聚焦數(shù)學(xué)抽象 多維度滲透概念

摘 要：數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)作為數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng)之一，是一種基本的思維方式，是概念課教學(xué)中必不可少的一部分.文章以“函數(shù)的單調(diào)性”教學(xué)為例，通過問題驅(qū)動，聚焦數(shù)學(xué)抽象，探討在概念教學(xué)中立足教學(xué)實踐，落實培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的策略．

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)抽象；數(shù)學(xué)概念；數(shù)形結(jié)合

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：“數(shù)學(xué)抽象是指通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng).主要包括從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，用數(shù)學(xué)語言予以表征.”［1］

概念是數(shù)學(xué)的核心，是數(shù)學(xué)思維的基本形式.在概念課教學(xué)中，教師可遵循章建躍博士建議的“概念教學(xué)七步曲”——揭示背景，豐富典例，歸納共性，下定義，概念辨析，概念判斷，概念精致化的步驟展開，注重過程引導(dǎo)，為學(xué)生搭建腳手架，讓學(xué)生在積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗的過程中，體驗數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化過程，培養(yǎng)抽象性思考問題的習(xí)慣和思維方式．

“函數(shù)的單調(diào)性”是滬教版《普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊》《5.2函數(shù)的基本性質(zhì)》中的一節(jié)概念起始課.函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生在了解函數(shù)的概念、函數(shù)的奇偶性后學(xué)習(xí)的函數(shù)的一個重要性質(zhì)，是函數(shù)學(xué)習(xí)中又一個用符號語言刻畫的概念，概念中蘊含的符號語言、數(shù)學(xué)邏輯和不等式證明的方法（作差變形）為進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)的其他性質(zhì)提供了理論和依據(jù).同時，函數(shù)的單調(diào)性也是后續(xù)學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)并深入研究函數(shù)性質(zhì)的知識基礎(chǔ)．

函數(shù)本身較為抽象，作為初學(xué)者，還是會存在一些困難，具體困難主要表現(xiàn)在兩個方面：①用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號語言去刻畫圖象的上升與下降，這種由形到數(shù)的數(shù)學(xué)語言翻譯，從圖形直觀到數(shù)學(xué)抽象的轉(zhuǎn)變，從現(xiàn)象到本質(zhì)的認(rèn)識對剛剛接觸函數(shù)單調(diào)性的學(xué)生是比較困難的；②單調(diào)性的證明是學(xué)生在函數(shù)內(nèi)容中首次接觸到的代數(shù)不等式證明，而學(xué)生在代數(shù)方面的推理論證能力是比較薄弱的.

為克服教與學(xué)上的難點，搭建學(xué)生理解概念的腳手架，本文以“函數(shù)的單調(diào)性”教學(xué)為例，探討在概念課教學(xué)中教師如何采取多種措施多維度發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)．

1 課例呈現(xiàn)與分析

本文將從以下五個方面呈現(xiàn)聚焦數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的“函數(shù)單調(diào)性”教學(xué)設(shè)計．

1.1 教學(xué)目標(biāo)聚焦數(shù)學(xué)抽象

數(shù)學(xué)概念的形成通常經(jīng)歷兩種不同層次的抽象過程，一種是從數(shù)學(xué)外部的事物出發(fā)，經(jīng)過數(shù)學(xué)化抽象出數(shù)學(xué)概念；另一種是在數(shù)學(xué)內(nèi)部，對已有數(shù)學(xué)概念進(jìn)一步歸納總結(jié).概念課教學(xué)目標(biāo)的設(shè)計也應(yīng)圍繞兩種層次展開，旨在讓學(xué)生知道“是什么”“為什么”“還有什么”，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng).基于此，本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)設(shè)計如下.

（1）基于函數(shù)圖象，能用符號語言刻畫函數(shù)的單調(diào)性，理解單調(diào)性的基本概念，歸納抽象出利用圖象和單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法.

（2）通過對函數(shù)單調(diào)性概念的探究，滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，在三種語言轉(zhuǎn)化的過程中，聚焦數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，提升學(xué)生觀察，歸納以及推理論證的能力，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理核心素養(yǎng)．

目標(biāo)（1）關(guān)注函數(shù)的單調(diào)性“是什么”，聚焦于數(shù)學(xué)抽象的第一層次——從生活中的氣溫圖出發(fā)，經(jīng)過數(shù)學(xué)化抽象出函數(shù)單調(diào)性概念；目標(biāo)（2）關(guān)注概念的“為什么”以及“還有什么”，從多維度對單調(diào)性概念深入探究．

1.2 基于問題情境，注重過程引導(dǎo)，積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗

函數(shù)性質(zhì)的研究，一般按照“圖形觀察（圖象語言）—定性描述（文字語言）—定量刻畫（符號語言）—性質(zhì)應(yīng)用”的流程展開.其中，從定性描述到定量刻畫的過程是概念形成的關(guān)鍵，也是學(xué)習(xí)的重點與難點．

本課例首先通過創(chuàng)設(shè)情境和圖象直觀引入概念，再由形到數(shù)，歸納探索形成概念，最后完成從定性到定量的轉(zhuǎn)化，精確刻畫函數(shù)的單調(diào)性.

教學(xué)片段1

問題1 觀察某市一天24小時的氣溫變化圖并回答在各個時間段氣溫是如何變化的？有怎樣的趨勢？

生：在0點～4點，氣溫下降；在4點～14點，氣溫上升；在14點～24點，氣溫下降．

師：在現(xiàn)實生活中有不少這種函數(shù)變化現(xiàn)象，今天我們就從數(shù)學(xué)角度來研究函數(shù)的單調(diào)性.

【設(shè)計意圖】由生活情境引入新課，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.請學(xué)生描述氣溫升高或下降的時間段這一行為為后面單調(diào)區(qū)間的概念的引出作鋪墊，并使學(xué)生對單調(diào)性概念形成第一次直觀圖形認(rèn)識.

截取氣溫圖在一段區(qū)間I上的圖象，如圖1．

問題2 觀察圖1，能否總結(jié)這段圖象在I上有怎樣的變化趨勢？

生：圖象在區(qū)間I上呈上升趨勢（圖象語言）．

問題3 回顧初中階段的學(xué)習(xí)，怎樣用文字刻畫圖象呈上升趨勢？

生： y隨著x的增大而增大（文字語言）.

追問 初中階段對單調(diào)性給了一個定性的描述，到了高中階段如何精確刻畫這一性質(zhì)呢？

（1）利用問題串，剖析文字語言：x增大，y隨之增大.

師生共同抽象提煉出單調(diào)性符號語言：若對區(qū)間I內(nèi)任意x1，x2，當(dāng)x1 ＜ x2時，都有f（x1）＜f（x2），則稱函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I上是嚴(yán)格增函數(shù)．

【設(shè)計意圖】教師通過一系列問題的提出，引導(dǎo)學(xué)生思考，逐步展現(xiàn)理解新知識的全過程，使學(xué)生在探究函數(shù)單調(diào)性定義的過程中感受圖象語言、文字語言和符號語言三者之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，提升語言轉(zhuǎn)化能力和抽象能力.

（2）歸納得到單調(diào)增函數(shù)的定義，并類比得到單調(diào)減函數(shù)的定義.

對于區(qū)間I內(nèi)任意x1，x2，當(dāng)x1 ＜ x2時，總成立f（x1） ＜ f（x2），則稱函數(shù)y=f（x） 在區(qū)間I上是嚴(yán)格增函數(shù)，I稱為增區(qū)間.

對于區(qū)間I內(nèi)任意x1，x2，當(dāng)x1 ＜ x2時，總成立f（x1） gt; f（x2），則稱函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I上是嚴(yán)格減函數(shù)，I稱為減區(qū)間.

此外，如果總成立f（x1）≤f（x2），就稱函數(shù)y=f（x） 在區(qū)間I上是增函數(shù)；總成立f（x1）≥f（x2），就稱函數(shù)y=f（x） 在區(qū)間I上是減函數(shù)．

“嚴(yán)格增”“嚴(yán)格減”“增”及“減”統(tǒng)稱為函數(shù)的單調(diào)性，區(qū)間 I 叫做函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

【設(shè)計意圖】把對單調(diào)性的認(rèn)識從對圖象的定性認(rèn)識，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言的定量認(rèn)識，由形到數(shù)實現(xiàn)數(shù)學(xué)符號語言的精確刻畫，完成對概念的第二次認(rèn)識.事實上此過程也給出了證明單調(diào)性的方法，為證明函數(shù)單調(diào)性做好鋪墊.

1.3 從多維度多角度探索抽象概念的同時融入數(shù)學(xué)思想

借助數(shù)學(xué)抽象可以在不同層面上以不同形式去刻畫函數(shù)的單調(diào)性，由此形成數(shù)學(xué)的多級抽象性，同時又使函數(shù)的單調(diào)性這一概念具有了高度概括性.

數(shù)學(xué)思想是人們對數(shù)學(xué)知識和方法形成規(guī)律性的理解認(rèn)識，是抽象的產(chǎn)物，同時其存在形式也是抽象的，［2］它的形成往往蘊含在數(shù)學(xué)概念等的抽象過程中．

在探索概念階段，課例需讓學(xué)生經(jīng)歷從直觀到抽象，從特殊到一般再到特殊最終回歸一般，從感性到理性的認(rèn)知過程，通過正例和反例兩方面明確概念的外延，不斷追問為什么，進(jìn)一步加深學(xué)生對單調(diào)性定義本質(zhì)的認(rèn)識，保證學(xué)生對概念的認(rèn)識層層深入.并且在例題的選擇上也有考慮，例題1是已知圖形求單調(diào)區(qū)間，例題2和3是已知解析式判定、證明單調(diào)性，整個過程使學(xué)生深刻地感受數(shù)與形之間的有機(jī)結(jié)合與轉(zhuǎn)化，進(jìn)而體會數(shù)形結(jié)合的思想方法．

教學(xué)片段2

例1 如圖2，根據(jù)函數(shù)圖象指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

學(xué)生總結(jié)：圖形是研究函數(shù)單調(diào)性最直觀的工具，嚴(yán)格增則圖象上升，嚴(yán)格減則圖象下降.利用圖形判斷單調(diào)區(qū)間是常用方法.

【設(shè)計意圖】回歸圖形，通過觀察圖形的趨勢得到單調(diào)區(qū)間，呼應(yīng)引入的情境.從形的角度理解概念.

教學(xué)片段3

例2 證明函數(shù)f（x）=-（4／x2）" 在區(qū)間 （0，＋∞）上是增函數(shù)．

預(yù)設(shè)：教師板書規(guī)范書寫，強(qiáng)調(diào)證明過程和格式．

問題4 證明函數(shù)單調(diào)性要經(jīng)過哪幾個步驟？

學(xué)生歸納證明步驟：任意取值—作差變形—判號—下結(jié)論．

【設(shè)計意圖】 教師示范具體的證明過程，學(xué)生初步掌握利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法與步驟，并在此基礎(chǔ)上歸納出函數(shù)單調(diào)性的一般證明方法，從正面完成對單調(diào)性概念的第四次認(rèn)識.

例3 證明函數(shù) f（x）=1／x 在區(qū)間（0，＋∞）上單調(diào)遞減.

【設(shè)計意圖】規(guī)范學(xué)生書寫，嚴(yán)格按照定義推理證明，同時也為下面的設(shè)問做鋪墊.

教學(xué)片段4

問題5 請寫出函數(shù)f（x）=1／x 的所有單調(diào)區(qū)間.

生1：由反比例函數(shù)圖象可知，（-∞，0）和 （0，+∞）為函數(shù)的減區(qū)間．

生2：可以兩個并起來，減區(qū)間是（-∞，0）∪ （0，+∞）．

學(xué)生陷入爭論，議論紛紛．

師：兩個同學(xué)的說法都對嗎？

生3：-1＜3， 但是f（-1）＜f（3）， 故函數(shù)在定義域內(nèi)不是減函數(shù).

師：單調(diào)區(qū)間能否隨意合并？

生4：單調(diào)區(qū)間不能隨意合并，必須緊扣定義中的“任意取值”研究單調(diào)性.

【設(shè)計意圖】通過例3糾正學(xué)生對單調(diào)區(qū)間概念的認(rèn)識上的偏差，再一次強(qiáng)調(diào)單調(diào)性定義中“任意取值”的重要性，從反面完成對單調(diào)性概念的第五次認(rèn)識．

1.4 關(guān)注抽象的概念表達(dá)形式，加強(qiáng)運用數(shù)學(xué)符號語言的訓(xùn)練

教材中的數(shù)學(xué)概念、定理、公式等總是采用某種數(shù)學(xué)語言或符號表示，學(xué)生要真正理解掌握，就需要靈活運用它們，從而促進(jìn)抽象思維的發(fā)展.實踐證明，如果學(xué)生有盡可能多的機(jī)會用數(shù)學(xué)語言復(fù)述、辨析概念，他們對概念的理解就會更加深刻．

在例3請學(xué)生說明函數(shù)在某區(qū)間不是單調(diào)函數(shù)的過程中，很多學(xué)生能夠理解問題但是不能準(zhǔn)確說出數(shù)學(xué)符號語言，舉反例對學(xué)生來說比較困難.

教師需要進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力，故而設(shè)計了下面的開放式問題討論環(huán)節(jié)，把自主權(quán)還給學(xué)生，讓學(xué)生上黑板自由繪圖且自己描述，深刻體會函數(shù)單調(diào)性的定義，借助這樣的形式培養(yǎng)學(xué)生不僅會做，還要會說，進(jìn)一步提升語言轉(zhuǎn)化能力.當(dāng)然，數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力的提升非一朝一夕，需要教師在以后的課堂教學(xué)中給予關(guān)注，盡可能為學(xué)生創(chuàng)造表達(dá)的機(jī)會與平臺，授之以漁而非授之以魚.

教學(xué)片段5 開放性問題環(huán)節(jié)

問題6 對于一般的函數(shù) y=f（x），x∈D， 若f（-1）＜f（3），能否說函數(shù)單調(diào)遞增，或確定函數(shù)的單調(diào)性？請畫出滿足條件的函數(shù)圖象，并描述所畫圖象的單調(diào)性.

圖3～圖6為學(xué)生繪制圖象節(jié)選，學(xué)生繪制好圖形后描述所繪函數(shù)單調(diào)性，如下.

（1）函數(shù)在［-1，3］上嚴(yán)格增.

（2）函數(shù)在［-1，3］上不是單調(diào)函數(shù)，可舉反例說明.

（3）函數(shù)在 ［-1，0） 上嚴(yán)格增，在（0，3］上也嚴(yán)格增，但是在［-1，0）∪（0，3］上不是單調(diào)函數(shù).

（4）函數(shù)在 ［-1，0） 上嚴(yán)格增，在（0，3］上也嚴(yán)格增．

追問：（4）中的函數(shù)在定義域［-1，0）∪（0，3］上是單調(diào)函數(shù)嗎？

生：在 ［-1，0）∪（0，3］上是嚴(yán)格增函數(shù)．

追問：為什么（3）中的單調(diào)區(qū)間不能合并，（4）中的單調(diào)區(qū)間卻可以合并呢？

學(xué)生構(gòu)造出了兩個單調(diào)區(qū)間可以合并后仍然是單調(diào)區(qū)間的例子，與（3）中的兩個單調(diào)增區(qū)間不能合并的例子進(jìn)行對比，兩個例子進(jìn)一步讓學(xué)生體會到單調(diào)性的局部性以及取值的任意性，也為后期研究分段函數(shù)單調(diào)性埋下了伏筆. 學(xué)生在一次又一次地把圖象語言翻譯成符號語言的過程中，加深了對單調(diào)性概念中“任意性”的理解與認(rèn)識.

【設(shè)計意圖】借著學(xué)生的反例追問，引導(dǎo)學(xué)生將符號語言轉(zhuǎn)化為圖象語言，再把自己所繪的圖象翻譯成符號語言，在繪圖、描述的過程中提升語言切換能力，深刻體會函數(shù)單調(diào)性的定義.由數(shù)回形，從形上完成對單調(diào)性概念的第六次認(rèn)識．

1.5 小結(jié)

回顧整節(jié)課探索知識的過程，師生一起歸納總結(jié)函數(shù)單調(diào)性“是什么”“為什么”“怎么做”“還有什么”，概括的過程是一次完整的數(shù)學(xué)抽象過程，鞏固學(xué)生對單調(diào)性概念的理解，具體內(nèi)容如下.

（1）一個定義：函數(shù)單調(diào)性定義.

（2）兩個思想：從特殊到一般，數(shù)形結(jié)合.

（3）三個注意點：規(guī)范格式，如何舉反例，單調(diào)區(qū)間不能輕易合并.

（4）四個步驟：從任意取值，到作差變形，再到判號，最后下結(jié)論．

2 結(jié)語

本節(jié)課是一節(jié)概念原理課，是函數(shù)單調(diào)性的起始課，采用教師啟發(fā)引導(dǎo)，學(xué)生探究學(xué)習(xí)的教學(xué)方法，通過創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)探究，師生交流的方式使學(xué)生最終歸納抽象形成概念.在教學(xué)實踐后有以下幾方面體會.

（1）教師要有意識地搭建臺階，為歸納抽象的過程作鋪墊，幫助學(xué)生突破難點.

（2）教師要注重在學(xué)生抽象的過程中結(jié)合數(shù)學(xué)思想和方法.

（3）教師需要盡可能多地創(chuàng)造學(xué)生運用數(shù)學(xué)語言表達(dá)知識的機(jī)會.

（4）教師需要更精準(zhǔn)地準(zhǔn)備教案，關(guān)注每個環(huán)節(jié)的遞進(jìn)與呼應(yīng)，優(yōu)化課堂效率，幫助學(xué)生沉浸式習(xí)得概念．

這些都是聚焦數(shù)學(xué)抽象，滲透概念的可行教學(xué)方法，以實現(xiàn)新課標(biāo)“通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能在情境中抽象出數(shù)學(xué)概念、方法和體系，積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗，養(yǎng)成在日常生活和實踐中一般性思考問題的習(xí)慣，運用數(shù)學(xué)的抽象思維解決問題”的要求．

參考文獻(xiàn)

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