一種高效求解壓力容器問題的雙層循環(huán)蟻群算法

摘要：壓力容器的設(shè)計(jì)具有冗雜性，設(shè)計(jì)人員需要嚴(yán)格按照相關(guān)法規(guī)及設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)確保壓力容器的穩(wěn)定性和安全性。本文提出了一種雙層循環(huán)蟻群算法，將壓力容器的設(shè)計(jì)過程簡化為求解一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問題，在滿足GB/T 150—2011《壓力容器》和GB/T 19905-2017《液化氣體汽車罐車》設(shè)計(jì)要求的前提下，高效地搜索全局最優(yōu)解。

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)可靠度優(yōu)化；壓力容器；雙層循環(huán)蟻群算法

中圖分類號：U469.7 收稿日期：2023-07-22

DOI：10.19999/j.cnki.1004-0226.2023.10.011

1 前言

結(jié)構(gòu)可靠度優(yōu)化算法是對目標(biāo)函數(shù)和約束條件從概率意義上進(jìn)行度量，用概率約束代替?zhèn)鹘y(tǒng)的確定性約束[1-3]。一般來說，優(yōu)化模型定義如下：

其中，[C（d，μ）x]和[d]為目標(biāo)函數(shù)和設(shè)計(jì)變量，[μx]為隨機(jī)變量x的均值。[Gi]為第i個(gè)功能函數(shù)，[Pf]為功能函數(shù)的失效概率，[dL]和[du]分別為[d]的上下邊界。

在結(jié)構(gòu)可靠度優(yōu)化算法中，概率約束的處理直接影響著優(yōu)化方法的計(jì)算精度、計(jì)算效率和收斂性[4-6]。雙層循環(huán)算法[7-9]將可靠度的計(jì)算流程分為雙層優(yōu)化循環(huán)，內(nèi)循環(huán)求解可靠度指標(biāo)，外循環(huán)收斂目標(biāo)值。Nikolaidis和Burtissc[10]提出了可靠度指標(biāo)法，使用可靠度指標(biāo)約束代替概率約束，將求解失效概率轉(zhuǎn)化為求解最可能失效點(diǎn)，降低了可靠度優(yōu)化的求解難度。解耦法[11-13]將優(yōu)化問題中的可靠度分析循環(huán)與確定性循環(huán)分離，將其轉(zhuǎn)化為一系列確定性子優(yōu)化問題，循環(huán)求解，直至找到最優(yōu)解。單層循環(huán)方法[14-16]采用Karush-Kuhn-Tucker條件代替原可靠度分析過程，由KKT條件推導(dǎo)出近似可靠度信息有效地減少了可靠度優(yōu)化的計(jì)算成本。

盡管這些經(jīng)典的優(yōu)化算法得到了廣泛的應(yīng)用，但它們并不適合解決一些復(fù)雜的優(yōu)化問題[17-19]。本文參考蟻群的覓食行為，對經(jīng)典算法進(jìn)行改進(jìn)，提出了一種具有全域搜索能力的概率優(yōu)化算法，即雙層循環(huán)蟻群算法（Double-loop ant-colony algorithm，DAA）。DAA算法使用設(shè)計(jì)域中的樣本點(diǎn)來模擬蟻群覓食時(shí)的移動行為。其中，內(nèi)層循環(huán)使用改進(jìn)的均值方法求解功能度量約束更新每只螞蟻的位置，外層循環(huán)基于兩個(gè)目標(biāo)值的差值作為停止判據(jù)，保證目標(biāo)值的準(zhǔn)確性。所提DAA算法可以有效地避免局部最優(yōu)解的干擾，在全域有效地搜尋最優(yōu)值。

2 DAA算法

本文所提出的DAA算法基于以下三個(gè)假設(shè)：

a.螞蟻沒有性別區(qū)分，螞蟻只會被同伴所釋放的信息素所吸引。

b.螞蟻發(fā)現(xiàn)食物時(shí)，會釋放信息素，螞蟻距離食物越近，所釋放的信息素越強(qiáng)。

c.螞蟻如果沒有接收到同伴所釋放的信息素，將會在域內(nèi)隨機(jī)移動。

其中，螞蟻由域中的樣本點(diǎn)xi=（x1，x2，…，xu）T，i=1，…，n表示，螞蟻所釋放信息素的強(qiáng)度由C（xi）計(jì)算，信息素對同伴的吸引力[θ]計(jì)算如下：

式中，[θ0]為r=0時(shí)的最大吸引力，螞蟻xi與螞蟻xj之間的距離為笛卡爾距離：

在第k次迭代時(shí)，螞蟻[xi]的位置更新可以表示為：

式中，[α]是隨機(jī)參數(shù)，[εki]是高斯分布中抽取的隨機(jī)向量。

3 DAA算法優(yōu)化模型

在DAA算法中，將螞蟻的位置[xk+1i]看作為最小性能目標(biāo)點(diǎn)，可以得到該算法的可靠度優(yōu)化模型：

上述所提的DAA算法通過求解逆可靠度問題把可靠度指標(biāo)約束轉(zhuǎn)化為功能度量約束，將螞蟻在初始域中的位置[xi]轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)域中的位置[μi]，可以得到以下優(yōu)化列式：

式中，[n（uki）]和[?uiG（d，uki）]分別表示功能度量函數(shù)在第k次迭代時(shí)的方向向量和靈敏度向量。

該算法的可靠度優(yōu)化模型同樣使用罰函數(shù)法將非線性約束轉(zhuǎn)化為一個(gè)更容易求解的無約束優(yōu)化問題。對于不等式約束[Gi（x）]和非線性等式約束[Hj（x）]，響應(yīng)函數(shù)[G（x）]可以定義為：

式中，[c（x）]為優(yōu)化問題的目標(biāo)值；[ri]和[tj]是懲罰項(xiàng)的系數(shù)，它們的值取決于具體的優(yōu)化問題。

對于DAA來說，每只螞蟻的移動速度具有一定的隨機(jī)性。為保證目標(biāo)值的準(zhǔn)確性，每隔20次選取螢火蟲種群的最優(yōu)位置作為當(dāng)前最優(yōu)目標(biāo)值，并且根據(jù)連續(xù)兩次當(dāng)前最優(yōu)目標(biāo)值的差值作為結(jié)束循環(huán)的判定判據(jù)：

一般來說，DAA算法使用50只螞蟻就可以解決大多數(shù)優(yōu)化問題。上述所提出方法的步驟，可以總結(jié)為圖1所示的偽代碼。

RBDO approach using DAA

Step 1 Set the parameters of DAA

Input the boundaries of the design variables

Determine the convergence precision [ε]

Iteration counters k=0 and l=0

Generate the initial locations of n ants

Step 2 While （k<20）

Evaluate the solution for all n ants using AMV

Determine the light intensity C for each ant by objective function C（x）

For i=1∶n all n ants

For j=1∶i all n ants

If （Cj>Ci）

Move ant xi towards xj

End if

Attractiveness varies with distance r via

[exp-γr2]

End for j

End for i

Rank the ants and find the current best

End while

Step 3 Output the current best objective value [Cl]

l=l+1

If l=1

Return to Step 2

Else

If [Cl-Cl-1/Cl≤ε]

Output the best objective value [C?=Cl]

Else

Return to Step 2

End

4 DAA算法在壓力容器設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

先使用一個(gè)簡單的數(shù)值算例對所提DAA算法進(jìn)行說明。這個(gè)例子有兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量和三個(gè)概率約束。隨機(jī)變量服從[σx=σy=10]的正態(tài)分布，目標(biāo)可靠度指標(biāo)[βt=4]。

根據(jù)公式（9），螞蟻的覓食范圍為[x∈（-400，300）]，[y∈（-400，300）]，蟻群數(shù)量為50只。每只螞蟻移動200次，所尋得的食物位置為（237.908，11.820）T。

現(xiàn)將壓力容器的設(shè)計(jì)過程簡化為求解一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問題。假設(shè)壓力容器采用Q420R板材，抗拉強(qiáng)度Rm=655 MPa，屈服強(qiáng)度Rel=420 MPa，可以得到板材的許用應(yīng)力為：

根據(jù)客戶的使用需求，該罐體的設(shè)計(jì)壓力為0.7 MPa，焊接接頭系數(shù)[?=1]，板材負(fù)偏差c1=0.3 mm，腐蝕余量c2=1 mm。根據(jù)GB 19905-2017耐壓試驗(yàn)要求，罐體的液壓試驗(yàn)需滿足公式（11）：

此外，筒體的計(jì)算應(yīng)力[σT]還需滿足公式（12）：

其中，圓筒的內(nèi)直徑[Di=2 400 mm]，液壓試驗(yàn)壓力[pT]可以由公式（13）計(jì)算：

根據(jù)GB/T 150.3-2011，設(shè)計(jì)溫度下圓筒的最大允許工作壓力[pw]需滿足公式（14）：

由上面公式可以得到壓力容器的優(yōu)化模型如下：

使用DAA算法對公式（15）進(jìn)行求解，蟻群數(shù)量為50只，得到筒體的有效厚度為4.70 mm，筒體的計(jì)算厚度4.21 mm，液壓試驗(yàn)壓力下圓筒應(yīng)力為232.80 MPa。將所求結(jié)果代入公式（11）、公式（12）和（14）中進(jìn)行校核，所求結(jié)果滿足相關(guān)法規(guī)設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)及客戶的使用需求。

5 結(jié)語

本文通過對雙層循環(huán)蟻群算法的研究，及在相關(guān)壓力容器計(jì)算中的舉例應(yīng)用，論證了算法與標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定公式的一致性，探索科學(xué)算法在罐車復(fù)雜計(jì)算中應(yīng)用的可能性，為技術(shù)研發(fā)與創(chuàng)新提供了一種全新的研究方案。

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作者簡介：

王永彬，1980年生，男，工程師，研究方向?yàn)楣奘杰囕v結(jié)構(gòu)優(yōu)化研發(fā)。