基于“運(yùn)算”實(shí)質(zhì)的單元內(nèi)容進(jìn)階分析及教學(xué)建議*
——以“整數(shù)加減法”內(nèi)容為例

□劉琳娜 楊光有

數(shù)的運(yùn)算有兩種含義：一是對數(shù)量關(guān)系的表達(dá)，如加法表示兩個數(shù)量的合并；二是對數(shù)的計(jì)算的操作。一般將前者稱為運(yùn)算的意義，用于分析問題和解決問題；將后者稱為計(jì)算的方法，用于獲得數(shù)運(yùn)算的結(jié)果。［1］在學(xué)習(xí)整數(shù)加減法時，學(xué)生一方面要判斷“解決這一問題到底是用加法還是減法”，另一方面要正確計(jì)算出結(jié)果，并體會加法與減法本質(zhì)上都是“對計(jì)數(shù)單位的操作”。因此，運(yùn)算的意義、計(jì)算方法（包括算理與算法）共同構(gòu)成了運(yùn)算教學(xué)內(nèi)容的整體框架。隨著問題情境越來越復(fù)雜，數(shù)的運(yùn)算逐漸過渡到數(shù)量關(guān)系和問題解決。也就是說，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標(biāo)”）中提出的“數(shù)量關(guān)系”主題，實(shí)際上是運(yùn)算意義和計(jì)算方法（包括算理與算法）在更高階思維上的體現(xiàn)。

“整數(shù)加減法”內(nèi)容在幼兒園階段就已經(jīng)有所涉及，并在現(xiàn)行小學(xué)階段的教材中從一年級一直持續(xù)到三年級，是一個跨越了多個年級的教學(xué)“大單元”。對于這部分內(nèi)容，現(xiàn)行教材大多會編排7～9個教學(xué)單元，內(nèi)容較為瑣碎零散，并不利于學(xué)生結(jié)構(gòu)化思維的建立。如何分析運(yùn)算內(nèi)容的進(jìn)階，整體把握單元教學(xué)內(nèi)容？學(xué)生的“升階點(diǎn)”有哪些？在哪些地方可以實(shí)現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化整合？下面以“整數(shù)加減法”內(nèi)容為例，對這些問題進(jìn)行探討并提出教學(xué)實(shí)施建議。

一、整數(shù)加減法運(yùn)算意義的進(jìn)階分析

在小學(xué)階段，對運(yùn)算意義的理解主要體現(xiàn)為能夠正確表征情境中的數(shù)量關(guān)系，從具體情境中抽象出加法、減法模型來解決問題。加減法運(yùn)算意義的教學(xué)需要給學(xué)生提供不同的問題情境。1983 年，卡朋特和默澤爾詳細(xì)研究了加減法應(yīng)用題，并根據(jù)語義結(jié)構(gòu)將其劃分為四種類型：變化型、結(jié)合型、比較型和相等型［2］。在這四種類型中，相等型與比較型的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)極為相似，故相等型的題目可以直接轉(zhuǎn)化為比較型來描述。如相等型（加法）題目“小明有5 顆彈珠，如果小紅減少8 顆彈珠就和小明的彈珠一樣多，小紅有多少顆彈珠”可以改變?yōu)楸容^型“小明有5 顆彈珠，小紅比小明多8 顆彈珠，小紅有多少顆彈珠”。又如相等型（減法）題目“小明有8顆彈珠，小紅有5 顆彈珠，小紅還需要幾顆彈珠就跟小明的彈珠一樣多”可以改變?yōu)楸容^型“小明有8顆彈珠，小紅有5顆彈珠，小明比小紅多幾顆彈珠或小紅比小明少幾顆彈珠”。比較型的語義描述更符合人們的語言表達(dá)習(xí)慣，而相等型的題意表達(dá)則較為拗口。在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，比較型較為常見，相等型則較少，但有部分版本（如蘇教版）教材專門編排了此類型題目。

1990 年，卡朋特將加法、減法的情境類型進(jìn)行了調(diào)整，表述為“部分—部分—整體、合并、分開和比較四個類型”［3］，其中“部分—部分—整體”對應(yīng)前文中的結(jié)合型，“合并”對應(yīng)前文中的變化型，同時刪減了相等型，增加了“分開”，具體如表1所示。

表1 加減法的情境類型

進(jìn)一步進(jìn)行分析，“部分—部分—整體”是靜態(tài)的情境模型；“合并（拿來）”與“分開（拿走）”是動態(tài)的情境模型，兩者表征的都是同一個主體所擁有的物體數(shù)量的變化；“比較”涉及兩個不同主體所擁有的物體數(shù)量之間的多少關(guān)系，這種類型的題目最初可以通過“一一對應(yīng)”的方式來解決，當(dāng)數(shù)量變多時，再逐漸過渡到計(jì)算。四種類型的加減法情境本質(zhì)上可分為兩大類：一類是數(shù)量變化型，另一類是數(shù)量比較型。由此，整數(shù)加減法意義的結(jié)構(gòu)變得更為清晰，且四種類型都可以從現(xiàn)行各個版本教材中找到樣例。

對于學(xué)生而言，加減法現(xiàn)實(shí)情境的不同類型，在理解的難度和層級上存在差異，這種難易程度或者差異就構(gòu)成了學(xué)生學(xué)習(xí)整數(shù)加減法意義時的進(jìn)階水平。每一“階”都有學(xué)生學(xué)習(xí)的困難點(diǎn)或生長點(diǎn)（即“升階點(diǎn)”），但有的“階”跨度不大，有的“階”則跨度較大，跨度大的“階”就是教學(xué)中需要著重突破的地方。從學(xué)生認(rèn)知的角度出發(fā)，學(xué)生理解相同類型加法和減法意義的難度不一定相同。例如，在加法情境中，靜態(tài)的“部分—部分—整體”是學(xué)生最容易理解的，動態(tài)的“分開”情境則是減法的最初模型。基于此，可大致將加減法意義的進(jìn)階劃分為五個層級，如表2所示。

表2 加減法意義的層級劃分

情境的變化會給學(xué)生理解加減法意義帶來困難。動態(tài)的“分開”在減法情境中處于第一個層級，而在加法情境中，理解起來要困難得多，明明是“拿走”的情境卻要用“合并”的思維。同樣地，在加法情境中理解起來較為容易的動態(tài)的“合并”，如果轉(zhuǎn)化為減法情境，理解起來就會有一定的難度。對于靜態(tài)的“部分—部分—整體”和“比較”，學(xué)生在進(jìn)行加減法意義轉(zhuǎn)換時理解起來相對簡單。而針對動態(tài)的“合并”與“分開”，學(xué)生理解時容易混淆加減法意義，尤其是涉及情境復(fù)雜的加減混合運(yùn)算問題時，理解起來就更加困難。

各個版本教材的編排邏輯大體上都遵循了這樣的內(nèi)容進(jìn)階路徑，但也存在一些有待改進(jìn)之處。如一些有難度的、層級較高的問題情境，沒有作為例題而是作為習(xí)題呈現(xiàn)，這就導(dǎo)致習(xí)題與例題之間的跨度過大，給學(xué)生造成理解上的困難。因此，教師在進(jìn)行教材分析時，需要整體梳理例題和習(xí)題，甚至是一些考試評價，以及測評題目的類型與進(jìn)階層級，而不能只單純關(guān)注例題。

二、整數(shù)加減法計(jì)算方法（含算理）的進(jìn)階分析

在小學(xué)階段，數(shù)的運(yùn)算對象包括整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)三類。整數(shù)加減運(yùn)算在所有的四則運(yùn)算中是最基礎(chǔ)的，理解和計(jì)算相對容易。然而，對于低年級的學(xué)生而言，這依然存在著進(jìn)階性和層級性。其中，起到關(guān)鍵作用的就是“計(jì)數(shù)單位”。一個整數(shù)的位數(shù)越多，其結(jié)構(gòu)就越復(fù)雜，運(yùn)算中所涉及的計(jì)數(shù)單位就越多，運(yùn)算起來也就越有難度，這也體現(xiàn)了數(shù)與運(yùn)算的一致性。基于上述分析，筆者提煉出整數(shù)加減法計(jì)算方法（含算理）的三個關(guān)鍵進(jìn)階變量：位數(shù)、參與運(yùn)算的計(jì)數(shù)單位個數(shù)、計(jì)數(shù)單位轉(zhuǎn)化的次數(shù)。據(jù)此劃分整數(shù)加減法計(jì)算方法（含算理）的進(jìn)階層級，各個教學(xué)單元涉及的層級如表3所示。

表3 整數(shù)加減法計(jì)算方法（含算理）進(jìn)階層級表

一位數(shù)加減一位數(shù)處于第1個層級，這時只有一個計(jì)數(shù)單位“一”參與運(yùn)算。整十（百）數(shù)加減整十（百）數(shù)時，盡管運(yùn)算對象已經(jīng)進(jìn)階到兩、三位數(shù)，但由于只有一個計(jì)數(shù)單位“十”或“百”參與運(yùn)算，在理解的層級上并沒有太大跨越。然而同樣是兩、三位數(shù)加減，非整十、整百數(shù)的加減就有多個計(jì)數(shù)單位參與運(yùn)算。如果兩個加數(shù)的位數(shù)不同，還需要根據(jù)算理判斷哪個數(shù)位上的數(shù)跟哪個數(shù)位上的數(shù)相加、減。涉及進(jìn)、退位時則更為復(fù)雜，要利用相鄰計(jì)數(shù)單位的“十進(jìn)”關(guān)系，或?qū)⑿挝痪酆蠟榇髥挝唬驅(qū)⒋髥挝晦D(zhuǎn)化為小單位，再繼續(xù)進(jìn)行計(jì)算。

除整數(shù)的位數(shù)外，從算理和算法的角度看，參與運(yùn)算的計(jì)數(shù)單位個數(shù)及相互轉(zhuǎn)化的次數(shù)是決定算理和算法層級的重要維度，對幾個層級的具體說明如下。

層級1：只有一個計(jì)數(shù)單位參與運(yùn)算。學(xué)習(xí)完“數(shù)的認(rèn)識”之后，不管是幾位數(shù)，當(dāng)只有一個計(jì)數(shù)單位參與運(yùn)算時，在理解層面都應(yīng)該隸屬于第1個層級，這樣隨著整數(shù)位數(shù)（整十、整百）的增多，算理和算法都較易進(jìn)行遷移。達(dá)成這一層級目標(biāo)的認(rèn)知基礎(chǔ)是“數(shù)的意義”和“數(shù)的分解與組成”。

層級2：多個計(jì)數(shù)單位參與運(yùn)算，但不涉及相互轉(zhuǎn)化（即不進(jìn)、退位）。這個層級包括兩類情況：一類是兩個加數(shù)的位數(shù)相同，另一類是兩個加數(shù)的位數(shù)不同。從算理和算法的角度看，兩個加數(shù)位數(shù)不同時更容易使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知上的障礙，如“哪個數(shù)跟哪個數(shù)相加、減”“豎式中哪個數(shù)位對齊”等問題，這些問題背后的算理就是位值思想。

層級3：多個計(jì)數(shù)單位參與運(yùn)算，涉及一次轉(zhuǎn)化。在理解“相同數(shù)位上的數(shù)相加、減”的基礎(chǔ)上，更為復(fù)雜的運(yùn)算是計(jì)數(shù)單位之間的相互轉(zhuǎn)化?！皾M十進(jìn)一”“退一當(dāng)十”背后的算理是“十進(jìn)”思想，即相鄰計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)制是“十”，每一個數(shù)位上計(jì)數(shù)單位個數(shù)“滿十”后要向高一級計(jì)數(shù)單位轉(zhuǎn)化，當(dāng)數(shù)位上計(jì)數(shù)單位的個數(shù)不夠減時要轉(zhuǎn)化為低一級計(jì)數(shù)單位，以使運(yùn)算能夠進(jìn)行下去。理解“十進(jìn)制”并在運(yùn)算中熟練進(jìn)行轉(zhuǎn)化應(yīng)用是保證運(yùn)算結(jié)果正確的重要基礎(chǔ)。

層級4：多個計(jì)數(shù)單位參與運(yùn)算，涉及多次轉(zhuǎn)化。在這個層級上，并沒有更多新的知識和技能，而是在前三個層級基礎(chǔ)上，在更為復(fù)雜的情境中，對整數(shù)加減法的算理與算法進(jìn)行進(jìn)一步遷移和靈活應(yīng)用。

根據(jù)以上層級劃分，具體到某個教學(xué)單元，不同版本教材的編排體系各不相同。如在“兩位數(shù)加減一、兩位數(shù)”單元，有的教材先編排兩位數(shù)加減一位數(shù)，再編排兩位數(shù)加減兩位數(shù)，有的教材則先編排兩位數(shù)加減兩位數(shù)，再編排兩位數(shù)加減一位數(shù)，以凸顯學(xué)生在“數(shù)位”上的認(rèn)知沖突。又如在“整十整百數(shù)相加減”單元，有的教材將整十?dāng)?shù)相加、整百數(shù)相加單獨(dú)編排為一個課時，有的教材則將這一內(nèi)容編排在“數(shù)的認(rèn)識”單元或與兩、三位數(shù)相加減內(nèi)容進(jìn)行整合，或在與一位數(shù)加一位數(shù)、整十?dāng)?shù)加整十?dāng)?shù)的對比中呈現(xiàn)整百數(shù)加整百數(shù)，強(qiáng)調(diào)算理與算法的一致性，體現(xiàn)計(jì)數(shù)單位的不同。每套教材的編排都有一定的內(nèi)在邏輯和既定假設(shè)。不論教材怎樣編排，筆者選擇用“位數(shù)、參與運(yùn)算的計(jì)數(shù)單位個數(shù)、計(jì)數(shù)單位轉(zhuǎn)化的次數(shù)”這三個進(jìn)階變量來劃定進(jìn)階層級，都能夠幫助教師清晰地看到零散教學(xué)內(nèi)容背后的本質(zhì)與結(jié)構(gòu)，在教學(xué)實(shí)踐中更好地進(jìn)行教學(xué)決策。

三、基于進(jìn)階的整數(shù)加減法單元教學(xué)建議

厘清整數(shù)加減法的意義和計(jì)算方法（含算理）兩個維度的內(nèi)容進(jìn)階，便于對教材編寫的邏輯體系進(jìn)行梳理，也便于教師能據(jù)此整體把握教學(xué)內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)，找到學(xué)生認(rèn)知的難點(diǎn)和生長點(diǎn)，系統(tǒng)化地設(shè)置單元、課時教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)任務(wù)序列。

（一）在幼小銜接視角下整體規(guī)劃整數(shù)加減法教學(xué)內(nèi)容

2022 年版課標(biāo)最主要的變化之一是加強(qiáng)了學(xué)段銜接，尤其注重幼小銜接，體現(xiàn)學(xué)習(xí)目標(biāo)的連續(xù)性和進(jìn)階性。為此，教師需要關(guān)注一年級學(xué)生在幼兒園階段學(xué)習(xí)了什么?！?～6 歲兒童學(xué)習(xí)與發(fā)展指南》（以下簡稱《指南》）指出，5～6 歲兒童在數(shù)學(xué)認(rèn)知方面的學(xué)習(xí)目標(biāo)之一是感知和理解數(shù)、量及數(shù)量關(guān)系。具體包括：1.借助實(shí)際情境和操作活動（如合并或拿?。├斫饧雍蜏p的實(shí)際意義；2.能通過實(shí)物操作或其他方法進(jìn)行10以內(nèi)的加減運(yùn)算。［4］52

按照《指南》的要求，大多數(shù)學(xué)生在小學(xué)入學(xué)前就已經(jīng)接觸了10 以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識及加減運(yùn)算。《指南》還針對理解運(yùn)算的意義提出了具體教學(xué)建議：通過實(shí)物操作引導(dǎo)幼兒理解數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，并用“加”或“減”的辦法來解決問題。如游戲中遇到讓4個小動物住進(jìn)兩間房子的問題，或生活中遇到將5塊餅干分給兩個小朋友的問題時，讓幼兒嘗試用不同的分法。鼓勵幼兒嘗試自己解決生活中的數(shù)學(xué)問題。如家里來了5 位客人，桌子上只有3 個杯子，還需要幾個杯子。［4］54可以看出，幼兒通過幼兒園階段的學(xué)習(xí)，已經(jīng)具備豐富的運(yùn)用加減法解決問題和初步分析數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)，不僅掌握了數(shù)的分與合，還接觸了比較型（或相等型）的情境問題。

現(xiàn)行不同版本教材在小學(xué)一年級上冊均安排了20多個課時來教學(xué)“10以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識和加減法”這一內(nèi)容，涉及數(shù)的讀寫、組成、書寫，加減法的意義、計(jì)算等多個方面。但是在一年級的教學(xué)中，教師要考慮與學(xué)生在幼兒園階段所學(xué)習(xí)的內(nèi)容形成的經(jīng)驗(yàn)的銜接性，充分利用學(xué)生學(xué)前階段的基礎(chǔ)，提升其學(xué)習(xí)效率。如可以依據(jù)《指南》對幼兒園階段的學(xué)習(xí)要求，減少“10 以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”的部分課時，從幼兒園階段側(cè)重活動經(jīng)驗(yàn)的積累過渡到小學(xué)階段對寫數(shù)、列式計(jì)算（符號表征運(yùn)算意義）等方面的練習(xí)鞏固，并為涉及“十進(jìn)”“位值”等數(shù)學(xué)思想的“11～20 各數(shù)的認(rèn)識和加減法”單元教學(xué)適當(dāng)增加課時，以體現(xiàn)學(xué)段之間的進(jìn)階性。

（二）基于豐富的情境類型，有層次地引導(dǎo)學(xué)生多角度理解運(yùn)算意義

理解加減法的意義，主要依賴具體的現(xiàn)實(shí)情境。如果學(xué)生能夠正確判斷在何種情境下用加法解決問題，何種情況下用減法解決問題，即表明學(xué)生能夠理解并區(qū)分加減法的意義。在現(xiàn)行不同版本教材中，加減法意義的現(xiàn)實(shí)情境非常豐富，從情境表征方式上看，有文字、圖片（包括現(xiàn)實(shí)情境和數(shù)學(xué)情境）等不同形式。豐富的情境和表征方式一方面能夠幫助學(xué)生從多個角度鞏固和加深對運(yùn)算意義的理解，另一方面也會讓學(xué)生眼花繚亂，造成理解上的困難。因此，教材在編寫時應(yīng)分散認(rèn)知難點(diǎn)；教師在教學(xué)時也應(yīng)在厘清內(nèi)容進(jìn)階的基礎(chǔ)上，準(zhǔn)確診斷學(xué)生的進(jìn)階點(diǎn)和生長點(diǎn)，在進(jìn)階層級較高的內(nèi)容上多下功夫。

2022 年版課標(biāo)在第一學(xué)段的學(xué)業(yè)要求中指出，在數(shù)與運(yùn)算內(nèi)容中，學(xué)生要能夠描述加減運(yùn)算的意義，知道減法是加法的逆運(yùn)算。對于運(yùn)算的意義而言，理解“減法是加法的逆運(yùn)算”較容易的情境是“部分—部分—整體”型和“比較”型。在“部分—部分—整體”型情境中，“左手有3支鉛筆，右手有2支鉛筆，求一共有幾支鉛筆”這樣的題目用加法運(yùn)算，相應(yīng)地，“一共有5 支鉛筆，左手有2 支鉛筆，求右手有幾支鉛筆”則用減法運(yùn)算。在“比較”型情境中，“小紅有12 個蘋果，小明比小紅多3 個蘋果，小明有幾個蘋果”用加法，相應(yīng)地，“小明有15 個蘋果，小紅比小明少3個蘋果，小紅有幾個蘋果”用減法。在動態(tài)的“合并”與“分開”類型中，加法的“合并”與減法的“分開”較容易理解，即“拿來”用加法，“拿走”用減法，但是加法的“分開”類型如“有一些小紅花，拿走了7 朵，現(xiàn)在還剩6 朵，原來有幾朵小紅花”，以及減法的“合并”類型如“小紅有3輛玩具車，她要再拿來幾輛才能有9 輛玩具車”，這兩類問題用算術(shù)思維來理解題意有一定難度，而用代數(shù)思維，列方程解決問題更便捷。因此，教師一方面要通過直觀操作、課件演示或語義表達(dá)、情境創(chuàng)編等多種方式引導(dǎo)學(xué)生理解加減法意義；另一方面要利用加法的“分開”類型和減法的“合并”類型，有意識地發(fā)展學(xué)生的代數(shù)思維，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

（三）合理安排教學(xué)單元，圍繞學(xué)生認(rèn)知難點(diǎn)（升階點(diǎn)）整合教學(xué)任務(wù)

由于已經(jīng)有了幼兒園階段的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，在借助現(xiàn)實(shí)情境（計(jì)算中提供的數(shù)據(jù)?。W(xué)習(xí)加減法的意義時，很多學(xué)生一眼就能看出計(jì)算結(jié)果。因此，在運(yùn)算意義的學(xué)習(xí)中，教師可以根據(jù)表2中的進(jìn)階層級具體劃分單元課時，層級1、層級2可以整合為一個課時，即在學(xué)習(xí)加法和減法的意義時，可以讓學(xué)生同時對比感受靜態(tài)的“部分—部分—整體”和動態(tài)的“合并”情境，而不需要每個層級分別對應(yīng)一個或多個課時。

在教學(xué)較大數(shù)加減法時，教學(xué)難點(diǎn)不在運(yùn)算的意義上，而在于位值觀念。由表3 可知，整數(shù)加減法盡管涉及的教學(xué)單元較多，但在計(jì)算方法（含算理）上，若按照“位數(shù)、參與運(yùn)算的計(jì)數(shù)單位個數(shù)、計(jì)數(shù)單位轉(zhuǎn)化的次數(shù)”進(jìn)行劃分，只有四個大的層級。通過梳理多個版本教材可以發(fā)現(xiàn)：有的教材將“10以內(nèi)數(shù)的加減法”又細(xì)分為“1～5 的加減法”和“6～10 的加減法”；有的教材則直接將“10 以內(nèi)數(shù)的加減法”作為一個教學(xué)單元，在學(xué)完“10 以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”之后，統(tǒng)一學(xué)習(xí)加減法內(nèi)容。筆者以為，后者的編排更為合理，原因有兩方面：一方面，學(xué)生在幼兒園階段已經(jīng)有了10以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識和加減法的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)；另一方面，從算理與算法的角度看，10 以內(nèi)數(shù)的加減法只有一個計(jì)數(shù)單位參與運(yùn)算，在算理與算法上沒有明顯的進(jìn)階性。

而對于整十、整百數(shù)加減法，數(shù)的位數(shù)增多，但參與運(yùn)算的計(jì)數(shù)單位并未增多，在運(yùn)算的層級上都隸屬于第1個層級，學(xué)生理解起來并不困難。有的教材將其單獨(dú)作為一個課時進(jìn)行教學(xué)，有的教材則在學(xué)習(xí)兩、三位數(shù)加減法時根據(jù)需要順勢帶過，并不作為重點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行講解。筆者建議可以采取第二種處理方式，對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整合。

總之，基于數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)來分析教材編排的內(nèi)在邏輯體系，能夠讓教師更加深入地解讀2022 年版課標(biāo)和教材編寫意圖，有根有據(jù)地進(jìn)行“單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)”，切實(shí)落實(shí)2022年版課標(biāo)要求。