如何利用分割法、拼補法求組合圖形的面積

□董周濤

計算組合圖形的面積是在學(xué)生掌握了平行四邊形、三角形、梯形等基本圖形的面積計算公式后的綜合應(yīng)用。如何利用分割法、拼補法求組合圖形的面積，幫助學(xué)生感悟轉(zhuǎn)化思想、發(fā)展空間觀念呢？可以設(shè)計如下教學(xué)過程。

一、操作感知，分類提煉

1.自主探究

教師出示題目：求圖1中草坪的面積，畫一畫，算一算，把能想到的方法都記錄下來。

圖1

2.交流匯報

讓學(xué)生展示不同的思考方法（如圖2），并交流：①添加的輔助線的位置在哪里？②轉(zhuǎn)化成什么圖形？③轉(zhuǎn)化后的圖形根據(jù)哪些信息求面積？

圖2

3.比較方法

通過交流，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：不管用哪種方法，計算結(jié)果都是82.5平方米。（教學(xué)過程略）

教師進一步引導(dǎo)學(xué)生思考：不同方法之間有什么聯(lián)系和區(qū)別？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)：就像方法⑤可以優(yōu)化為方法④，所有方法都是將未知的不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為已知的基本圖形后求面積的。

4.方法提煉

根據(jù)不同的方法進行分類：一類是先將原圖分割成基本圖形，再相加求得組合圖形的面積，如方法①、方法②、方法④、方法⑤，稱為“分割法”；另一類是將原圖先拼補成一個基本圖形，再相減得到組合圖形的面積，如方法③、方法⑥，稱為“拼補法”。利用分割法、拼補法能巧妙求得組合圖形的面積。

二、審辨說理，反思修正

1.觀察分析

圖3是佳佳解決這個問題的過程，你同意佳佳用的計算方法嗎？

圖3

2.審辨說理

學(xué)生判斷出佳佳用的計算方法有誤后，引導(dǎo)全班討論、審辨，發(fā)現(xiàn)錯誤的原因為A、C、D三點不在同一條線段上，圖形ACDE不是三角形而是四邊形。

3.反思修正

為了得到正確的結(jié)果，有學(xué)生提出繼續(xù)分割圖形，連接CE，將整個圖形分割成三個三角形，再進行計算（如圖4）。

圖4

三、變式應(yīng)用，能力提升

1.獨立思考

教師出示題目：計算圖5中各圖陰影部分的面積。

圖5

2.匯報交流

（1）關(guān)注整體：第①題引導(dǎo)學(xué)生整體觀察，發(fā)現(xiàn)ABCD是一個梯形，直接用公式計算面積，突出對圖形整體的把握。

（2）關(guān)注細(xì)節(jié)：第②題引導(dǎo)學(xué)生抓住關(guān)鍵細(xì)節(jié)45°和直角，嘗試用拼補法將組合圖形轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形CDH和等腰直角三角形ABH，并計算面積差（如圖6）。

圖6

（3）關(guān)注聯(lián)系：第③題引導(dǎo)學(xué)生巧妙利用圖形邊和角的特征，先分割再拼補，將直角三角形BCE旋轉(zhuǎn)至直角三角形BAF的位置，從而將組合圖形轉(zhuǎn)化為一個正方形（如圖7）。

圖7

以上教學(xué)過程，學(xué)生在操作和分類中提煉方法，在審辨和反思中深入理解計算方法，在變式和拓展中提升能力，有效構(gòu)建了解決組合圖形面積問題的基本方法，發(fā)展了空間觀念。