破解分段函數(shù)中參數(shù)問題的新視角：參變分離

摘" 要：分段函數(shù)是一個(gè)重要的函數(shù)模型，其中帶有參數(shù)的函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題在高考中多次出現(xiàn).文中用參變分離的方法逐段處理，很好地解決了求解分段函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)中的參數(shù)問題.

關(guān)鍵詞：分段函數(shù);參變分離;數(shù)形結(jié)合;先分后合

中圖分類號(hào)：G632""" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A""" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）16-0053-03

收稿日期：2024-03-05

作者簡介：何勇（1986—），貴州省思南人，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

分段函數(shù)是一類特殊的函數(shù)表示方式，其分段是針對(duì)函數(shù)的定義域而言的，將函數(shù)的定義域分成幾段（至少兩段），各段的對(duì)應(yīng)法則各不相同.由于分段函數(shù)對(duì)理解函數(shù)的定義、解析式、性質(zhì)、應(yīng)用等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)有較好的作用，倍受命題者青睞［1］.解決分段函數(shù)問題關(guān)鍵在于抓住每段內(nèi)的問題，考查分類討論思想，利用參變分離能夠巧妙地處理分段函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題. 解題的大致思路是：在每一段內(nèi)分離出參數(shù)的解析式，構(gòu)建一個(gè)不含參數(shù)的分段函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)、極限等知識(shí)畫出函數(shù)的圖象，再整體分析函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)等問題，即采用“先分后合”進(jìn)行處理.

1" 高考經(jīng)典真題回顧，領(lǐng)悟方法

題1"" （2018年天津）已知agt;0，函數(shù)f（x）=x2+2ax+a，x≤0，-x2+2ax-2a，xgt;0.若關(guān)于x的方程f（x）=ax恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是.

解析" 當(dāng)x≤0時(shí)，由f（x）=ax得-x2=a（x+1），很顯然x=-1不是方程的實(shí)數(shù)根，則

a=-x21+x;

當(dāng)xgt;0時(shí)，由f（x）=ax得x2=a（x-2），顯然x=2不是方程的實(shí)數(shù)根，則a=x2x-2.

令h（x）=-x21+x，x≤0，x2x-2，xgt;0，原問題等價(jià)于h（x）與y=a有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求a的取值范圍.

當(dāng)x≤0時(shí)，h′（x）=-x2-2x（x+1）2，h（x）在（-∞，-2）上單調(diào)遞減，h（x）在（-2，-1），（-1，0）上單調(diào)遞增.所以h（x）極小值=h（-2）=4.

當(dāng)x→-1-時(shí)，h（x）→+∞，當(dāng)x→-1+時(shí)，h（x）→-∞，h（0）=0.

當(dāng)xgt;0時(shí)，h′（x）=x2-4x（x-2）2，h（x）在（0，2），（2，4）上單調(diào)遞減，h（x）在（4，+∞）上單調(diào)遞增，所以h（x）極大值=h（4）=8.

因?yàn)?h（0）=0，當(dāng)x→2-時(shí)，h（x）→-∞，當(dāng)x→2+時(shí)，h（x）→+∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，h（x）→+∞，

繪制h（x）的圖象如圖1所示，并作出y=a的圖象l，把l進(jìn)行上下移動(dòng).

由圖1可知，當(dāng)agt;0時(shí)，只有l(wèi)處于l1的位置時(shí)才能使h（x）與y=a有兩個(gè)交點(diǎn).

綜上可知，4lt;alt;8.

變式1" 已知agt;0，函數(shù)f（x）=x2+2ax+a，x≤0，-x2+2ax-2a，xgt;0.若關(guān)于x的方程f（x）=ax恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是.

答案" agt;8 .

變式2" 已知函數(shù)f（x）=x2+2ax+a，x≤0，-x2+2ax-2a，xgt;0.若關(guān)于x的方程f（x）=ax恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是.

答案" 4lt;alt;8或alt;0.

2" 強(qiáng)化應(yīng)用，綜合提升

題2" 已知函數(shù)f（x）=ex，xgt;0，-2x2+4x+1，x≤0，若方程f（x）+kx=0恰好有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

解析" 當(dāng)xgt;0時(shí)，由f（x）+kx=0，得k=-exx;

當(dāng)x≤0時(shí)，x=0顯然不是f（x）+kx=0根，則k=2x-1x-4.

令h（x）=-exx，xgt;0，2x-1x-4，xlt;0， 原問題等價(jià)于h（x）與y=a有三個(gè)不同的交點(diǎn).

當(dāng)xgt;0時(shí)，h′（x）=exx2（1-x），h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，所以

h（x）極大值=h（1）=-e，x→0+，h（x）→-∞，x→+∞，h（x）→-∞;

當(dāng)xlt;0時(shí)，h′（x）=2+1x2gt;0，h（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，x→0-，h（x）→+∞，x→-∞，h（x）→-∞;

作出函數(shù)h（x）與y=a的函數(shù)圖象如圖2所示.

綜上可知，alt;-e.

題3" 若函數(shù)f（x）=ax2+2ax+1，xlt;0，ln（x+1）+a，x≥0，恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

解析" 當(dāng)x≥0時(shí)，由f（x）=0，得

a=-ln（x+1）;

當(dāng)xlt;0時(shí)，x=-2顯然不是f（x）的零點(diǎn)，則

a=-1x2+2x.

令h（x）=-1x2+2x，xlt;0且x≠-2，-ln（x+1），x≥0， 原問題等價(jià)于h（x）與y=a有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

當(dāng)x≥0時(shí)，h′（x）=-1x+1lt;0，h（x）在

［0，+∞）上單調(diào)遞減，

所以 h（x）最大值=h（0）=0，x→+∞，h（x）→-∞;

當(dāng)xlt;0且x≠-2時(shí)，h′（x）=2x+2（x2+2x）2，h（x）在（-∞，-2），（-2，-1）上單調(diào)遞減，h（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，所以h（x）極小值=h（-1）=1.

x→-∞，h（x）→0-，x→-2-，h（x）→-∞;

x→-2+，h（x）→+∞，x→0-，h（x）→+∞.

作出函數(shù)h（x）與y=a的圖象如圖3所示，當(dāng)y=a在l1或l2的位置時(shí)都有兩個(gè)交點(diǎn).

綜上可知，alt;0或agt;1.

題4" （2019年四川宜賓二診）已知函數(shù)f（x）=ax3-3x2+1，若f（x）存在唯一的零點(diǎn)x0，且x0gt;0，則a的取值范圍是.

解析" 由函數(shù)f（x）=ax3-3x2+1可知x=0不是f（x）的零點(diǎn).

由ax3-3x2+1=0，得a=3x2-1x3.

令h（x）=3x2-1x3，且h（x）是奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

所以h′（x）=3（1-x2）x4.

則h（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上單調(diào)遞減，h（x）在（-1，0），（0，1）上單調(diào)遞增.

所以h（x）極小值=h（-1）=-2，h（x）極大值=

h（1）=2.

當(dāng)x→+∞時(shí)，3x2-1x3→0且3x2-1x3恒大于零；

當(dāng)x→-∞時(shí)，3x2-1x3→0且3x2-1x3恒小于零.

當(dāng)x→0-時(shí)，3x2-1x3→+∞；當(dāng)x→0+時(shí)，3x2-1x3→-∞.

繪制函數(shù)h（x）的圖象如圖4所示，并作出y=a的圖象l，把l進(jìn)行上下移動(dòng).

由圖4可知只有l(wèi)處于l3的位置時(shí)才能使h（x）與y=a有且只有一個(gè)交點(diǎn)，且橫坐標(biāo)大于0.

綜上可知，alt;-2.

變式1nbsp; 已知函數(shù)f（x）=ax3-3x2+1，若f（x）存在唯一的零點(diǎn)x0，且x0lt;0，求a的取值范圍.

答案" agt;2.

變式2" 已知函數(shù)f（x）=ax3-3x2+1，若f（x）有三個(gè)零點(diǎn)，其中有兩個(gè)大于0的零點(diǎn)，求a的取值范圍.

答案" 0lt;alt;2.

3" 結(jié)束語

通過上述四個(gè)例題的分析，得出一個(gè)結(jié)論：如果分段函數(shù)的參數(shù)可以用參變分離的方法表示出不同的解析式，即得到一個(gè)不含參數(shù)的分段函數(shù)，再通過導(dǎo)數(shù)、極限等知識(shí)繪制新分段函數(shù)的圖象，可以避免帶參數(shù)進(jìn)行繁瑣的分類討論，達(dá)到化繁為簡的目的，很好地解決了含參數(shù)分段函數(shù)的零點(diǎn)、交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.

參考文獻(xiàn)：

［1］

胡園燕.分段函數(shù)的應(yīng)用剖析［J］.中學(xué)生數(shù)理化（高考數(shù)學(xué)），2022（12）：27-28.

［責(zé)任編輯：李" 璟］