇地面為慣性系，了解小球相對地面運動情況，進(jìn)行探究和討論：

如圖2，過初始狀態(tài)下小車圓軌道的圓心O建立直角坐標(biāo)系xOy。由于小球下滾過程中，小車凹槽會向左平移。經(jīng)過t秒，小車凹槽左邊界點A、圓心點O和右邊界點B會分別運動到A′、O′、B′處。設(shè)小車、小球這段時間內(nèi)水平運動位移大小分別為S1、S2，此時小球運動至C（x，y）位置處。

圖2 ?以地面為參考系

由圖2中的幾何關(guān)系可知

x=S1+ ?（4）

S1+S2+ ?=R（5）

系統(tǒng)水平方向平均動量守恒，

M· ?=m· ?（6）

由（4）（5）（6）式可得：

+ ?=1（7）

上面所得的（7）式是一個形如 ?+ ?=1的橢圓方程，故小球?qū)嶋H對地運動的軌跡為橢圓軌跡的下半部分。

令x0= ?，a= ?，b=R，并考慮橢圓 ?+ ?=1的下半部分，有

y=- ? ?（8）

通過查閱高等數(shù)學(xué)教材，可知橢圓最低處軌道曲率半徑公式為r= ?。

對（8）式求一次導(dǎo)數(shù)和二次導(dǎo)數(shù)，可知y'= ?，y''= ?。

當(dāng)小球滑到最低點處時，x=x0= ?，y=b=R，此時y'=0，y''= ?。故該點處軌道曲率半徑r=（ ?）2R。

由（1）（2）兩式可求得v= ?。將求得的r、v代入向心力公式N-mg=m ?，可求得N'=N=mg[1+ ?]。

從上述推導(dǎo)可以看出，以地面為參考系和以小車為參考系，所求得的結(jié)果是完全相同的，牛頓第二定律成立的慣性系并不具有選擇性，區(qū)別僅在計算的繁和簡上。

參考文獻(xiàn)：

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[3]張子羅.巧解慣性教學(xué)中的兩大難題[J].物理教學(xué)探討，2011，（5）：38.

（欄目編輯 ?羅琬華）