平面圖形周長(zhǎng)與面積單元的數(shù)學(xué)本質(zhì)、進(jìn)階與教學(xué)建議*

□劉加霞 魯靜華

圖形的周長(zhǎng)與面積是對(duì)同一個(gè)圖形的兩種屬性的量化分析，即圖形邊界的長(zhǎng)度與內(nèi)部區(qū)域的大小。圖形的一般性質(zhì)特征、周長(zhǎng)和面積這三方面內(nèi)容密切相關(guān)，根據(jù)圖形的特有性質(zhì)可以推導(dǎo)出計(jì)算圖形周長(zhǎng)與面積的公式，或者說(shuō)圖形的周長(zhǎng)與面積也是圖形的性質(zhì)之一。因此，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡(jiǎn)稱“2022 年版課標(biāo)”）將這些內(nèi)容整合為“圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量”主題。

由于周長(zhǎng)與面積是從不同角度研究同一個(gè)圖形，學(xué)生易于混淆這兩個(gè)概念。已有研究表明，學(xué)生所學(xué)內(nèi)容越多，越容易混淆這兩個(gè)概念［1］。如何破解學(xué)生易混淆圖形的周長(zhǎng)與面積這一“魔咒”？如何避免學(xué)生只會(huì)“套公式計(jì)算”而缺乏空間觀念、推理意識(shí)等素養(yǎng)？現(xiàn)行多個(gè)版本教材的編排都是先學(xué)周長(zhǎng)概念再學(xué)面積概念，且學(xué)習(xí)周長(zhǎng)和面積概念時(shí)都涉及不規(guī)則的曲邊圖形，這樣編排是否合適呢？圖形的周長(zhǎng)與面積這一大單元的內(nèi)容邏輯是什么？設(shè)計(jì)什么樣的進(jìn)階更符合學(xué)生的認(rèn)知路徑？單元學(xué)習(xí)內(nèi)容的“升階點(diǎn)”是什么？這些問(wèn)題都值得深入研究。教師要在厘清這些問(wèn)題的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)有效的學(xué)習(xí)任務(wù)，開(kāi)展能引發(fā)學(xué)生深入思考的學(xué)習(xí)活動(dòng)，助力學(xué)生空間觀念、推理意識(shí)的形成。

一、周長(zhǎng)、面積的數(shù)學(xué)本質(zhì)：對(duì)一維二維空間的度量

2022 年版課標(biāo)將認(rèn)識(shí)圖形與測(cè)量整合為一個(gè)主題：圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量。其中，圖形的大小刻畫(huà)是圖形的一種特征。圖形既有幾何特征也有度量特征。圖形的幾何特征是圖形的整體特征，如圖形是否對(duì)稱、圖形有幾條對(duì)稱軸、圖形是否穩(wěn)定、圖形邊與邊之間的位置關(guān)系等。其中“對(duì)稱性”與“平行性”是圖形的兩個(gè)本質(zhì)特征。圖形的度量特征就要涉及“大小”問(wèn)題，從量化角度認(rèn)識(shí)圖形特征，就是要研究圖形的周長(zhǎng)、面積與體積等。

度量（本文對(duì)測(cè)量與度量?jī)蓚€(gè)詞語(yǔ)不作區(qū)分）是人類特有的認(rèn)識(shí)世界的實(shí)踐活動(dòng)，它創(chuàng)造并利用度量工具（度量單位）對(duì)事物的大小或順序進(jìn)行度量。測(cè)量活動(dòng)一般都經(jīng)歷“定性地描述”到“精準(zhǔn)地刻畫(huà)”的過(guò)程。前者指通過(guò)觀察、操作等直觀活動(dòng)感受量的大小，并用較為籠統(tǒng)的語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)；后者則指確定測(cè)量單位，通過(guò)使用測(cè)量工具或計(jì)算、推理等方式，用具體數(shù)值刻畫(huà)量的大小。度量的基本意義就是要找到一個(gè)度量單位，用度量單位去測(cè)量，獲得可測(cè)物體包含度量單位的個(gè)數(shù)。由于“數(shù)數(shù)”太麻煩，所以人類發(fā)明了測(cè)量長(zhǎng)度的工具——各種尺子，發(fā)現(xiàn)了計(jì)算各種直邊圖形面積的公式。理解周長(zhǎng)與面積這兩個(gè)概念不能脫離度量的意義，因?yàn)檫@是培養(yǎng)學(xué)生量感、空間觀念與推理意識(shí)的重要載體。

因?yàn)椤皟牲c(diǎn)之間線段最短”，所以兩點(diǎn)之間的距離等價(jià)于兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度。在日常生活或數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，用長(zhǎng)度刻畫(huà)一維空間即“線”的長(zhǎng)短。度量對(duì)象是線段，當(dāng)是曲線時(shí)要化“曲”為“直”，或用“直”替代“曲”。在研究圖形“邊”的長(zhǎng)短時(shí)，可以研究所有邊線的長(zhǎng)度即周長(zhǎng)，也可以研究構(gòu)成圖形的各“邊”長(zhǎng)度之間的關(guān)系及邊與邊所形成的角的大小。例如，三角形三邊的關(guān)系既有“任意兩邊之和大于第三邊”，也有直角三角形中的“勾股定理”及任意三角形皆適用的“正弦定理”“余弦定理”。這些內(nèi)容不只能度量邊線的長(zhǎng)短，還揭示了不同邊線之間復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系。用面積刻畫(huà)二維空間即“面”的大小，度量對(duì)象是面，面既可以是“平”的，也可以是“曲”的。體積用于描述三維空間即“體”的大小，轉(zhuǎn)化時(shí)可以借助“易變形”的液體。三者的度量本質(zhì)與結(jié)構(gòu)完全相同，都蘊(yùn)含“化曲為直”或“以直代曲”的轉(zhuǎn)化思想，都是“度量單位的累加”等。

學(xué)生理解圖形的周長(zhǎng)和面積，需要明確度量對(duì)象是什么、具有哪些特征。周長(zhǎng)是對(duì)一維空間圖形線段的度量值，面積是對(duì)二維空間圖形區(qū)域的度量值，二者都是具體的數(shù)值，都用某個(gè)具體的數(shù)來(lái)表示大小，只是使用的測(cè)量單位不同。學(xué)習(xí)周長(zhǎng)的難點(diǎn)是要明確度量對(duì)象，其度量對(duì)象是“線”——線段或曲線，周長(zhǎng)就是圖形邊線的長(zhǎng)度之和。周長(zhǎng)的度量對(duì)象（邊線）并不直觀，這要求學(xué)生將“邊界”或“一周”抽象為線段或曲線。求解圖形的周長(zhǎng)時(shí)，既要有測(cè)量各邊線段的長(zhǎng)度再相加的活動(dòng)，還要有通過(guò)“化曲為直”或“以直代曲”，將曲邊圖形的“邊線”轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)度之和的活動(dòng)。

教學(xué)時(shí)要淡化通過(guò)操作活動(dòng)讓學(xué)生理解“封閉”這一方式，因?yàn)閷W(xué)生肉眼所見(jiàn)的都是封閉圖形，在理解上沒(méi)有難度。越是強(qiáng)調(diào)封閉，越容易讓學(xué)生感知“圍起來(lái)的區(qū)域”的大小，但這是面積的概念?？梢韵裰袊?guó)臺(tái)灣教材那樣，先比較圖形的“內(nèi)部、外部與周界”這三部分概念，再定義“周界的長(zhǎng)度”就是圖形的周長(zhǎng)。這樣的設(shè)計(jì)從更“廣闊的視角”觀察平面空間，有助于學(xué)生理解周長(zhǎng)的含義。

學(xué)生理解圖形的周長(zhǎng)和面積，還要明確度量的過(guò)程。度量過(guò)程是根據(jù)度量對(duì)象，選擇合適的度量單位去測(cè)量，或用公式求得量值，從而用“數(shù)+單位”刻畫(huà)度量對(duì)象的大小。在小學(xué)階段，獲得度量值大小的方法有三種：一是度量法，數(shù)度量單位的個(gè)數(shù)；二是用公式計(jì)算，這種方法具有快捷的特點(diǎn)；三是轉(zhuǎn)化法，將不規(guī)則物體轉(zhuǎn)化為規(guī)則物體來(lái)測(cè)量，要求轉(zhuǎn)化前后滿足“等量代換”原則。此外，還要關(guān)注度量的本質(zhì)屬性，包括：運(yùn)動(dòng)不變性、疊合性、有限可加性以及面積的正則性等［2］。這些度量的本質(zhì)屬性要在教學(xué)中進(jìn)行滲透，有助于度量活動(dòng)的開(kāi)展及度量值的獲得。

二、平面圖形周長(zhǎng)與面積大單元的學(xué)習(xí)進(jìn)階

現(xiàn)行各版本教材的編排順序大都基本符合學(xué)習(xí)進(jìn)階理論：三年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)周長(zhǎng)概念及長(zhǎng)方形、正方形的周長(zhǎng)；三年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)面積概念、面積單位及長(zhǎng)方形、正方形的面積；五年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)平行四邊形、三角形、梯形及組合圖形的面積，估計(jì)曲邊圖形的面積；六年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)圓的周長(zhǎng)與面積。基于這樣的編排順序，還需要進(jìn)一步思考兩個(gè)方面問(wèn)題：一是先學(xué)習(xí)周長(zhǎng)概念還是面積概念？初次學(xué)習(xí)這兩個(gè)概念時(shí)是否要估計(jì)不規(guī)則圖形的周長(zhǎng)或面積？二是推導(dǎo)平行四邊形、三角形、梯形以及圓的面積公式時(shí)，尤其平行四邊形面積公式時(shí)，是轉(zhuǎn)化為“數(shù)面積單位的個(gè)數(shù)”，還是轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過(guò)的圖形然后利用公式求得新圖形的面積？哪種方式更符合學(xué)生的認(rèn)知邏輯？也就是說(shuō)，目前有的教材的內(nèi)容進(jìn)階還有待思考和調(diào)整。

劃定周長(zhǎng)與面積學(xué)習(xí)進(jìn)階的維度主要包括以下三方面：度量對(duì)象、度量過(guò)程、問(wèn)題情境的抽象度和復(fù)雜度。在研究周長(zhǎng)或面積問(wèn)題時(shí)，度量對(duì)象會(huì)越來(lái)越抽象和復(fù)雜，整體上可以劃分為以下四個(gè)水平：（1）簡(jiǎn)單直邊圖形，如常見(jiàn)的長(zhǎng)方形、三角形等，或?qū)F(xiàn)實(shí)物體的“面”抽象為直邊圖形；（2）直邊的組合圖形，或?qū)F(xiàn)實(shí)物體的“面”抽象為組合圖形，只研究“外邊線”的長(zhǎng)短；（3）曲邊圖形；（4）立體物的“橫截面”，如學(xué)生的頭圍、腰圍等。度量過(guò)程可分為：（1）用直尺直接測(cè)量；（2）在方格紙上數(shù)長(zhǎng)度單位的個(gè)數(shù)；（3）通過(guò)“化曲為直”來(lái)測(cè)量；（4）根據(jù)問(wèn)題情境選擇合適的測(cè)量方法與測(cè)量工具。同樣，問(wèn)題情境也可以劃分為：（1）只涉及單一的測(cè)量對(duì)象或通過(guò)公式求得周長(zhǎng)；（2）涉及長(zhǎng)度、周長(zhǎng)或面積中的兩個(gè)或三個(gè)量，要通過(guò)實(shí)際測(cè)量或用公式求得相應(yīng)量值；（3）已知某個(gè)特殊圖形的周長(zhǎng)（或面積），再求邊長(zhǎng)或面積（或周長(zhǎng)）；（4）在圖形的動(dòng)態(tài)變化中研究長(zhǎng)度、周長(zhǎng)或面積；（5）已知一條線段的長(zhǎng)度，圍出不同形狀的圖形并探索圖形面積的變化規(guī)律，或已知某個(gè)圖形，通過(guò)“切割”產(chǎn)生新圖形，再求新圖形的周長(zhǎng)或面積等。

根據(jù)上述劃分學(xué)習(xí)進(jìn)階的維度，按照2022 年版課標(biāo)的要求，綜合分析中國(guó)大陸各版本教材、中國(guó)臺(tái)灣翰林版教材及新加坡教材的編排，平面圖形的周長(zhǎng)與面積大單元可以劃分為如下五個(gè)較大的階段。

階段1：拼擺小正方形或在方格紙上數(shù)“單位”個(gè)數(shù)，初步建立面積概念。

階段2：數(shù)出圖形周界的長(zhǎng)度單位個(gè)數(shù)，建立周長(zhǎng)概念；認(rèn)識(shí)最基本的長(zhǎng)方形、正方形的特征及其周長(zhǎng)與面積。

階段3：通過(guò)尺規(guī)作圖進(jìn)一步認(rèn)識(shí)常見(jiàn)圖形的周長(zhǎng)；認(rèn)識(shí)平行四邊形、三角形以及梯形的特征及其面積，尤其這三類圖形的“高”適合在同一課時(shí)進(jìn)行學(xué)習(xí)。如北師大版（2011年）教材的編寫(xiě)方式。

階段5：圓的周長(zhǎng)與面積。

其中，階段1、階段2的內(nèi)容可以編排在同一冊(cè)教材中，階段3、階段4的內(nèi)容可以編排在同一冊(cè)教材中，階段5的內(nèi)容可以單獨(dú)編排在高年級(jí)。筆者以階段1、階段2的內(nèi)容為例，進(jìn)一步分析這兩階段內(nèi)容的具體層級(jí)，指明不同層級(jí)的內(nèi)容重點(diǎn)培養(yǎng)哪些核心素養(yǎng)。

●層級(jí)1：拼擺小正方形得到新圖形并數(shù)其面積單位個(gè)數(shù)，或數(shù)出方格紙上所畫(huà)直邊圖形的單位個(gè)數(shù)。側(cè)重培養(yǎng)學(xué)生的量感與空間觀念，樣例如圖3、圖4、圖5。

●層級(jí)2：推導(dǎo)長(zhǎng)方形、正方形的面積公式和周長(zhǎng)公式；直接利用公式求解長(zhǎng)方形、正方形的面積或周長(zhǎng)并解決實(shí)際問(wèn)題。培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題解決能力、量感和空間觀念，樣例略。

●層級(jí)3：在較復(fù)雜的問(wèn)題情境（測(cè)量對(duì)象涉及多個(gè)長(zhǎng)方形、正方形）中求解圖形的周長(zhǎng)或面積，或探索蘊(yùn)含的規(guī)律。培養(yǎng)學(xué)生的量感、推理意識(shí)以及空間觀念，樣例如下。

樣例1：一個(gè)正方形噴水池的周長(zhǎng)是20 米，它的邊長(zhǎng)是多少米？面積是多少平方米？

樣例2：在方格紙上畫(huà)幾個(gè)長(zhǎng)方形或正方形，使它們的周長(zhǎng)（或面積）都相等，然后比較一下它們的面積（或周長(zhǎng)）。你發(fā)現(xiàn)了什么？

樣例3：下圖中，右邊兩個(gè)算式分別求的是哪個(gè)圖形的周長(zhǎng)？

●層級(jí)4：根據(jù)圖形的特征，將其割補(bǔ)轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形、正方形后解決面積或周長(zhǎng)問(wèn)題。側(cè)重培養(yǎng)學(xué)生的推理意識(shí)與空間觀念，樣例如下。

在對(duì)照組西醫(yī)治療方案的基礎(chǔ)上，再予大八風(fēng)湯加減治療，藥物組成：黨參15 g，黃芪30 g，茯神15 g，紫苑12 g，當(dāng)歸20 g，川芎12 g，赤芍15 g，獨(dú)活10 g，秦艽10 g，五味子6 g，地龍10 g，陳皮9 g，炙甘草10 g。1劑/d，水煎取汁300 mL，分早晚2次口服。治療4周為1個(gè)療程，共1個(gè)療程。

樣例：下圖中，誰(shuí)家離學(xué)校近？說(shuō)明理由。

●層級(jí)5：較為抽象地通過(guò)解釋、說(shuō)理解決問(wèn)題。側(cè)重培養(yǎng)學(xué)生的推理意識(shí)，樣例如北師大版三年級(jí)上冊(cè)第51 頁(yè)的練習(xí)題8（如圖1），或蘇教版三年級(jí)下冊(cè)第75頁(yè)的思考題（如圖2）。

圖1 大正方形周長(zhǎng)和小正方形周長(zhǎng)之間的關(guān)系

圖2 正方形的形狀和面積的關(guān)系

三、平面圖形的面積與周長(zhǎng)大單元的內(nèi)容編排與教學(xué)建議

（一）將圖形的面積與周長(zhǎng)編排在同一單元中

由前述學(xué)習(xí)進(jìn)階分析可知，先學(xué)習(xí)圖形的面積概念后學(xué)習(xí)周長(zhǎng)概念更有助于學(xué)生理解。在面積概念的教學(xué)中，直邊圖形可以通過(guò)“重疊”的方法比較“面”的大小，面積值差異較大的曲邊圖形（如圓）可以通過(guò)直接觀察得出誰(shuí)大誰(shuí)小。教學(xué)的重點(diǎn)是用“小正方形”拼擺出各種圖形或?qū)D形畫(huà)在方格紙上，知道圖形面積就是小正方形的個(gè)數(shù)。

例如，中國(guó)臺(tái)灣翰林版教材關(guān)于面積與周長(zhǎng)的編排順序如下：二年級(jí)下冊(cè)比較面的大?。ū締卧€包括比較容量、輕重）；三年級(jí)下冊(cè)拼擺面積單位（只學(xué)習(xí)平方厘米），求拼擺出的圖形的面積以及方格紙上三角形或其他圖形的面積（可轉(zhuǎn)化為整格）；四年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)用公式求長(zhǎng)方形、正方形的周長(zhǎng)和面積，學(xué)習(xí)平方米及其與平方厘米的進(jìn)率，以及分割為長(zhǎng)方形、正方形的組合圖形的面積，已知面積和長(zhǎng)，求寬；五年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)平行四邊形、三角形、梯形以及一般組合圖形的面積，已知面積和高（底或兩底之和），求底或兩底之和（高）；六年級(jí)上冊(cè)分兩個(gè)單元學(xué)習(xí)圓和扇形的周長(zhǎng)與面積。

新加坡教材也是先在三年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)面積概念，強(qiáng)調(diào)用“小正方形”或在方格紙上數(shù)出圖形的面積，并直接呈現(xiàn)在例題中，具體內(nèi)容如下。

（1）用4個(gè)正方形、4個(gè)二分之一正方形的卡片拼擺圖形（如圖3）。

圖3 用小正方形拼擺出新圖形

（2）這些圖形的面積是多少個(gè)小正方形（如圖4）？

圖4 各種藝術(shù)圖案

（3）定義1 平方厘米之后，求下面各圖形的面積是多少平方厘米（如圖5）。

圖5 方格紙上的各類直邊圖形

在這之后，新加坡教材再定義1 平方米，同樣通過(guò)數(shù)“方格”求不需要轉(zhuǎn)化或恰好能轉(zhuǎn)化為整格的直邊圖形面積，不急于學(xué)習(xí)特殊圖形的面積公式。然而，前述內(nèi)容在人教版、北師大版等教材中都出現(xiàn)在練習(xí)題里，教材并沒(méi)有專門編排例題。

學(xué)生先通過(guò)上述活動(dòng)對(duì)面積單位及圖形的面積形成本源性認(rèn)識(shí)，再學(xué)習(xí)周長(zhǎng)概念。在學(xué)習(xí)周長(zhǎng)概念時(shí)，讓學(xué)生首先觀察畫(huà)在方格紙上的周長(zhǎng)相等、面積不同的不同形狀的三角形、長(zhǎng)方形等直邊圖形；其次利用線繩判斷兩個(gè)不規(guī)則的曲邊圖形哪一個(gè)的周長(zhǎng)更長(zhǎng)；再次測(cè)量書(shū)本封面、教室地面的周長(zhǎng)以及前面學(xué)習(xí)面積時(shí)所拼擺的圖形的周長(zhǎng)；最后解決涉及圖形的周長(zhǎng)與面積的實(shí)際問(wèn)題，在問(wèn)題解決過(guò)程中進(jìn)一步理解圖形的周長(zhǎng)與面積的關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形、正方形的面積公式。

方格紙?jiān)谘芯繄D形周長(zhǎng)和面積問(wèn)題時(shí)起著重要作用。一方面，方格紙既是度量長(zhǎng)度也是度量面積的工具；另一方面，方格紙也為學(xué)生判斷兩條線段的平行、垂直關(guān)系提供依據(jù)，而圖形的邊的平行、垂直關(guān)系決定了圖形性質(zhì)，是某個(gè)圖形存在周長(zhǎng)或面積公式的主要依據(jù)。

除了“數(shù)數(shù)”活動(dòng)外，在方格紙上畫(huà)出滿足條件的圖形也是重要的數(shù)學(xué)活動(dòng)，既有助于學(xué)生理解周長(zhǎng)、面積概念，又有助于培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和推理意識(shí)。例如，人教版、蘇教版、北師大版等教材中都編排了畫(huà)出周長(zhǎng)（面積）相等的長(zhǎng)方形或正方形，分別求面積（周長(zhǎng)）是多少的內(nèi)容，以初步滲透等周定理（在周長(zhǎng)相等的幾何形狀之中，圓形的面積最大；在面積相等的幾何形狀之中，圓形的周長(zhǎng)最?。?。

（二）學(xué)生理解周長(zhǎng)概念的基本路徑

周長(zhǎng)概念的形成，應(yīng)包含以下一些能力要素：一是知道“什么是周長(zhǎng)”，能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言正確描述或指出一個(gè)平面圖形的周長(zhǎng)；二是能根據(jù)周長(zhǎng)的意義，通過(guò)順邊加、公式計(jì)算、移與補(bǔ)等基本方法求出一個(gè)平面圖形的周長(zhǎng)；三是能應(yīng)用周長(zhǎng)的意義進(jìn)行判斷和推理，并解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題。從布魯姆-安德森的學(xué)習(xí)目標(biāo)分類理論來(lái)看，周長(zhǎng)概念的能力結(jié)構(gòu)正好體現(xiàn)了“記憶、理解、應(yīng)用、分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造”的思維發(fā)展過(guò)程。學(xué)生對(duì)上述形成周長(zhǎng)概念的幾個(gè)要素或多或少都有一定的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)?zāi)軌蝾I(lǐng)會(huì)周長(zhǎng)的含義，但這些經(jīng)驗(yàn)往往是模糊的、直覺(jué)的，容易與圖形的內(nèi)部區(qū)域（面積）相混淆。因此，理解圖形的周長(zhǎng)要逐步深入進(jìn)行，具有進(jìn)階性，而不是學(xué)習(xí)“一次”就能理解的。具體體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面。

一是結(jié)合具體情境引導(dǎo)學(xué)生直觀理解周長(zhǎng)是一個(gè)與“形”有關(guān)的概念。要將圖形的“一周邊線”從圖形中剝離出來(lái)，使學(xué)生真正“看”到圖形的一周邊線，從而建立清晰表象。所研究的圖形要有進(jìn)階性，先研究簡(jiǎn)單的、常見(jiàn)的直邊圖形，再研究生活中常見(jiàn)的曲邊圖形，如圓形、半圓形、扇形等。

二是通過(guò)對(duì)周長(zhǎng)長(zhǎng)度的測(cè)量和計(jì)算，理解它還是一個(gè)與“數(shù)量”有關(guān)的概念。周長(zhǎng)的本質(zhì)就是線段長(zhǎng)度，開(kāi)展測(cè)量活動(dòng)是學(xué)生感悟周長(zhǎng)實(shí)際含義的有效方式，有助于學(xué)生清晰認(rèn)識(shí)“周長(zhǎng)是圖形一周所有邊的長(zhǎng)度總和”。學(xué)生親自測(cè)量是建立周長(zhǎng)概念的關(guān)鍵一步，測(cè)量活動(dòng)既包括直接用直尺測(cè)量，也包括用“繩子圍”再測(cè)量拉直的繩子長(zhǎng)度，此外還可以將“曲線”進(jìn)行分割，用線段代替“小曲線”進(jìn)行測(cè)量，再累加求和。依據(jù)2022年版課標(biāo)的要求，還要讓學(xué)生結(jié)合“尺規(guī)作圖”加深對(duì)周長(zhǎng)概念的理解，即先用直尺畫(huà)一條直線，再用圓規(guī)依次“截取”圖形的幾條邊，最后將它們首尾相接依次畫(huà)到直線上，得到一條線段，從而直觀感知這條線段的長(zhǎng)度就是這個(gè)圖形的周長(zhǎng)，進(jìn)一步感受線段長(zhǎng)度的可加性。

三是在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比周長(zhǎng)和面積的不同。在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)過(guò)程中，將容易混淆的概念置于同一情境集中學(xué)習(xí)，以強(qiáng)化概念之間的比較辨析，是概念學(xué)習(xí)的一條重要策略。在對(duì)比過(guò)程中，學(xué)生能夠清晰地理解面積和周長(zhǎng)分別是描述“區(qū)域的大小”和“線段的長(zhǎng)短”的兩個(gè)不同概念。

（三）推導(dǎo)平面圖形面積公式的基本邏輯

1.如何推導(dǎo)長(zhǎng)方形面積公式

通過(guò)分析比較各版本教材內(nèi)容可知，關(guān)于長(zhǎng)方形面積公式的推導(dǎo)主要分為兩類。一類是以人教版教材、北師大版教材和翰林版教材為代表的編排方式。這些教材均為學(xué)生提供了長(zhǎng)方形面積計(jì)算的學(xué)習(xí)動(dòng)因，明確揭示了學(xué)習(xí)主題，即運(yùn)用面積單位測(cè)量長(zhǎng)方形面積。不同之處在于人教版、北師大版教材安排了兩次操作活動(dòng)，先通過(guò)第一次操作活動(dòng)理解用面積單位測(cè)量長(zhǎng)方形的方法，再借助第二次操作活動(dòng)測(cè)量長(zhǎng)方形面積（人教版測(cè)量了5 個(gè)、北師大版測(cè)量了2 個(gè)）并進(jìn)行填表，觀察表中長(zhǎng)、寬、面積三組數(shù)據(jù)的特征，發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式。而翰林版教材則直接提出“用乘法算算看，長(zhǎng)方形里有幾個(gè)方格（面積單位）？長(zhǎng)方形面積是多少？”這樣兩個(gè)問(wèn)題，讓學(xué)生在“算”的過(guò)程中體會(huì)面積與乘法的聯(lián)系以及面積單位總個(gè)數(shù)與長(zhǎng)方形面積之間的聯(lián)系，在此基礎(chǔ)上給出計(jì)算公式。另一類是以北京版、蘇教版、浙教版為代表的編排方式。這些教材讓學(xué)生用面積單位將已知長(zhǎng)方形鋪滿，通過(guò)“數(shù)”或“算”得到長(zhǎng)方形面積。在探究長(zhǎng)方形面積公式時(shí)，則讓學(xué)生拼擺若干個(gè)“小正方形”（如12個(gè)小正方形）得到幾個(gè)不同形狀的長(zhǎng)方形，再通過(guò)拼擺得到長(zhǎng)方形長(zhǎng)、寬和面積單位個(gè)數(shù)之間“量”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以及長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式與面積單位計(jì)數(shù)方法之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

美國(guó)加州版教材與日本教材不約而同地選擇了第一類呈現(xiàn)方式。它們將拼擺操作的過(guò)程描述得十分清晰，可操作性更強(qiáng)，直接“認(rèn)可”而不是“探究發(fā)現(xiàn)”面積計(jì)算公式，教學(xué)重點(diǎn)落在對(duì)計(jì)算公式的驗(yàn)證、反思等方面。而我國(guó)多數(shù)教材更注重讓學(xué)生通過(guò)自主探究發(fā)現(xiàn)并描述面積公式，即讓學(xué)生自主分析長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是幾就是“一行拼擺幾個(gè)小正方形”，寬是幾就是“拼擺幾行”。然而，在很多學(xué)生已經(jīng)知道長(zhǎng)方形面積公式的情況下，這樣的“自主探究”無(wú)法激發(fā)他們探究的興趣。因此，當(dāng)學(xué)生不能直接“套用”計(jì)算公式解決問(wèn)題時(shí)，再來(lái)反思長(zhǎng)方形的面積為何是“長(zhǎng)×寬”就很有必要性了，如蘇教版教材三年級(jí)下冊(cè)中的解決問(wèn)題（如圖6）。

圖6 根據(jù)條件求長(zhǎng)方形的面積

2.平行四邊形、三角形和梯形面積計(jì)算公式的哪種推導(dǎo)方法更有價(jià)值

這三個(gè)基本圖形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程基本一致：通過(guò)割補(bǔ)、拼擺將未知圖形轉(zhuǎn)化為已學(xué)過(guò)的圖形。推導(dǎo)平行四邊形的面積計(jì)算公式就是將平行四邊形沿著高剪開(kāi)再拼成長(zhǎng)方形。有的研究者認(rèn)為，推導(dǎo)平行四邊形面積公式應(yīng)該通過(guò)每行的“割補(bǔ)”，將平行四邊形的面積轉(zhuǎn)化為“每行有幾個(gè)面積單位、有這樣的幾行”。從本質(zhì)上看，這樣的思路沒(méi)錯(cuò)，但這樣“割補(bǔ)”轉(zhuǎn)化的過(guò)程太復(fù)雜，不符合學(xué)生的認(rèn)知邏輯。例如，圖7中，將左邊的陰影部分（梯形）割補(bǔ)到右邊得到每行是“整格”，遠(yuǎn)比將左邊的“虛線三角形”割補(bǔ)到右邊成為長(zhǎng)方形要困難得多。

圖7 平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形

目前，各版本教材不要求解決“形外高”的平行四邊形面積問(wèn)題，但如果將該類平行四邊形放在方格紙上研究（如圖8），有多種割補(bǔ)轉(zhuǎn)化的方法，該類問(wèn)題更有思維價(jià)值。同樣地，同底等高的平行四邊形面積相等、同底不等高的平行四邊形面積與高成正比例等內(nèi)容都是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的好問(wèn)題。也就是說(shuō)，可拉動(dòng)的平行四邊形框架是研究平行四邊形面積很好的學(xué)具。

圖8 “形外高”的平行四邊形

3.介紹具有育人價(jià)值的圓面積計(jì)算公式的推導(dǎo)方法

現(xiàn)行各版本教材都是將圓等分成很多個(gè)（想象或借助計(jì)算機(jī)分割成“大數(shù)”份）小扇形，再通過(guò)拼接轉(zhuǎn)化為近似的平行四邊形或長(zhǎng)方形，推導(dǎo)出圓的面積的計(jì)算公式。事實(shí)上，歷史上推導(dǎo)圓面積公式的方法有很多，劉徽的割圓術(shù)（如圖9）、開(kāi)普勒的“手拉手、心連心”法（如圖10）等更具有思維價(jià)值［3］。其中，劉徽的割圓術(shù)既有助于學(xué)生理解推導(dǎo)過(guò)程，能幫助他們直觀地認(rèn)識(shí)“割之彌細(xì)、所失彌少”，感受“割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無(wú)所失矣”，更能讓學(xué)生感悟到中國(guó)古代數(shù)學(xué)中的智慧。祖沖之則在劉徽割圓術(shù)的基礎(chǔ)上，利用“算籌”計(jì)算很好地解決了“空位”問(wèn)題，使得計(jì)算結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后7位。教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)采用這種方式向?qū)W生介紹劉徽、祖沖之及阿基米德等古代數(shù)學(xué)家各自的貢獻(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生實(shí)事求是地分析問(wèn)題、辯證地看待歷史的意識(shí)，而不是“空洞地”介紹中國(guó)的數(shù)學(xué)發(fā)明比西方早了一千多年。

圖9 劉徽割圓術(shù)的展示過(guò)程圖

圖10 開(kāi)普勒的“手拉手、心連心”法