例析比較大小問題的八種基本策略

摘" 要：比較大小問題，需要細心觀察試題中表達式的潛在特征，思悟內(nèi)在本質(zhì)，才能找到解決此類問題的最佳路徑.以各地?？荚囶}為例，分類介紹解決這類問題的若干優(yōu)化策略.旨在拓寬學生的解題思路，提高學生的解題能力，進一步提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

關鍵詞：例析; 比較大小; 基本策略

中圖分類號：G632""" 文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）16-0008-05

收稿日期：2024-03-05

作者簡介：李春林（1978.1—），男，甘肅省天水人，本科，中學高級教師，從事高中數(shù)學教學研究.

比較大小問題是近年高考的熱點題型，并且難度呈上升的趨勢.數(shù)值比較大小問題可以將函數(shù)、導數(shù)、數(shù)列、不等式等內(nèi)容有機結合，綜合考查數(shù)學建模、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結合等數(shù)學思想，有效反映學生的直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學學科核心素養(yǎng)水平［1］，有效考查考生分析與解決問題的能力.

1" “基本策略”例析

1.1" 臨界值比較

例1" 設a=log54，b=log154，c=0.5-0.2，則a，b，c的大小關系是（" ）.

A.alt;blt;c""" B.blt;alt;c

C.clt;blt;aD.clt;alt;b

解析" 因為0=log51lt;log54lt;log55=1，

所以0lt;alt;1.

因為b=log154=log5-14=-log54，

所以-1lt;blt;0.

又因為c=0.5-0.2gt;0.50=1，

所以blt;alt;c.

故選B.

點評" 根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和對數(shù)的運算可得到0lt;alt;1，-1lt;blt;0；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到cgt;1，從而可得出答案.

例2" 已知a=3，b=234，c=log2e，則a，b，c的大小關系為（" ）.

A.agt;cgt;bB.agt;bgt;c

C.bgt;agt;cD.bgt;cgt;a

解析" 因為a=3，b=234，

所以a4=9，b4=8.

可知agt;b.

又由b4-（32）4=8-8116=4716gt;0，

得bgt;32.

又由e2lt;8，有elt;22=232.

可得log2elt;32.

即clt;32.

故有agt;bgt;c.

故選B.

點評" 先求出a4，b4，即可判斷agt;b，再利用作差法判斷b4gt;（32）4，即可得到bgt;32，再判斷clt;32，即可得解.

1.2" 差比法與商比法

例3" 已知實數(shù)a，b，c滿足a=613，b=log23+log64，5b+12b=13c，則a，b，c的關系是（" ）.

A.bgt;agt;cB.cgt;bgt;a

C.bgt;cgt;aD.cgt;agt;b

解析" 因為a=613lt;813=2，

b=log23+log64=log23+21+log23，

b-2=log23·log23-11+log23gt;0，

所以bgt;2.

因為13c=5b+12bgt;52+122=132，所以cgt;2.

因為13c-13b=5b+12b-13b

=52·5b-2+122·12b-2-132·13b-2

lt;52·12b-2+122·12b-2-132·13b-2

=12b-2（52+122）-132·13b-2

=132（12b-2-13b-2）lt;0，

所以bgt;c.

綜上，bgt;cgt;a.

故選C.

點評" 利用冪函數(shù)的性質(zhì)知alt;2，利用對數(shù)的運算性質(zhì)及作差法可得b-2gt;0，再構造13c-13b，根據(jù)指數(shù)的性質(zhì)判斷其符號，即可知b，c的大小.

例4" 已知a=0.8-0.4，b=log53，c=log85，則（" ）.

A.alt;blt;cB.blt;clt;a

C.clt;blt;aD.alt;clt;b

解析" 因為bc=log53log85=ln3·ln8ln25lt;（ln3+ln8）24ln25=ln224ln25lt;1，所以blt;c.

因為clt;1lt;a=0.8-0.4，

所以blt;clt;a.

故選B.

點評" 應用作商法，由對數(shù)的運算性質(zhì)、基本不等式可得bc=ln3·ln8ln25lt;（ln3+ln8）24ln25，可知b，c的大小，再結合指對數(shù)的性質(zhì)可知a，c的大小.

1.3" 利用對數(shù)運算分離常數(shù)比大小

例5" 已知m＝log4ππ，n＝log4ee，p＝e-13，則m，n，p的大小關系是（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）（" ）.

A.p＜n＜mB.m＜n＜p

C.n＜m＜pD.n＜p＜m

解析" 由題意得，

m=log4ππ=lgπl(wèi)g4π=lgπl(wèi)g4+lgπ=1-lg4lg4+lgπ，

n=log4ee=lgelg4e=lgelg4+lge=1-lg4lg4+lge.

因為lg4＞lgπ＞lge＞0，

則lg4+lg4＞lg4+lgπ＞lg4+lge.

所以1-lg4lg4+lg4gt;1-lg4lg4+lgπgt;1-lg4lg4+lge.

所以nlt;mlt;12.

而p=e-13=13egt;12，

所以n＜m＜p.

故選C.

點評" 根據(jù)已知條件，應用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)的換底公式，可比較m，n，12的大小關系，再由指數(shù)的性質(zhì)有p=e-13gt;12，即知m，n，p的大小關系.

1.4" 構造函數(shù)

例6" 設a=4-ln4e2，b=1e，c=ln22，則a，b，c的大小關系為（" ）.

A.alt;clt;bB.clt;alt;b

C.alt;blt;cD.blt;alt;c

解析" 設fx=lnxx，則

f ′x=（1/x）·x-lnxx2=1-lnxx2.

當x∈1，e，f ′xgt;0，則fx單調(diào)遞增，

當x∈e，+SymboleB@，f ′xlt;0，則fx單調(diào)遞減.

因為a=4-ln4e2=2lne2-ln2e2=ln（e2/2）（e2/2）=f（e22），

b=1e=lnee=fe，

c=ln22=f2，

所以b=fe最大.

又因為c=f2=f4，elt;e22lt;4，

所以a=f（e22）gt;f4=c.

所以bgt;agt;c.

故選B.

點評" 設fx=lnxx，利用導數(shù)判斷單調(diào)性，利用對數(shù)化簡a=f（e22），b=fe，c=f2=f4，再根據(jù)單調(diào)性即可比較a，b，c的大小關系.

例7" 已知實數(shù)a，b，滿足a=log56+log2625，3a+4a=5b，則關于a，b下列判斷正確的是（" ）.

A.a＜b＜2B.b＜a＜2

C.2＜a＜bD.2＜b＜a

解析" a=log56+log2625

gt;log56+log3625

=log56+log6252

=log56+log65

=log56+1log56

gt;2log56·1log56=2.

構造函數(shù)fx=（35）x+（45）x-1，x∈R，

易知函數(shù)fx是R上的減函數(shù)，且f2=0，由agt;2，

可知fa=（35）a+（45）a-1lt;0.

所以3a+4alt;5a.

又3a+4a=5b，所以5blt;5a.

則agt;b.

又因為5b=3a+4agt;32+42=25，所以bgt;2.

所以agt;bgt;2.

故選D.

點評" 先根據(jù)a=log56+log2625判斷a接近2，進一步對a進行放縮，agt;log56+log3625，進而通過對數(shù)運算性質(zhì)和基本不等式可以判斷agt;2；根據(jù)b的結構，構造函數(shù)fx=（35）x+（45）x-1，x∈R，得出函數(shù)的單調(diào)性和零點，進而得到a，b的大小關系，最后再判斷b和2的大小關系，最終得到答案.

1.5" 合理放縮

例8" 若a=log23，b=log34，c=log45，則a，b，c的大小關系是（" ）.

A.alt;blt;cB.blt;clt;a

C.blt;alt;cD.clt;blt;a

解析" 由題意，log23gt;log22=1，

log34gt;log33=1，

log45gt;log44=1，

即agt;1，bgt;1，cgt;1.

因為c=log45=log225=12log25=log2512=log25，

而a=log23gt;log25，

所以agt;cgt;1.

因為a=log23gt;log222=32，

而b=log34lt;log333=32，

即agt;32gt;bgt;1.

又因為54=log3354=log3435，

b=log34=log3444，

而44gt;35，

則log3444gt;log3435.即bgt;54.

因為54=log4454=log4445，

c=log45=log4454，

而45gt;54，

則log4445gt;log4454.

即54gt;c.

綜上，agt;32gt;bgt;54gt;cgt;1.

所以clt;blt;a.

故選D.

點評" 根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得agt;1，bgt;1，cgt;1，然后利用對數(shù)的運算化為同底并結合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可比較出a，c的大小關系，a，b分別與中間值32比較，得出agt;32gt;bgt;1，b，c分別與中間值54比較，得出bgt;54gt;c，綜合上述情況，即可選出答案.

1.6" 綜合利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性等

例9" 已知fx為R上的奇函數(shù)，gx=xf（x），若gx在區(qū)間-SymboleB@，0上單調(diào)遞減，a=g2π，b=g23，c=g1，則a，b，c的大小關系為（" ）.

A.alt;blt;cB.clt;blt;a

C.blt;alt;cD.blt;clt;a

解析" 因為gx=xf（x）定義域為R，fx為奇函數(shù)，

所以g-x=-xf（-x）=-x［-f（x）］=

xf（x）=g（x）.

所以gx為偶函數(shù).

又gx在區(qū)間-SymboleB@，0上單調(diào)遞減，故gx在0，+SymboleB@上單調(diào)遞增.

又2πgt;23gt;1，所以g2πgt;g23gt;g1.

所以agt;bgt;c.

故選B.

點評" 判斷gx為偶函數(shù)，且在0，+SymboleB@上單調(diào)遞增，又2πgt;23gt;1，根據(jù)單調(diào)性即可判斷.

1.7" 三角函數(shù)值比較大小

例10" 三個數(shù)cos32，sin110，sin74的大小關系是（" ）.

A.cos32gt;sin110gt;sin74

B.cos32gt;sin74gt;sin110

C.cos32lt;sin110lt;sin74

D.sin74gt;cos32gt;sin110

解析" cos32=sinπ2-32，

sin74=sinπ-74.

因為π2-32≈0.07，110=0.1，π-74≈1.39，

所以π2gt;π-74gt;π2-32gt;0.

又因為y=sinx在（0，π2）上單調(diào)遞增，

所以cos32lt;sin110lt;sin74.

故選C.

點評" 誘導公式化余弦為正弦，然后由正弦函數(shù)的單調(diào)性比較大小.

1.8" 數(shù)值逼近

例11" 已知a=1101，b=e-99100，c=ln101100，則a，b，c的大小關系為（" ）.

A.alt;blt;cB.alt;clt;b

C.clt;alt;bD.blt;alt;c

解析" 設fx=ex-x-1，則f ′x=ex-1.令f ′x=0，解得x=0.x∈-SymboleB@，0，f ′xlt;0，

fx單調(diào)遞減，x∈0，+SymboleB@，f ′xgt;0，fx單調(diào)遞增.

所以fx≥f0=0.

即ex-x-1≥0，當且僅當x=0時取等號.

所以exgt;x+1x≠0.

故b=e-99100gt;-99100+1=1100gt;1101=a.

即bgt;a.

設gx=lnx-x+1，

g′x=1x-1=1-xx，

令g′x=0，解得x=1.

所以x∈0，1，g′xgt;0，gx單調(diào)遞增，x∈1，+SymboleB@，g′xlt;0，gx單調(diào)遞減.

所以gx≤g1=0.

即lnx-x+1≤0，當且僅當x=1時取等號.

所以lnxlt;x-1x≠1.

所以c=ln101100lt;101100-1=1100.

又因為bgt;1100，所以bgt;c.

又因為-lnxgt;-x+1x≠1，

所以c=ln101100=-ln100101gt;-100101+1=1101=a.

即cgt;a.

綜上bgt;cgt;a.

故選B.

點評" 設fx=ex-x-1，利用導數(shù)得到exgt;x+1x≠0，從而得到b=e-99100gt;-99100+1=1100gt;1101=a，

設gx=lnx-x+1，利用導數(shù)得到lnxlt;x-1x≠1，從而得到bgt;c和cgt;a，即可得到答案.

2" 結束語

“比較大小”題作為高考的熱點與難點，考查形式多變，難度較大，尤其是近幾年在全國卷的高考試題中， 以冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及三角函數(shù)等基本初等函數(shù)為載體的比較大小題，頻頻出現(xiàn).解決這類問題，需要細心觀察試題中表達式的潛在特征，思悟內(nèi)在本質(zhì)，才能找到解決此類問題的最佳路徑［2］.除了利用不等式的基本性質(zhì)和基本不等式以外，還需要牢牢掌握以上八種解題策略，達到能深入理解、靈活應用，尤其要重視函數(shù)性質(zhì)在“比較大小”問題中的應用，這是新高考的一個方向，不過難度會有所降低.

參考文獻：

［1］

張建軍.例析構造函數(shù)比較大小［J］.中學生數(shù)學，2023（03）：11-13.［2］ 劉瑞秀.淺談用構造函數(shù)法比較大小問題［J］.數(shù)理天地（高中版），2022（24）：2-3.

［責任編輯：李" 璟］