對一道跟多普勒效應有關問題的深入剖析

摘" 要：文章對一道跟多普勒效應有關的題目進行分析，剖析人們對這一問題誤解的產生原因；采用取微元進行分析的方法，推導人站在公路一側時，勻速運動的汽車相對人的速度與汽車運動速度之間的定量關系；推導汽車相對人的速度保持不變時，汽車的加速度應該滿足的條件；對聲源沿直線作勻加速運動，人站在軌跡一側聽到聲源頻率變化范圍進行定量分析.

關鍵詞：多普勒效應；聲源；頻率；迎面而來；背離遠去

中圖分類號：G632" ""文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）16-0116-03

收稿日期：2024-03-05

作者簡介：王偉民（1964—），男，本科，中學高級教師，從事中學物理教學研究.

多普勒效應是快速運動的物體由于運動導致物體發(fā)出的聲音向四周傳播時，相對聲源不同位置的空間接收到聲音的頻率不盡相同的現象［1］.當汽車鳴笛從我們身邊快速駛過，我們可以明顯感覺到汽車鳴笛聲音音調的變化.

1" 一道與多普勒效應相關的題目

例1" 如圖1所示，人站某筆直公路一側的M處靜止不動，一輛汽車以恒定的速度從右向左勻速駛過，人聽到的汽車發(fā)動機的頻率（" ）.

A.一直是穩(wěn)定的"""" B.變得越來越高

C.變得越來越低D.先變高后變低

2" 對該問題的錯誤解析及原因剖析

人若站在地面上靜止不動，由多普勒效應可知，聲源向著人運動時，人聽到聲音的頻率大于聲源的振動頻率，而聲源背離人運動時，人聽到聲音的頻率小于聲源的振動頻率［2］.由于受思維定式的影響，在解答例題1給出的這個聲學問題時，很多老師（包括網上對該問題的解答）認為選項D正確，其理由是：汽車向著人運動時，聽到聲音的頻率增加了，而背離人運動時，聽到聲音的頻率減小了.

應該說，這個解答錯誤的原因是把聲源向著人運動時，人聽到聲音的頻率大于聲源振動頻率的現象，誤解為聽到聲音的頻率一直在增加；把聲源背離人運動時，人聽到聲音的頻率小于聲源振動頻率的現象，誤解為聽到聲音的頻率一直在減小了.

另外，站在直線公路旁邊的人靜止不動，汽車以恒定的速度從遠處駛來，掠過人之后又遠離人而去的過程中，人到汽車的距離是先減小再增加［3］.所以，人聽到汽車發(fā)動機聲音的響度是先增大后減小，分不清響度與音調的人，會誤認為聽到聲音的音調（由聽到聲音的頻率決定）是先增加后減小.

那么，當汽車按題目所述方式運動時，人聽到的聲音的頻率究竟如何變化呢？

3" 對該題目的正確解析

如圖2所示，人位于公路的一側M點靜止不動，汽車沿公路由右往左勻速行駛，設人在公路所在直線上的正投影為H，某時刻汽車運動至A點（A在H點的右側），此時人和汽車的連線與汽車運動速度的夾角為θ，汽車再以速度v向前運動一段微元距離ds后至B點，當θ為銳角時，MAgt;MB，在MA上截取MC=MB，連接BC，在ds很小的情況下，∠BCA≈90°，所以AC=dscosθ.因此，汽車相對人的速度為v相對=vcosθ（注：采用對汽車速度進行分解的方法也可以得出同樣的結論），因為在θ∈（0，π）范圍內，v相對=vcosθ是單調減函數（其中θ=π2時，即人和汽車的連線垂直于公路所在的直線時，v相對=0，此刻汽車運行到圖2中的H點，這時人聽到汽車發(fā)動機聲音的頻率剛好等于聲源的振動頻率）.因此，當汽車在H點右側向左勻速運動時，汽車相對人做減速運動，人聽到的汽車發(fā)動機聲音的頻率逐漸減小.而汽車在H點左側向左勻速運動時，汽車相對人做加速運動，人聽到的汽車發(fā)動機聲音的頻率依然逐漸減小.所以，本題的正確選項是C.

4" 人聽到聲源頻率不變時汽車加速度應滿足的條件

我們不禁要問，如果汽車在平直公路上作變速直線運動，當汽車加速度滿足什么條件時，可以使得站在公路旁邊的人聽到汽車發(fā)動機聲音的頻率保持恒定不變呢？

例2" 如圖3所示，人站在距離某筆直公路h的M處靜止不動，一輛汽車在公路上從距離人很遠的地方沿公路加速駛來，假設汽車運動過程中人跟汽車的連線與汽車運動速度的夾角為θ（注：θ是變量），已知汽車到人的距離為2 h時，汽車速度為v0，若汽車行駛過程中人聽到的汽車發(fā)動機的頻率恒定不變，試確定汽車加速度與θ的關系式.

解析" 由例1的分析可知，在某個位置，若汽車相對路面運行的速度為v，則汽車相對人的速度大小為v相對=vcosθ，所以v=v相對cosθ，要使人聽到的汽車發(fā)動機的頻率恒定不變，必須使汽車相對人的速度v相對保持不變，由題目條件可知v相對=32v0，所以

v=3v02cosθ，因此，汽車的加速度為a=v′=3v0sinθ2cos2θ.

所以，汽車加速度與θ的關系式為a=3v0sinθ2cos2θ.

因為θ→π2時，sinθ→1，cosθ→0，此時汽車的加速度a→∞，這是現實生活中不可能發(fā)生的事情.所以，實際問題中，要使路旁靜止的人能夠在汽車行駛過程中的某個階段聽到汽車發(fā)動機的聲音頻率恒定不變，汽車到人在公路所在直線上正投影的距離必須足夠遠，因為只有這樣，才可以保證π2-θ足夠大.

例3" 如圖4所示，一發(fā)聲體沿直線L從A點開始向左做勻加速直線運動，聲源的初速度為v0=1 m/s，加速度a=1 m/s2，某人站在到直線L的距離為1 m的M點靜止不動，H是人在直線L上的正投影，初始狀況下MH=1 m，MA=17 m，試確定人在什么時間范圍內聽到聲源聲音的頻率逐漸減小？

分析" 聲源是在沿直線做加速運動，如果人耳剛好位于聲源運動軌跡的直線上（比如人耳在圖4的H點），當聲源迎面而來時，人聽到聲源聲音的頻率逐漸增大；當聲源背離人遠去時，人聽到聲源聲音的頻率逐漸減小，聲源運動到H點時人聽到的聲音的頻率最大.聲源在直線L上到人的距離非常遠時，人站在L旁聽到聲音頻率的變化效果跟人耳在直線L上聽到運動聲源聲音頻率變化的效果是一樣的.當加速運動的聲源距離人較近時，隨著人跟聲源的連線與聲源運動方向之間的夾角不斷增大，聲源相對人的速度不會一直增加，肯定會有逐漸減小的過程，因為當聲源運動到H點時，即便聲源是加速運動的，但聲源相對人的速度為零［4］.聲源沿其運動軌跡向著人運動時，聲源相對人的速度不斷減小的過程也就是人聽到聲源頻率逐漸減小的過程，當聲源越過H點繼續(xù)向左加速運動時，人聽到聲音的頻率一直在減小，所以，我們只要能夠確定聲源在到達H點之前，在什么位置之后，聲源相對人的速度在減小即可.

解析" 如圖5所示，設從初始狀態(tài)計時，t s之后發(fā)聲體運動到B點，此時∠MBH=θ，則HB=17-t-12t2（長度單位：m），所以tanθ=117-t-t2/2.t s后聲源的運動速度為v=t+1.

先推導聲源相對人速度不變時（此時人聽到聲源聲音的頻率不變），聲源的加速度應滿足的條件.

由v=v相對cosθ可得a=v′=v相對sinθcos2θ=vtanθ，因此，當聲源的實際加速度小于vtanθ時，人聽到聲源聲音的頻率逐漸增大.故有：

t+117-t-t2/2gt;1，

整理得t2+4t-32gt;0.

解得tgt;4或tlt;-8.考慮到時間只能取正數，所以，取tgt;4.而t=4 s時，聲源運動的距離為：s=v0t+12at2=12 m.人聽到聲源聲音頻率由增加變?yōu)闇p小的“拐點”是在H點的右側（距離H點5 m遠），這一點不同于人耳位于聲源運動軌跡上聽到聲音頻率由增加變?yōu)闇p小的“拐點”是在H點的情形.

所以，從聲源開始運動計時，0～4 s時間內人聽到聲音的頻率逐漸增加，4 s時，聽到聲音的頻率達到最大，之后人聽到聲音的頻率一直逐漸減小.當然，當聲源背離人遠去且速度加速至接近聲速時，人耳接收到聲源的頻率如果低于20 Hz，聲音將演變?yōu)榇温?，人耳將感知不到聲音?

5" 結束語

由此可見，聲源沿直線運動的過程中，如果人耳位于聲源運動的軌跡上，聲源勻速運動時，不論聲源是迎面而來，還是背離人遠去，人耳聽到聲音的頻率保持不變，只不過人聽到的迎面而來聲音的頻率，大于人聽到的背離而去聲音的頻率；聲源加速運動過程中，耳朵聽到迎面而來的聲源聲音的頻率逐漸增加，聽到背離遠去聲音的頻率逐漸減小.如果人耳不是在聲源運動的軌跡上，而是在軌跡的一側，那么，聲源從遠處沿其運動軌跡掠過人耳之后并遠去，如果聲源作勻速直線運動，則人耳聽到的聲音的頻率一直在減小，如果聲源作加速運動，人耳聽到的聲音的頻率是先增大后減小.但是聽到聲音頻率由增大變?yōu)闇p小的“拐點”不是在人于聲源軌跡的正投影點，而是在這一點的前面.

參考文獻：［1］ 朱文瑜.基于核心素養(yǎng)下的信息技術與物理課堂融合：以“多普勒效應”為例［J］.數理化解題研究，2022（10）：58-61.

［2］ 馬曉波，林妹平，曹志杰.“課程思政”理念下大學物理課堂教學探究與實踐：以多普勒效應為例［J］.物理通報，2022（10）：70-74.

［3］ 李信雄，賈鵬.基于核心素養(yǎng)的多普勒效應實驗教學［J］.中學物理教學參考，2021（7）：20-21.

［4］ 林德鋁.巧用多普勒效應 妙解物理復賽題［J］.中學物理，2017（5）：30-31.

［責任編輯：李" 璟］