穩(wěn)中有“變” 變中求“新”

摘 要：2023年安徽省中考數(shù)學(xué)試卷穩(wěn)中有變，變化中有創(chuàng)新.深入研究可以發(fā)現(xiàn)，該份試卷既注重考查基礎(chǔ)知識、基本技能，又注重滲透基本思想和積累基本活動經(jīng)驗(yàn).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《2022年版課標(biāo)》）中提出了九個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，試題也特別關(guān)注對核心素養(yǎng)的深度考查，這必將為學(xué)生的全面發(fā)展、終身發(fā)展奠定基礎(chǔ).

關(guān)鍵詞：中考數(shù)學(xué)；四基；核心素養(yǎng)；思維能力

筆者對2023年安徽省中考數(shù)學(xué)試卷進(jìn)行分析，并提出一些教學(xué)思考和教學(xué)建議，供教師參考.

1 試卷的總體情況評析

安徽省中考數(shù)學(xué)試卷一直以追求穩(wěn)定、特點(diǎn)鮮明、突出能力、著意創(chuàng)新為特色，以下僅從四個(gè)方面加以分析.

1.1 試卷結(jié)構(gòu)穩(wěn)定

試卷共23題，總分150分.依然設(shè)置選擇題、填空題和解答題三種題型.其中選擇題10題（計(jì)40分），填空題4題（計(jì)20分），解答題9題（計(jì)90分），保持了中考命題“硬件”方面的穩(wěn)定性.

1.2 考點(diǎn)分布穩(wěn)定

從考題涉及內(nèi)容看，與《2022年版課標(biāo)》要求完全一致，這樣的考點(diǎn)分布能促進(jìn)教師主動地研讀《2022年版課標(biāo)》，提高課堂效率.

1.3 試題難度穩(wěn)定

試題結(jié)構(gòu)仍然遵循由易到難的原則，在每類題型最后設(shè)置“壓軸”題，使得大部分考生都能得到基本的分?jǐn)?shù)，體現(xiàn)了《2022年版課標(biāo)》中“使得人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”.［1］當(dāng)前中考是“兩考合一考”，本卷除第10、14、22、23題有一定難度或難度較大外，其他試題都以考查基礎(chǔ)知識、基本思想方法為主，這樣既保證了大部分學(xué)生都能達(dá)到初中畢業(yè)合格水平，同時(shí)也為數(shù)學(xué)能力較強(qiáng)的學(xué)生提供了充分發(fā)揮的舞臺，兼顧了中考的選拔功能.

1.4 試題特點(diǎn)鮮明

1.4.1 特點(diǎn)一：注重“雙基”，發(fā)展“四能”

《2022年版課標(biāo)》指出，要持續(xù)注重“雙基”“四能”，是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的基本體現(xiàn).安徽省中考數(shù)學(xué)試卷堅(jiān)持穩(wěn)定第一，穩(wěn)定不僅體現(xiàn)在考試時(shí)間、試卷結(jié)構(gòu)、分值分布等方面，對基礎(chǔ)知識和基本技能的考查也相當(dāng)穩(wěn)定，即“高頻考點(diǎn)”基本不變.2023年也不例外，如相反數(shù)、三視圖、冪的運(yùn)算、科學(xué)計(jì)數(shù)法、解不等式（組）、列方程（組）、因式分解、解直角三角形、格點(diǎn)圖形變換、勾股定理、概率、統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建模、函數(shù)圖象、合情推理、三角形、四邊形等知識點(diǎn)均在考題中有呈現(xiàn)，有的考點(diǎn)甚至多次出現(xiàn).這說明了考查“雙基”（基礎(chǔ)知識、基本技能）仍是重中之重，在考查“雙基”的同時(shí)，還兼顧了基本數(shù)學(xué)思想方法和基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的考查，如第10題的幾何最值問題、第14題的函數(shù)與幾何綜合問題、第23題的函數(shù)圖象中圖形面積的探究問題等.

1.4.2 特點(diǎn)二：文化自信，滲透傳統(tǒng)文化

中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化是中華民族長期實(shí)踐中積累并傳承的寶貴精神財(cái)富，也是激發(fā)海內(nèi)外中華民族子孫文化認(rèn)同感、文化歸屬感和文化自信心的重要依托.［2］2023年中考數(shù)學(xué)試卷在考查數(shù)學(xué)知識的同時(shí)，滲透了中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，如第13題以 “三斜求積術(shù)” 為情境，使學(xué)生能夠了解社會實(shí)際、感受中國傳統(tǒng)文化的博大精深和我國數(shù)學(xué)研究的悠久歷史，增強(qiáng)民族自豪感. 在義務(wù)教育階段，推進(jìn)融合傳統(tǒng)文化與基礎(chǔ)學(xué)科教學(xué)和民族文化素養(yǎng)提升是當(dāng)代初中教育教學(xué)重要目標(biāo)之一，將傳統(tǒng)文化與初中數(shù)學(xué)教學(xué)相結(jié)合，也是提升初中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑.

1.4.3 特點(diǎn)三：重視代數(shù)，提升運(yùn)算能力

《2022年版課標(biāo)》中新增的“學(xué)業(yè)質(zhì)量”內(nèi)容，為中考命題提供了重要依據(jù). 具體而言，要將《2022年版課標(biāo)》中的內(nèi)容要求細(xì)化為可操作的目標(biāo)解析，進(jìn)而命制試題.比如第11，13，15，16，18，19題中都重點(diǎn)考查了代數(shù)運(yùn)算，其他題目中也滲透了代數(shù)運(yùn)算，因此，準(zhǔn)確理解和把握學(xué)業(yè)質(zhì)量的關(guān)鍵要素和核心要義，命制考查運(yùn)算能力、抽象能力、模型觀念的試題，對于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落地生根具有重要意義.

1.4.4 特點(diǎn)四：注重通性通法，提升思維能力

試題淡化特殊技巧，注重解決數(shù)學(xué)問題的通性通法的深入考查，促進(jìn)學(xué)生將知識和方法內(nèi)化為自身的知識結(jié)構(gòu)，凸顯數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查，服務(wù)“雙減”政策實(shí)施，助力基礎(chǔ)教育提質(zhì)增效.比如第10、22、23題都可以運(yùn)用基本方法進(jìn)行解決，通過對動態(tài)的特殊四邊形的考查，體會幾何最值的基本解決路徑，考查學(xué)生綜合應(yīng)用三角形、圖形變換、勾股定理等基本知識觀察問題、分析問題和解決問題的能力.

1.4.5 特點(diǎn)五：穩(wěn)定第一，堅(jiān)持不斷創(chuàng)新

2023年安徽中考數(shù)學(xué)試題題量、題型與往年相同，繼續(xù)保持中考命題的穩(wěn)定性和連續(xù)性，部分試題立意新穎，充分滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，且解法多樣，具有一定的創(chuàng)新性、前瞻性.在考查方向上，注重體現(xiàn)基礎(chǔ)知識、突出思維能力的特點(diǎn)；在考查內(nèi)容上，彰顯出基礎(chǔ)性、應(yīng)用性和綜合性；在知識立意上，考查考生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及分析問題和解決問題的能力.全卷梯度合理，區(qū)分度高，多層次地考查了學(xué)生的核心素養(yǎng)和創(chuàng)新能力，具有良好的教學(xué)導(dǎo)向性.

2 試題賞析

2023年安徽省中考數(shù)學(xué)試題精心命制，亮點(diǎn)紛呈，以下僅對2023年幾道典型試題進(jìn)行評析，供大家欣賞.

例1 （第9題）已知反比例函數(shù)y=kx（k≠0）在第一象限內(nèi)的圖象與一次函數(shù)y=-x+b的圖象如圖1所示，則函數(shù)y=x2-bx+k-1的圖象可能為（ ）.

分析：本題將一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)融為一題，綜合考查了它們的圖象與性質(zhì).由一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象在第一象限有兩個(gè)公共點(diǎn)，知kgt;0，bgt;0.根據(jù)公共點(diǎn)的意義，把（1，b-1）代入y=kx中，可得k=b-1，所以二次函數(shù)y=x2-bx+b-2，即y=x2-（x-1）b-2，故拋物線經(jīng)過定點(diǎn)（1，-1），最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得選項(xiàng)A正確.當(dāng)然，本題也可以用排除法先排除C、D，從而提高正確率.

解答：由于一次函數(shù)y=-x+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，且與y軸交于正半軸，所以bgt;0.由y=kx的圖象經(jīng)過第一、三象限，知kgt;0.函數(shù)y=x2-bx+k-1的圖象開口向上，對稱軸為直線x=b2gt;0.由圖象可知，y=kx與y=-x+b的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)（1，k）和（k，1），所以-1+b=k，即b=k+1.

對于函數(shù)y=x2-bx+k-1，當(dāng)x=1時(shí)，y=-1，故二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（1，-1）.又y=kx與y=-x+b的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以方程kx=-x+b，即x2-bx+k=0有兩個(gè)不等的實(shí)根，所以Δ=b2-4k=（k+1）2-4k=（k-1）2gt;0，所以k-1≠0，故當(dāng)x=0時(shí)，y=k-1≠0，所以二次函數(shù)的圖象不經(jīng)過原點(diǎn)，故符合以上條件的只有A選項(xiàng).

本題將初中階段所學(xué)的函數(shù)知識集于一題，綜合考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等，可見命題者煞費(fèi)苦心，同時(shí)對學(xué)生全面掌握初等函數(shù)知識提出了更高要求，題目難度不大，但綜合性強(qiáng)，作為選擇題的次壓軸題，恰到好處.

例2

（第10題） 如圖2，已知等邊△ADE和等邊△BCE，且在AB的同側(cè)，P、F分別為CD、AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AB上，若AB=4，下列說法錯(cuò)誤的是（ ）.

分析：本題以“雙等邊三角形”為背景，考查由對稱性求兩線段之和的最小值，對于這個(gè)模型學(xué)生大都較為熟悉，可謂“有法可依”.重點(diǎn)考查變化中的不變性，解決A、B選項(xiàng)中線段之和的最小值，故聯(lián)想到“將軍飲馬”來進(jìn)行解決，找出點(diǎn)P的運(yùn)動路徑是解決此問題的關(guān)鍵，也就是找到“將軍飲馬”中的這條“河”.可以通過補(bǔ)全大的等邊三角形來探尋點(diǎn)P的運(yùn)動狀態(tài)，由所構(gòu)成的平行四邊形DECG可推出，P為GE的中點(diǎn)，即易證點(diǎn)P在中位線MN上.

解答：如圖3，延長AD、BC交于點(diǎn)G，易得△ABG為邊長為4的等邊三角形，四邊形CEDG為平行四邊形；P為CD中點(diǎn)，P為平行四邊形CEDG對角線交點(diǎn)，可知點(diǎn)G、P、E三點(diǎn)共線，故點(diǎn)Р為GE中點(diǎn).作PM∥AB交AG于M，交BG于N，由推論得M、N分別為AG、BG中點(diǎn)，可知點(diǎn)P在中位線MN上.如圖4，補(bǔ)全等邊三角形ABG，過點(diǎn)P作AB的平行線，作B的對稱點(diǎn)B′，連接AB′，則AB′為PA+PB的最小值.BB′=FG=23，AB′=42+（23）2=27，故選A.

本題考查的動點(diǎn)軌跡問題，體現(xiàn)了初高知識銜接，也體現(xiàn)了思維與操作相結(jié)合.美中不足的是本題可以根據(jù)特殊點(diǎn)法來進(jìn)行運(yùn)算，根據(jù)特殊點(diǎn)也能猜出答案，從而影響試題的信度.另外A選項(xiàng)直接為正確選項(xiàng)，會使學(xué)生直接作答，從而使B、C、D三個(gè)選項(xiàng)意義不大.

例3 （第14題）如圖5，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，Rt△OAB的直角頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，AB=2，∠AOB=30°，反比例函數(shù)y=kx（k＞0）的圖象經(jīng)過斜邊OB的中點(diǎn)C.

（1）k=____.

（2）D為該反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，若DB∥AC，則OB2-BD2的值為____.

分析：本題綜合考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)，并將反比例函數(shù)與幾何綜合，根據(jù)正方形的性質(zhì)求線段長，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題等.借助于幾何知識來研究和分析反比例函數(shù).

本題新穎有趣，將反比例函數(shù)與幾何知識相結(jié)合，利用幾何知識計(jì)算是本質(zhì).同時(shí)考查分類討論、數(shù)形結(jié)合等基本數(shù)學(xué)思想，題目形式上也有創(chuàng)新.作為填空題的壓軸題，設(shè)置兩空題，第一空考查基礎(chǔ)知識，第二空考查學(xué)生的思維能力.在計(jì)算不復(fù)雜的前提下，綜合考查了學(xué)生的“四基”以及運(yùn)算推理和空間想象能力，如此全面體現(xiàn)，著實(shí)讓人感到奇妙.

例4 （第22題）在Rt△ABC 中，M是斜邊AB 的中點(diǎn)，將線段MA繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)至MD位置，點(diǎn)D在直線AB外，連接AD，BD.

（1）如圖6，求∠ADB的大小.

（2）已知點(diǎn)D和邊AC上的點(diǎn)E滿足ME⊥AD，DE∥AB.

（i）如圖7，連接CD，求證：BD=CD.

（ii）如圖8，連接BE，若AC=8，BC=6，求tan ∠ABE的值.

分析：本題難度中等，全面考查了三角形內(nèi)角和定理，菱形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例，相似三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，求正切，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.本題還可以用直徑所對圓周角、四點(diǎn)共圓簡化求解，解法滿足不同層次學(xué)生的思路與證法.

解答：（1）∵M(jìn)A=MD=MB，∴∠MAD=∠MDA，∠MBD=∠MDB.

在△ABD中，∠MAD+∠MDA+∠MBD+∠MDB=180°，∴∠ADB=∠ADM+∠BDM=180°÷2=90°.

（2）（i）如圖9，延長BD、AC，交于點(diǎn)F，則∠BCF=90°.

因?yàn)镸E⊥AD，∠ADB=90°， 所以EM∥BD.又DE∥ AB，四邊形BDEM是平行四邊形.所以DE=BM﹒因?yàn)镸是AB的中點(diǎn)，所以AM=BM，DE=AM .從而四邊形AMDE是平行四邊形.又ME⊥AD，所以四邊形AMDE是菱形，從而AE=AM .因?yàn)镋M∥BD，所以AEAF=AMAB，所以AB=AF.又∠ADB=90°，即AD⊥BF，所以BD=DF，即點(diǎn)D是Rt△BCF斜邊的中點(diǎn).故BD=CD.

本題難度不大，基本不需要大動干戈地作輔助線，不需利用多次全等或者相似，所以只要基礎(chǔ)扎實(shí)，不難得到滿分，平時(shí)訓(xùn)練應(yīng)側(cè)重于基本圖形的拆解，難度大的題目要及時(shí)解構(gòu)，拆解成小的幾何圖形解析.

3 教學(xué)建議

3.1 重視“雙基”教學(xué)，培養(yǎng)核心素養(yǎng)

基礎(chǔ)知識和基本技能是形成核心素養(yǎng)的主要載體，“雙基教學(xué)”亦然是培養(yǎng)核心素養(yǎng)教學(xué)的有機(jī)組成部分，在培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)有著不可替代的作用，需要我們堅(jiān)守.2023年中考試題以數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)交流為核心，多角度、多層次對抽象能力、運(yùn)算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數(shù)據(jù)觀念、模型觀念、應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識等初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)行全面考查，利于學(xué)生在高中學(xué)段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的持續(xù)發(fā)展，同時(shí)，引導(dǎo)初中教師關(guān)注學(xué)生在初中學(xué)段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)基礎(chǔ)的形成與發(fā)展.

《2022年版課標(biāo)》指出“會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”.試題的編制注重?cái)?shù)學(xué)知識與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，注重創(chuàng)新意識的考查，引導(dǎo)課堂教學(xué)關(guān)注思維過程與方法，考查學(xué)生在實(shí)際情境中分析問題、解決問題的能力，從中抽象出不同的數(shù)學(xué)模型，并利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，切實(shí)提高學(xué)生的應(yīng)用意識和能力.

3.2 注重通性通法，夯實(shí)教學(xué)基本功

試題注重運(yùn)用數(shù)學(xué)思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)學(xué)生閱讀理解能力、探究性學(xué)習(xí)能力，引導(dǎo)學(xué)生抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)、數(shù)學(xué)規(guī)律來解決問題.試卷重視數(shù)學(xué)基本思想方法的考查，如第22題各小題的設(shè)計(jì)梯度合理，層層遞進(jìn)，由易到難；第23題立足圖形運(yùn)動，考查學(xué)生的空間觀念，其中第（2）小題是二次函數(shù)與幾何圖形相結(jié)合的綜合問題，突出二次函數(shù)圖象的作用和數(shù)形結(jié)合的思想方法，化難為易.數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓和靈魂，是學(xué)生形成良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的紐帶，是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，教師要在日常教學(xué)中逐步滲透，并且讓學(xué)生多感悟，要能夠應(yīng)用到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和問題解決中，在學(xué)習(xí)中反思，在反思中改進(jìn)，在學(xué)習(xí)應(yīng)用的過程中不斷積累進(jìn)一步學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn).

3.3 加強(qiáng)變式練習(xí)，提升思維能力

在課堂教學(xué)中，要有計(jì)劃、有目的地設(shè)計(jì)一些—題多解、一題多變、一法多用等習(xí)題，培養(yǎng)學(xué)生全方位、多層次探索問題的能力，發(fā)展思維，為培養(yǎng)學(xué)生多向思維能力打下基礎(chǔ).一題多變是指對已講已做的例題、習(xí)題的題設(shè)條件或結(jié)論進(jìn)行適當(dāng)變化，從而構(gòu)造一系列新題目.然后再對新題進(jìn)行研究、分析，從而大幅度提高學(xué)生的解題水平.在教學(xué)時(shí)，采用一題多問、一題多變的練習(xí)形式來發(fā)散學(xué)生的思維，這樣可以培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和多向性.［3］通過一題多變，學(xué)生對這個(gè)問題就能融會貫通，更重要的是培養(yǎng)了一題多變的思維能力，使學(xué)生從各個(gè)角度辯證地看待問題，促使淺層思維向深度思維過渡.從近幾年安徽省中考試題來看，幾乎大部分試題都源于教材，或者是在原題的基礎(chǔ)上進(jìn)行演變、拓展或組合.因此，在對教材進(jìn)行知識梳理的過程中，除搭建知識框架外，也要注重對典型例題的變式訓(xùn)練，舉一反三，提高學(xué)生的應(yīng)變能力.

3.4 重視歸納總結(jié)，提高學(xué)習(xí)效率

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要大量做題去鞏固，但做題不能只追求數(shù)量，更要講究質(zhì)量，遇到經(jīng)典題或“好題”，綜合性高的題目時(shí)，每道題寫完解答過程后，需要進(jìn)行歸類分析和反思，知其然并知其所以然，這樣才能把題真正做透.建議學(xué)生整理錯(cuò)題、易錯(cuò)題型或重難點(diǎn)題型，形成自己的個(gè)性化題集，對于這個(gè)題集，如果平時(shí)堅(jiān)持整理，可以不斷地豐富和完善，再進(jìn)行定期復(fù)習(xí)，對于那些已徹底掌握的內(nèi)容，可以做個(gè)標(biāo)記，以后就不用再次復(fù)習(xí)，這樣的題集必將使學(xué)習(xí)效率大幅提高.

參考文獻(xiàn)

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