運(yùn)算律的本質(zhì)、內(nèi)容進(jìn)階與教學(xué)建議*

□劉加霞

運(yùn)算的意義、定律和法則是小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)的基本內(nèi)容。在算術(shù)中，運(yùn)算的意義是基礎(chǔ)。基于意義可進(jìn)一步得到運(yùn)算律，根據(jù)意義與定律即可歸納出各種運(yùn)算法則。在代數(shù)中，運(yùn)算律更為重要。項(xiàng)武義教授指出：簡樸得幾乎是笨拙的運(yùn)算律就是整個代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。［1］3

運(yùn)算律中具有根基性的就是加法、乘法的規(guī)律（數(shù)系擴(kuò)充后，減法就是加法，除法就是乘法），即加法和乘法的交換律、加法和乘法的結(jié)合律、乘法對加法的分配律。這五大運(yùn)算律在小學(xué)數(shù)學(xué)中無處不在?，F(xiàn)行多個版本教材都將運(yùn)算律內(nèi)容編排在四年級，即運(yùn)算律在之前所學(xué)內(nèi)容中“隱而不明”，直到四年級才“正式”學(xué)習(xí)。但基本運(yùn)算律是與加法和乘法運(yùn)算同在的［2］，不是到四年級才學(xué)習(xí)的，即運(yùn)算律在小學(xué)數(shù)學(xué)中有不同的學(xué)習(xí)進(jìn)階。那么，運(yùn)算律在小學(xué)數(shù)學(xué)中的學(xué)習(xí)進(jìn)階是什么？不同進(jìn)階的內(nèi)容要求學(xué)生理解到什么程度？教師該如何整體把握運(yùn)算律內(nèi)容的本質(zhì)？經(jīng)歷探究、歸納和概括運(yùn)算律的過程能培育學(xué)生哪些核心素養(yǎng)？看似“不證自明”又很容易的運(yùn)算律真的易于學(xué)生理解并掌握嗎？這些問題都有待于深入思考，并需要在教學(xué)實(shí)踐中不斷探究。

一、運(yùn)算律的本質(zhì)與證明

小學(xué)階段所涉及的這五大運(yùn)算律在數(shù)系從自然數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系后仍然成立，根源是其在自然數(shù)系中成立。因此，要探究運(yùn)算律普遍成立的緣由，就得仔細(xì)考察自然數(shù)系的運(yùn)算律為什么普遍成立。小學(xué)階段通過舉例的方式驗(yàn)證（采用不完全歸納法）并明確性質(zhì)，但在數(shù)學(xué)上，舉例無法說明定律普遍成立，因?yàn)闃O有可能在無數(shù)個例子之外還存在不成立的例子。追根究底地問自然數(shù)系的運(yùn)算律為什么普遍成立，此事絕非庸人自擾，而是學(xué)習(xí)代數(shù)不可缺的奠基與起步［1］4，其中蘊(yùn)含證明的基本方法——數(shù)學(xué)歸納法。

數(shù)學(xué)上的證明，就是以某些事物的正確性去說明其他事物的正確性。任何證明都必須要有依據(jù)，不可能“無中生有”。自然數(shù)系是一個按順序排列的體系，起始者為1（皮亞諾修訂后的公理規(guī)定起始者為0，所以0既是自然數(shù)，也是起始者），往后始終按照“后者”比“前者”多1 的順序逐個加1，以至無窮。因此，加法是“+1”的復(fù)合。例如，“+n”就是連續(xù)n次“+1”的縮寫，“+（n+1）”就是“+n”之后再一次“+1”，用算式表示就是a+（n+1）=（a+n）+1。這就是自然數(shù)系加法運(yùn)算的歸納定義，即加法是“+1”的復(fù)合。而乘法是自相加的縮寫，即1·a=a，2·a=a+a，3·a=2·a+a=a+a+a，也就是（n+1）·a=n·a+a。

在自然數(shù)系及加法、乘法定義的基礎(chǔ)上，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法就能嚴(yán)格地證明自然數(shù)系下的五大運(yùn)算律。以分配律為例，它的證明過程如下。

要證明m·a+n·a=（m+n）·a成立，須對n作歸納論證。

當(dāng)n=1 時，要證明的等式就是前述乘法的定義。

假設(shè)n=k時，m·a+k·a=（m+k）·a成立。

當(dāng)n=k+1時，

雖然在小學(xué)階段不可能要求如上所述的嚴(yán)格的歸納證明，但通過歸納證明的過程可以看出，分配律成立的起點(diǎn)與邏輯基礎(chǔ)是乘法的意義及加法結(jié)合律。

同樣，減法與除法的性質(zhì)可以通過前述運(yùn)算律推導(dǎo)出來，所以減法與除法叫“性質(zhì)”而不叫“運(yùn)算律”。例如，減法的性質(zhì)可以這樣推導(dǎo)。

由此可以看出，減法與除法的性質(zhì)是“流”，加法與乘法的五大運(yùn)算律是“源”。更進(jìn)一步說，自然數(shù)的加法是根本，是“+1”的復(fù)合，乘法是“自身相加”，而減法、除法則分別是加法、乘法的逆運(yùn)算。當(dāng)然，在小學(xué)階段，“源”與“流”都承載著各自的育人價值，但“源”更重要。

二、小學(xué)階段運(yùn)算律的內(nèi)容進(jìn)階以及學(xué)生理解的難點(diǎn)

如前所述，運(yùn)算律雖然簡單、樸素，但意義重大。尤其是在代數(shù)學(xué)中，只要學(xué)習(xí)四則運(yùn)算，或利用運(yùn)算知識解決實(shí)際問題，就要涉及運(yùn)算律，運(yùn)算律貫穿教學(xué)始終，只不過一開始運(yùn)算律是內(nèi)隱的，沒有外顯地、形式化地表述出來。那么，運(yùn)算律在小學(xué)數(shù)學(xué)中的進(jìn)階表現(xiàn)如何？學(xué)生如何從模型角度理解運(yùn)算律、感悟運(yùn)算律的價值呢？哪些情況下學(xué)生易出錯？出錯的根本原因是什么？為此需要整體分析運(yùn)算律在小學(xué)階段的內(nèi)容進(jìn)階和“升階點(diǎn)”。

下面通過對運(yùn)算律本質(zhì)和不同版本教材的分析，從運(yùn)算律的內(nèi)容、表達(dá)方式以及運(yùn)用情境等方面，按照情境中感知、說理中感悟、字母符號表達(dá)及解釋運(yùn)用這幾個水平層次，整體劃分運(yùn)算律在小學(xué)數(shù)學(xué)中的學(xué)習(xí)階段。

【階段1】直觀感知：具體情境中感知交換律

加法、乘法交換律在學(xué)生一、二年級學(xué)習(xí)加法、乘法意義時就可以揭示，讓學(xué)生結(jié)合具體情境，通過列式知道3+5=5+3、3×5=5×3這樣的基本事實(shí)，但不需要用抽象的字母符號來表示。加法交換律、結(jié)合律的情境基于生活經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生容易感知。甚至從并集的角度看，加法交換律自然成立。如俄羅斯一年級教材在加法定義之后，就立刻根據(jù)并集的意義寫出了“T+K=K+T”，加法交換律出現(xiàn)得很早。［3］

對于選擇哪個合適的情境認(rèn)識乘法交換律，目前學(xué)界觀點(diǎn)不同，仍有爭議。例如，在“初步認(rèn)識乘法”中，如果采用“每個盤子裝3個蘋果，5個盤子一共裝多少蘋果”這一情境，所列算式“3+3+3+3+3”只能改寫為“3×5”，而不能直接寫“5×3”。只有在借助“點(diǎn)陣模型”求一共有多少個點(diǎn)時，學(xué)生才能更好地理解乘法交換律，因?yàn)檫@時可以從兩個角度研究點(diǎn)的個數(shù)：每行有3 個，有這樣的5 行（5 個3 相加）；每列有5個，有這樣的3列（3個5相加）。觀察與計(jì)算的角度不同，所列算式也不同，但結(jié)果都一樣，所以3×5=5×3，即交換乘數(shù)的位置，乘積不變。雖然現(xiàn)行教材不再區(qū)分被乘數(shù)、乘數(shù)，但在某些情境下二者含義不同，只有在點(diǎn)陣模型中二者的地位才對等。二年級學(xué)生應(yīng)該能夠理解“兩個數(shù)相乘，交換它們的次序乘積不變”的結(jié)論，不過僅限于具體數(shù)相乘。至于出現(xiàn)a×b=b×a那樣的字母表達(dá)式，以及采用乘法交換律這樣的專有名詞，仍舊可到四年級再提出。［4］

【階段2】計(jì)算中“用而不述”：說理中感悟結(jié)合律與分配律

四則運(yùn)算能夠“算下去”，都是在運(yùn)用基本運(yùn)算律。運(yùn)算律是計(jì)算算理的主要依據(jù)之一，在本階段中還可以再細(xì)分為以下幾個“小階段”。

（1）自然數(shù)和小數(shù)都是十進(jìn)制數(shù)，其加減法的算理完全相同，計(jì)算過程中多次運(yùn)用加法的交換律、結(jié)合律。

（2）分?jǐn)?shù)加減法的算理，本質(zhì)仍然是“相同計(jì)數(shù)單位的個數(shù)相加減”。由于需要借助通分找到更小的相同分?jǐn)?shù)單位，其難度要比自然數(shù)、小數(shù)更大，但比自然數(shù)乘法的難度小一些。

（3）多位數(shù)乘一位數(shù)與除數(shù)是一位數(shù)的除法都需要較簡單地運(yùn)用乘法分配律，處于同一層級，學(xué)生理解起來不難。其中除法也不難，如用豎式計(jì)算26÷2，就是將26拆分為（20+6），然后再分別除以2，其本質(zhì)還是乘法分配律。除數(shù)是兩位數(shù)時，算理仍然運(yùn)用乘法分配律。雖然由于除數(shù)較大，具體計(jì)算時要調(diào)商、試商，計(jì)算難度增加，但算理一樣。

（4）多位數(shù)乘兩位數(shù)則需要兩次運(yùn)用分配律，且涉及多個數(shù)相加的分配律，而不只是兩個數(shù)相加，所以該內(nèi)容比前面三個階段的算理更難。

（5）分?jǐn)?shù)、小數(shù)的乘除法處于同一層級。其中，分?jǐn)?shù)乘除法的本質(zhì)是“計(jì)數(shù)單位的個數(shù)乘個數(shù)、計(jì)數(shù)單位乘計(jì)數(shù)單位”，在此過程中多次運(yùn)用交換律與結(jié)合律。一般來說，應(yīng)該先學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘除法，后學(xué)習(xí)小數(shù)乘除法，將小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)來計(jì)算并說理。這樣設(shè)計(jì)課程內(nèi)容將降低小數(shù)乘除法的難度，但現(xiàn)行各版本教材都不是這樣編排的。

運(yùn)算律在上述各層級中都是“隱身”的，因此，在教學(xué)中應(yīng)該讓學(xué)生通過列橫式感悟運(yùn)算律。正如史寧中教授所說的：橫式比豎式重要。計(jì)算教學(xué)中，多讓學(xué)生用橫式表達(dá)計(jì)算過程非常重要，這能為他們正式地學(xué)習(xí)運(yùn)算律、構(gòu)建各運(yùn)算律的模型積累基本的活動經(jīng)驗(yàn)。

【階段3】理性符號化：整體把握用字母符號表示的五大運(yùn)算律

本階段內(nèi)容各個版本教材都會編排，但不同教材的編寫方式不同?，F(xiàn)行多數(shù)版本教材都以“運(yùn)算”為主線，先學(xué)習(xí)加法的交換律、結(jié)合律，再學(xué)習(xí)乘法的交換律、結(jié)合律，最后學(xué)習(xí)乘法對加法的分配律。但北師大版教材以“運(yùn)算律”為主線，先學(xué)習(xí)加法、乘法的交換律，再學(xué)習(xí)加法、乘法的結(jié)合律，最后學(xué)習(xí)分配律。不同版本教材的編排方式各有優(yōu)點(diǎn)和不足，教學(xué)的關(guān)鍵是探究發(fā)現(xiàn)運(yùn)算律的方式是什么。北師大版教材的編寫在這方面有很好的體現(xiàn)，后文將具體介紹。

【階段4】解釋遷移：應(yīng)用運(yùn)算律靈活解決簡單問題

小學(xué)階段要求學(xué)生簡單地運(yùn)用運(yùn)算律進(jìn)行簡便計(jì)算。然而，有意識地、自主地進(jìn)行簡便計(jì)算對小學(xué)生而言很難。其原因較為復(fù)雜，既有學(xué)習(xí)態(tài)度方面的問題，也有知識掌握不牢固、錯誤運(yùn)用運(yùn)算律等因素，但最主要的因素還是學(xué)生的算術(shù)思維在“作祟”，因而不能從“結(jié)構(gòu)”的角度整體研究算式的特征。

真正理解運(yùn)算律需要學(xué)生具備一定的代數(shù)思維，或者說學(xué)習(xí)運(yùn)算律是培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)思維的重要載體。五大運(yùn)算律中，加法與乘法的交換律只涉及兩個運(yùn)算對象，學(xué)生容易掌握，但需要讓學(xué)生認(rèn)識到“交換位置”進(jìn)行運(yùn)算不是在所有情況下都適用的，如在減法和除法中就不成立。而學(xué)生最易混淆的是加法、乘法的結(jié)合律及乘法對加法的分配律。它們都涉及三個運(yùn)算對象、兩次運(yùn)算，尤其是分配律中還要進(jìn)行兩次不同的運(yùn)算。雖然五大運(yùn)算律是顯而易見的事實(shí)，單獨(dú)認(rèn)識某一個都較為容易，但運(yùn)用運(yùn)算律解決實(shí)際問題時卻極易出錯。表面上看是學(xué)生容易混淆不同運(yùn)算律，實(shí)際上卻是學(xué)生的算術(shù)思維在“作祟”：總想算出某個算式的具體數(shù)值，而不能有效運(yùn)用運(yùn)算律，從整體結(jié)構(gòu)的角度觀察算式，因?yàn)檫@需要學(xué)生具有一定的代數(shù)思維水平。

例如，計(jì)算87+38+23時，大多數(shù)學(xué)生習(xí)慣性地按照運(yùn)算順序逐步計(jì)算，而不會“主動地”先觀察算式中每個數(shù)的特點(diǎn)，然后正確運(yùn)用定律進(jìn)行簡便計(jì)算。在算術(shù)運(yùn)算中，按照運(yùn)算法則“先算小括號里面的，再算中括號里面的；先算乘除法，再算加減法”總能計(jì)算出結(jié)果，這樣程序性的計(jì)算并不能體現(xiàn)運(yùn)算律的價值。而代數(shù)運(yùn)算不同，沒有運(yùn)算律可以說“寸步難行”。如計(jì)算代數(shù)式9+2（x-3）時，因?yàn)槔ㄌ柪锼悴怀鼍唧w的數(shù)，所以必須運(yùn)用分配律“去掉括號”得到2x+3，這是算術(shù)運(yùn)算與代數(shù)運(yùn)算的真正分野。由算術(shù)運(yùn)算進(jìn)步到代數(shù)運(yùn)算的關(guān)鍵在于數(shù)系運(yùn)算律（特別是分配律）的系統(tǒng)運(yùn)用，即以通性求通解。在算術(shù)運(yùn)算中基本不用分配律，乃是數(shù)學(xué)的石器時代；及至代數(shù)運(yùn)算，則系統(tǒng)地運(yùn)用分配律去簡化各種各樣的代數(shù)式和代數(shù)關(guān)系，這就進(jìn)步到數(shù)學(xué)的銅器時代了。［1］12五大運(yùn)算律中最有力量的是分配律，它也是學(xué)生最難理解和運(yùn)用的，在后文教學(xué)建議部分將進(jìn)一步分析如何引導(dǎo)學(xué)生從模式建構(gòu)角度學(xué)習(xí)分配律。

三、運(yùn)算律單元教學(xué)的幾點(diǎn)建議

關(guān)于運(yùn)算律單元的教學(xué)，筆者從學(xué)習(xí)進(jìn)階、模型建構(gòu)及對教師專業(yè)知識的期望角度提出以下建議。

（一）“正式”學(xué)習(xí)運(yùn)算律時不要從“解決現(xiàn)實(shí)問題”導(dǎo)入

如前所述，如果教師在學(xué)生處于階段1、階段2時就“捅破”加法、乘法具有交換律、結(jié)合律，在學(xué)生正式認(rèn)識運(yùn)算律時就不需要再從解決現(xiàn)實(shí)問題入手。如果教師從解決問題入手，學(xué)生必然列一個算式就能計(jì)算出得數(shù)，至此已能解決問題。此時教師再引導(dǎo)學(xué)生通過觀察兩個結(jié)果相等的不同算式，得到兩個算式相等的活動，學(xué)生已不再有學(xué)習(xí)的需求與愿望。北師大版教材關(guān)于如何學(xué)習(xí)運(yùn)算律的編排方式值得借鑒，主要包括以下幾步。

第一步，直接從觀察一組純數(shù)學(xué)算式入手，尋找算式之間的等量關(guān)系，建立等式，并用語言描述其特點(diǎn)，初步感悟運(yùn)算律（如圖1）。第二步，舉生活事例解釋等式左右兩邊算式的意義，緊扣運(yùn)算的意義而不強(qiáng)調(diào)計(jì)算的結(jié)果。如果是解決實(shí)際問題，必然要強(qiáng)調(diào)計(jì)算結(jié)果。但從計(jì)算結(jié)果相等的角度認(rèn)識等式，沒有必要寫出等式，且培養(yǎng)的只是學(xué)生的算術(shù)思維。而緊扣算式的意義也就是加法、乘法的意義，從而判斷兩個算式之間能不能寫“=”卻是典型的代數(shù)思維。第三、第四步，用字母表達(dá)式表示運(yùn)算律，并運(yùn)用運(yùn)算律進(jìn)行簡便計(jì)算。

圖1 北師大版教材“加法結(jié)合律”示意圖

讓學(xué)生經(jīng)歷歸納算式感悟特征、用生活事例（現(xiàn)實(shí)模型）解釋等式意義及理解運(yùn)算律的本質(zhì)、符號表示達(dá)到形式化理解等過程，既不脫離運(yùn)算律的數(shù)學(xué)本質(zhì)，又有助于學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)階。這樣的學(xué)習(xí)不僅符合學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且能潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生的模型意識與代數(shù)思維，使知識目標(biāo)與能力、素養(yǎng)目標(biāo)有機(jī)融為一體。

（二）幾何直觀模型貫穿運(yùn)算律單元教學(xué)的始終

幾何直觀模型是理解代數(shù)知識的重要抓手，它能將抽象的代數(shù)內(nèi)容可視化。對小學(xué)生而言，借助幾何直觀模型理解運(yùn)算律更為重要。幾何直觀模型要貫穿運(yùn)算律單元的始終，具體內(nèi)容如下。

加法交換律、結(jié)合律：線段圖。

乘法交換律：矩形模型，可以是點(diǎn)陣圖、方格圖，還可以抽象為長方形面積圖。

乘法結(jié)合律：長方體模型，由“小正方體”堆積而成的長方體。

乘法分配律：組合的矩形模型。

下面簡要說明如何用組合的矩形模型來學(xué)習(xí)乘法分配律（圖省略）。

首先，用若干個有相同“長”或“寬”的長方形，拼擺成更大的長方形，并用算式表示拼前、拼后各長方形的面積，感悟能夠“拼成”的秘密——共用的邊（算式中就是“公因子”）。

其次，以4×9 的長方形為“基礎(chǔ)圖形”，再補(bǔ)一個長方形使之成為更大的長方形，仍用算式表示面積關(guān)系。學(xué)生有的按照“長”不變、有的按照“寬”不變來補(bǔ)新的長方形。匯報時，先交流“長”不變的情況，引導(dǎo)學(xué)生感悟面積之間的關(guān)系式為9×（4+c）=9×4+9×c。

最后，在前面“補(bǔ)圖形”的基礎(chǔ)上，通過課件演示，讓學(xué)生明白“4”“9”都可以變，所以面積之間的關(guān)系式為a×（b+c）=a×b+a×c，這就是乘法分配律。

（三）教師應(yīng)該從更高站位認(rèn)識運(yùn)算律的價值

運(yùn)算律不僅能幫助人們進(jìn)行簡便計(jì)算，它在數(shù)集擴(kuò)充中也扮演了非常重要的角色。例如：為了滿足減法運(yùn)算的封閉性（即兩個相同集合中的對象作運(yùn)算，其結(jié)果仍屬于該集合），產(chǎn)生負(fù)數(shù)，即在自然數(shù)集基礎(chǔ)上擴(kuò)充為整數(shù)集；為了滿足除法運(yùn)算的封閉性，產(chǎn)生分?jǐn)?shù)，自然數(shù)集擴(kuò)充為有理數(shù)集。在擴(kuò)充后的新的數(shù)集（有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集、復(fù)數(shù)集）中，自然數(shù)的運(yùn)算律必須依然保持有效。運(yùn)算律的重要性同樣體現(xiàn)在代數(shù)學(xué)中，整個代數(shù)學(xué)所發(fā)展的就是如何有系統(tǒng)、有效力地運(yùn)用這一系列簡樸的、普遍成立的數(shù)系運(yùn)算律去解決各種各樣的代數(shù)問題。基本運(yùn)算律以及初中階段要學(xué)習(xí)的指數(shù)運(yùn)算法則，被統(tǒng)稱為“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的“通性通法”，而被稱為通性通法的數(shù)學(xué)內(nèi)容都是最根本、最重要的。

對于這些內(nèi)容，只要求小學(xué)教師有較高站位的了解，感興趣的教師可以查閱相關(guān)資料進(jìn)一步學(xué)習(xí)，適當(dāng)時機(jī)可以跟對此感興趣的學(xué)生一起來研究，因?yàn)殛P(guān)注這樣的“基本問題”是培養(yǎng)拔尖創(chuàng)新人才的根本。因此，即使在小學(xué)也要讓學(xué)生感悟到學(xué)數(shù)學(xué)不只是為了解決身邊“買東西、旅游、運(yùn)貨”等現(xiàn)實(shí)問題，更是為了發(fā)展自身的思維能力。