三版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書習(xí)題設(shè)計的比較

摘 要：本文以“圖形與幾何”中“圓的面積”為例，基于鮑建生教授提出的數(shù)學(xué)課程綜合難度多因素模型，從習(xí)題數(shù)量、知識含量、探究水平、運算水平和選材背景五個維度，對比分析人教版、北京版和北師大版三版教科書中的習(xí)題.結(jié)果發(fā)現(xiàn)，三版教科書存在顯著性差異.建議三版教科書在保留各自特色的前提下，關(guān)注不同學(xué)習(xí)水平的學(xué)生，設(shè)定科學(xué)合理的習(xí)題數(shù)量；加強知識之間的聯(lián)系，建立結(jié)構(gòu)化的知識體系；合理安排習(xí)題的結(jié)構(gòu)，注重習(xí)題的層次化分配；加強習(xí)題背景多樣化，貼近學(xué)生現(xiàn)實生活；應(yīng)用現(xiàn)代信息技術(shù)，有效利用各種課程資源.

關(guān)鍵詞：圓的面積；小學(xué)數(shù)學(xué)教科書；習(xí)題比較；習(xí)題設(shè)計

“圖形與幾何”是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的四個主要領(lǐng)域之一，這一部分的知識內(nèi)容非常豐富，應(yīng)用范圍廣泛，并且與其他三個領(lǐng)域密切相關(guān).學(xué)習(xí)本部分內(nèi)容旨在提升小學(xué)生的幾何直觀、空間觀念和推理能力等核心素養(yǎng).在小學(xué)階段，“圖形與幾何”領(lǐng)域包含“圖形的認(rèn)識與測量”和“圖形的位置與運動”兩大主題，“圓的面積”歸屬于“圖形的測量”這一部分.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）

指出，“圖形的測量”的重點是確定圖形的大小，感悟數(shù)學(xué)度量的方法，逐步形成量感和推理意識.［1］“圓”是小學(xué)階段學(xué)習(xí)的最后一個平面圖形，也是第一個曲線圖形，無論是學(xué)習(xí)內(nèi)容的本身，還是研究問題的方法，均有所改變，它是由“直”到“曲”，由“有限”到“無限”的一次飛躍.同時，此部分內(nèi)容也是學(xué)生了解我國古代數(shù)學(xué)家的杰出貢獻(xiàn)和傳播數(shù)學(xué)中的中華優(yōu)秀文化的載體.在學(xué)習(xí)“圓的面積”這一內(nèi)容時，學(xué)生在現(xiàn)實情境下通過操作驗證和推理論證，實現(xiàn)了數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”的過程，這是培養(yǎng)學(xué)生有效積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗和發(fā)展核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)的關(guān)鍵［2］，因此具有較強的研究意義與價值.

1 問題的提出

教科書在義務(wù)教育階段發(fā)揮著引領(lǐng)作用，習(xí)題是數(shù)學(xué)教科書中的重要組成部分，占據(jù)了教科書近三分之二的內(nèi)容，習(xí)題的質(zhì)量不僅關(guān)系到教科書質(zhì)量的優(yōu)劣，還關(guān)系到教師的教學(xué)效果以及學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，會對數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實踐產(chǎn)生不可忽視的影響.［3］

在傳統(tǒng)的中小學(xué)教學(xué)工作中，許多學(xué)校和教師把習(xí)題訓(xùn)練作為提升學(xué)生成績的主要方法，然而大量的習(xí)題練習(xí)并沒有產(chǎn)生很好的效果，一些學(xué)生甚至?xí)霈F(xiàn)厭學(xué)的現(xiàn)象.［4］為此，國家出臺了《關(guān)于進(jìn)一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見》，其中明確表明鼓勵布置分層、彈性和個性化作業(yè)，堅決抑制機械、無效作業(yè)，杜絕重復(fù)性、懲罰性作業(yè).教科書中的習(xí)題作為小學(xué)生作業(yè)的主要來源，對其進(jìn)行設(shè)計與優(yōu)化勢在必行.“減負(fù)”不單單是習(xí)題數(shù)量的“減負(fù)”，更是習(xí)題結(jié)構(gòu)的“減負(fù)”.調(diào)整習(xí)題的組織結(jié)構(gòu)和呈現(xiàn)方式，會使習(xí)題的結(jié)構(gòu)更加清晰簡潔，進(jìn)而減少無意義的重復(fù)性練習(xí)，有利于學(xué)生的學(xué)習(xí).

教育部教材局有關(guān)專家在第四屆國際數(shù)學(xué)教材研究與發(fā)展會議上表示，通過20多年的努力，我國形成了“一標(biāo)多本”的數(shù)學(xué)教材建設(shè)體系，今后教材建設(shè)要堅持核心素養(yǎng)導(dǎo)向，鼓勵教材多樣化、有特色.在教科書多樣化的今天，僅北京市就使用了三個不同版本的教科書（見表1），依據(jù)何種標(biāo)準(zhǔn)對教科書的習(xí)題進(jìn)行編寫、審定、選用和評價顯得尤為重要.［5］不同版本教科書具有其自身的優(yōu)缺點，通過比較數(shù)學(xué)習(xí)題的差異，揭示其異同之處并分析背后蘊含的規(guī)律和教學(xué)理念，能為編寫優(yōu)質(zhì)教科書習(xí)題、減輕學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)、有效實施課程改革等提供重要參考意義.綜上所述，對于小學(xué)數(shù)學(xué)教科書習(xí)題的研究是有實際意義的.

2 研究對象與方法

本文以《課程標(biāo)準(zhǔn)》中所提出的核心素養(yǎng)為基礎(chǔ)，選取當(dāng)前北京市小學(xué)正在使用的人教版《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)六年級上冊》［6］、北京版《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)六年級上冊》［7］和北師大版《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)六年級上冊》［8］進(jìn)行比較研究（見表2），以教科書中“圓的面積”習(xí)題為例，從習(xí)題的數(shù)量、習(xí)題的知識含量、習(xí)題的探究水平、習(xí)題的運算水平、習(xí)題的背景水平等角度進(jìn)行對比分析，為更好地實施指向核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教育教學(xué)提出思考與建議.

3 數(shù)學(xué)課程綜合難度模型

數(shù)學(xué)課程綜合難度的概念來源于Nohara在2001年向美國國家教育統(tǒng)計中心提交的工作報告，報告中對NAEP2000、TIMSS-R、PISA2000進(jìn)行了比較，首次提出了總體難度（Overall Difficulty）的概念［9］，其中涉及“擴展性問題”“實際背景”“運算”“多步推理”四個難度因素.2002年國內(nèi)學(xué)者鮑建生參照我國數(shù)學(xué)課程的具體情況，結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的特征，以數(shù)學(xué)習(xí)題的難度來衡量數(shù)學(xué)課程的難度，在Nohara的總體難度模型基礎(chǔ)上建立了數(shù)學(xué)課程綜合難度模型.

數(shù)學(xué)課程綜合難度模型保留了總體難度模型中的“背景”“運算”和“推理”三個難度因素，但對每個難度因素的水平劃分進(jìn)行了細(xì)化；取消了總體難度模型中的“題型”難度因素，用“知識含量”和“探究”難度因素替代；將“探究”“背景”“運算”“推理”和“知識含量”作為數(shù)學(xué)課程綜合難度模型的五個難度因素，并依據(jù)層次性和可操作性將每一個難度因素劃分為3～4個不同的水平（見表3）.［5］

4 研究結(jié)果與分析

4.1 習(xí)題數(shù)量的比較與分析

依據(jù)習(xí)題在教科書中的位置與作用，本文將其劃分為隨堂練習(xí)和課后習(xí)題兩部分.當(dāng)出現(xiàn)一道大題中包含若干小題時，本文按小題數(shù)量進(jìn)行統(tǒng)計.在統(tǒng)計北京版教科書時把書中已給出答案的例題統(tǒng)計在隨堂練習(xí)部分（見表4）

依據(jù)表4中的數(shù)據(jù)，繪制出圖1.

結(jié)果表明，相較于其他兩個版本，北京版習(xí)題數(shù)量最少，值得注意的是北京版的公式呈現(xiàn)方式不同于另外兩個版本，北師大版和人教版都采用習(xí)題引導(dǎo)學(xué)生自行思考寫出公式的形式，而北京版則使用人物對話的形式引出公式.不論是隨堂練習(xí)還是課后習(xí)題人教版數(shù)量都高于另外兩個版本，這說明人教版不僅重視課堂中學(xué)生對知識的練習(xí)與應(yīng)用，也重視學(xué)生在課后的學(xué)習(xí)中對知識的練習(xí)與鞏固.

4.2 知識含量的比較與分析

依據(jù)表5中的數(shù)據(jù)，分別計算出三版教科書中不同知識點數(shù)量水平習(xí)題的占比，繪制出圖2（單位：%）.

由表5和圖2可以看出，三版教科書中兩個知識點以上的習(xí)題較少，單個知識點的習(xí)題占比較大.相較而言，人教版更重視新舊知識的融合，對學(xué)生要求更高，北京版和北師大版更關(guān)注單個知識點的練習(xí)與鞏固.

4.3 探究水平的比較與分析

根據(jù)鮑建生教授所提出的數(shù)學(xué)習(xí)題綜合難度模型，從“探究水平”維度看，習(xí)題可以被劃分為三個水平，即識記型習(xí)題、理解型習(xí)題和探究型習(xí)題.［10］識記型練習(xí)題是指那些不需要理解，只需通過記憶即可回答的問題.理解型練習(xí)題，則需要在理解已學(xué)知識的基礎(chǔ)上，通過組織知識來解決問題.探究型練習(xí)題屬于分析水平和評價水平的問題.相關(guān)統(tǒng)計見表6和圖3.

依據(jù)表6中的數(shù)據(jù)，分別計算出三版教科書中三種不同探究水平習(xí)題的占比，繪制出圖3（單位：%）.

依據(jù)圖3可以得出，三版教科書中習(xí)題探究水平差異較大.人教版教科書中識記型習(xí)題占比較低，理解型習(xí)題占比較高，說明人教版教科書更重視公式的逆運用.北京版教科書中不同探究水平習(xí)題的數(shù)量隨探究水平的升高而增加，說明北京版教科書更重視培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和創(chuàng)造性思維.北師大版教科書中各探究水平習(xí)題的數(shù)量分配較為平均，且北師大版教科書的習(xí)題數(shù)量較人教版少，較北京版多，題目數(shù)量適中，照顧到了各層次學(xué)習(xí)水平的學(xué)生.

4.4 運算水平的比較與分析

在運算水平方面，三版教科書中的習(xí)題被劃分為“無運算”“簡單運算”和“復(fù)雜運算”，其中不需要使用圓的面積公式進(jìn)行解答的習(xí)題記為“無運算”水平；直接使用圓的面積公式即可解答的習(xí)題記為“簡單運算”水平；除了使用圓的面積公式，還需要進(jìn)行其他運算的習(xí)題記為“復(fù)雜運算”水平.統(tǒng)計結(jié)果見表7.

依據(jù)表7中的數(shù)據(jù)，分別計算出三版教科書中三種不同運算水平習(xí)題的占比，繪制出圖4（單位：%）.

由表7和圖4中的數(shù)據(jù)可以得出，三版教科書中復(fù)雜運算的習(xí)題占比最多，人教版教科書中復(fù)雜運算型習(xí)題高于北京版和北師大版教科書，說明人教版教科書更重視知識的綜合運用和培養(yǎng)學(xué)生復(fù)雜運算的能力.北京版教科書在不同運算水平習(xí)題數(shù)量的分布上與其在不同探究水平習(xí)題數(shù)量的分布上呈現(xiàn)相同趨勢，均為水平越高數(shù)量越多.北師大版教科書的習(xí)題中無運算占比超過簡單運算，說明其更注重對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練.

4.5 背景水平的比較與分析

在背景水平方面，將“個人生活”與“公共常識”按小學(xué)生在所處年齡段的日常生活中是否能普遍接觸到進(jìn)行區(qū)分，即若小學(xué)生在日常生活中普遍可以接觸則記為“個人生活”；若不會普遍接觸但屬于無門檻的生活常識，則記為“公共常識”；把以科學(xué)家的研究成果為背景材料設(shè)計而成的習(xí)題記為“科學(xué)情境”類習(xí)題.［11］相關(guān)統(tǒng)計見表8.

依據(jù)表8中的數(shù)據(jù)，分別計算出三版教科書中四種不同背景水平習(xí)題的占比，繪制出圖5（單位：%）.

依據(jù)表8與圖5可以得出，北師大版教科書的習(xí)題中“無背景”習(xí)題占據(jù)了全部習(xí)題的50%，說明其更注重學(xué)生對基礎(chǔ)知識的運用與掌握.北京版教科書中“無背景”“個人生活”和“公共常識”三類習(xí)題的數(shù)量分配較為平均.北師大版與北京版教科書中均未出現(xiàn)“科學(xué)情境”類習(xí)題，相較于北京版和北師大版教科書，人教版教科書中的習(xí)題背景更加全面，涉獵領(lǐng)域更加廣泛.以“個人生活”為背景的習(xí)題在三版教科書習(xí)題中的占比差異不大，這符合《課程標(biāo)準(zhǔn)》所倡導(dǎo)的“能從教學(xué)與生活情境中，在教師的指導(dǎo)下，初步學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察，嘗試、探索發(fā)現(xiàn)并提出問題，將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于解決現(xiàn)實生活中的問題”［1］，這不僅能讓學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)的來源和服務(wù)于生活的意義，而且能幫助他們體驗數(shù)學(xué)在實際生活中的應(yīng)用價值，進(jìn)而體會到數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系.

5 思考與建議

5.1 關(guān)注不同水平的學(xué)生，設(shè)定科學(xué)合理的習(xí)題數(shù)量

在以往中外小學(xué)教科書習(xí)題的比較研究中，我國教科書中習(xí)題數(shù)量明顯高于其他國家［12］［13］，但通過對國內(nèi)數(shù)學(xué)教科書中習(xí)題數(shù)量的比較后發(fā)現(xiàn)，即使實施相同的課程標(biāo)準(zhǔn)，各版本教科書中習(xí)題的數(shù)量也有明顯區(qū)別.所以優(yōu)化習(xí)題數(shù)量的關(guān)鍵是“減量增質(zhì)”，以滿足不同學(xué)習(xí)水平學(xué)生的需求.

教科書中的習(xí)題數(shù)量不可盲目地刪減，這是因為數(shù)學(xué)的抽象特性決定了數(shù)學(xué)知識的形成需要時間和耐心，因此，在小學(xué)階段，學(xué)生需要通過一定量的練習(xí)題來鞏固和掌握數(shù)學(xué)知識，以幫助他們更好地理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識，從而學(xué)會靈活運用多個知識點來解決數(shù)學(xué)綜合問題.教科書編寫者應(yīng)對不同層次的練習(xí)題采取合適的比例，從作答方式、呈現(xiàn)形式、考查內(nèi)容等多方面豐富習(xí)題的類型，滿足學(xué)生鞏固、復(fù)習(xí)、應(yīng)用、拓展的學(xué)習(xí)需要；滿足學(xué)生的學(xué)習(xí)需要；滿足學(xué)生以不同方式完成作業(yè)方式的需要.［1］人教版教科書在此方面做得更好，給一線教師分層次布置練習(xí)提供了足夠數(shù)量和層次水平的習(xí)題.

5.2 加強知識之間的聯(lián)系，建立結(jié)構(gòu)化的知識體系

數(shù)學(xué)習(xí)題應(yīng)體現(xiàn)出不同數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)，這樣有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識之間的邏輯關(guān)系，從而更好地建立自己的知識體系.《課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確提出要注重教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識體系，幫助學(xué)生學(xué)會用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣，發(fā)展核心素養(yǎng).［1］教科書編寫者在尊重學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平的基礎(chǔ)上，應(yīng)適度增加一些“兩個以上的知識點”習(xí)題的設(shè)置，以突顯數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)性，實現(xiàn)學(xué)段、學(xué)年、單元、課與課之間的緊密聯(lián)系，從而激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)整體思維意義的深刻領(lǐng)悟，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念.人教版教科書就達(dá)到了一個很好的平衡，各運算水平的習(xí)題數(shù)量分配優(yōu)于北京版與北師大版教科書.

5.3 合理安排習(xí)題的結(jié)構(gòu)，注重習(xí)題的層次化分配

習(xí)題是學(xué)生鞏固知識和填補知識空缺的重要工具，有助于提高學(xué)習(xí)效果和知識儲備.學(xué)習(xí)“圖形與幾何”需要具有很強的邏輯思維和想象力，如果教師只讓學(xué)生進(jìn)行一些機械的運算，那么很難提高他們對空間的理解與思考.不同學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平不相同，因此習(xí)題編寫者要關(guān)注不同學(xué)習(xí)水平的學(xué)生，既要有“識記”這樣低水平層次的習(xí)題，也要有“探究”這樣高水平層次的習(xí)題.在“圖形與幾何”一章中，《課程標(biāo)準(zhǔn)》中強調(diào)了要培養(yǎng)學(xué)生的空間感知、幾何直觀、推理能力以及創(chuàng)新思維等核心素養(yǎng).北京版教科書在此方面優(yōu)于人教版與北師大版教科書，實現(xiàn)了習(xí)題由易到難的過渡，其“識記”型習(xí)題占比適當(dāng).適中比例的“探究”型習(xí)題，不僅可以有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平，培養(yǎng)他們優(yōu)秀的思維品質(zhì)，同時可以激發(fā)他們的好奇心和探索欲.

5.4 加強習(xí)題背景多樣化，貼近學(xué)生現(xiàn)實生活

習(xí)題背景選取要貼合學(xué)生的現(xiàn)實生活，并注重創(chuàng)新.豐富的習(xí)題背景能夠打開學(xué)生數(shù)學(xué)思考的空間，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的形成.對于小學(xué)階段的學(xué)生，應(yīng)適當(dāng)減少無背景類習(xí)題，習(xí)題應(yīng)盡量結(jié)合現(xiàn)實生活.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的初衷在于解決人們在日常生活中所面臨的各種問題.將數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活緊密融合，有助于學(xué)生主動探索數(shù)學(xué)的奧秘，逐漸揭開其神秘的面紗，并將所學(xué)知識應(yīng)用于實踐.另外，“科學(xué)情境”類習(xí)題的占比應(yīng)適當(dāng)提高，這是因為數(shù)學(xué)不是一門獨立于其他知識體系的學(xué)科，而是與很多學(xué)科緊密相連的，數(shù)學(xué)教育應(yīng)讓學(xué)生意識到數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系，進(jìn)而使學(xué)生形成合理的數(shù)學(xué)觀，提高學(xué)科融合性.加強習(xí)題背景多樣化，注重數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活和其他學(xué)科之間的聯(lián)系，是未來教科書改革關(guān)注點之一.［14］通過提供多元化的習(xí)題背景，學(xué)生可以拓展思維空間，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的形成，人教版教科書在此方面做得更好.

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*基金項目：北京聯(lián)合大學(xué)教改項目“學(xué)為中心小班互動式教學(xué)模式改革”（項目編號：JJ2023Q002）；北京聯(lián)合大學(xué)青年項目“小學(xué)數(shù)學(xué)課標(biāo)逆向教學(xué)評價標(biāo)準(zhǔn)的建構(gòu)與應(yīng)用研究”（項目編號：SK10202303）；中國高等教育學(xué)會2023年度高等教育科學(xué)研究規(guī)劃課題一般項目：課程思政與教育數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下《數(shù)學(xué)課標(biāo)教材教法》課堂教學(xué)實踐研究（項目編號：23SX0414）；北京市高等教育學(xué)會“高等師范院校數(shù)學(xué)解題研究類課程建設(shè)研究”（項目編號：MS2023046）.