基于數(shù)學(xué)本質(zhì)的單元教學(xué)內(nèi)容進(jìn)階分析路徑*

□劉琳娜

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡稱“2022 年版課標(biāo)”）提出，要“充分發(fā)揮核心素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)目標(biāo)對教學(xué)過程的指導(dǎo)作用，在實(shí)現(xiàn)知識進(jìn)階的同時(shí)，體現(xiàn)核心素養(yǎng)的進(jìn)階”。這是“進(jìn)階”這一概念首次出現(xiàn)在我國的課程標(biāo)準(zhǔn)中。學(xué)習(xí)進(jìn)階是指“在一個(gè)較大時(shí)間跨度內(nèi)，學(xué)生對某一學(xué)習(xí)主題的思考和認(rèn)識不斷豐富、精致和深入的一種過程”［1］。在學(xué)習(xí)進(jìn)階視角下思考“教什么”“如何教”是落實(shí)“教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化”和“單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)”等課程實(shí)施要求的有效方式和路徑。無論是教材中的教學(xué)單元，還是以某一數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)思想或數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為主題的更大的教學(xué)單元，教師在教學(xué)時(shí)都需要厘清教學(xué)內(nèi)容的進(jìn)階，找到學(xué)生知識經(jīng)驗(yàn)與核心素養(yǎng)方面的關(guān)鍵“升階點(diǎn)”，有依據(jù)地將學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行整體設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)化教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展。

教學(xué)內(nèi)容進(jìn)階一般指某個(gè)單元所要教或?qū)W的內(nèi)容在一個(gè)時(shí)間跨度內(nèi)逐級深化的過程。那么，怎樣才能科學(xué)合理地劃分教材中單元教學(xué)內(nèi)容的進(jìn)階呢？首先，把握教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)是選擇關(guān)鍵進(jìn)階變量、構(gòu)建單元教學(xué)內(nèi)容進(jìn)階分析框架的主要依據(jù)；其次，教材是厘清教學(xué)內(nèi)容進(jìn)階的主要抓手和載體，通過不同版本教材的對比、分析，教師能夠看到教材給出的相同或不同的學(xué)習(xí)路徑，從而有依據(jù)地劃分進(jìn)階層次；最后，在進(jìn)階分析的基礎(chǔ)上找準(zhǔn)關(guān)鍵“升階點(diǎn)”，依據(jù)“升階點(diǎn)”整體把握或重構(gòu)教學(xué)單元，提升教學(xué)效率，提高教學(xué)質(zhì)量。

一、依據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)在邏輯，搭建單元教學(xué)內(nèi)容進(jìn)階分析框架

指向核心素養(yǎng)的單元教學(xué)已經(jīng)成為當(dāng)前基礎(chǔ)教育改革的熱點(diǎn)話題。然而，筆者分析了大量教學(xué)設(shè)計(jì)的文本，發(fā)現(xiàn)一線教師對教材單元教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行的橫向、縱向分析，大多只是知識點(diǎn)的簡單羅列，很少能挖掘出數(shù)學(xué)知識之間本質(zhì)的內(nèi)在邏輯關(guān)系。也就是說，一線教師的單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)往往存在“有單元無結(jié)構(gòu)”“為創(chuàng)新而整合”的現(xiàn)象，而產(chǎn)生這一現(xiàn)象的根本原因就在于他們沒有很好地把握數(shù)學(xué)本質(zhì)。

“數(shù)學(xué)教育理論和改革主張必須體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，如此才能用于指導(dǎo)數(shù)學(xué)教育教學(xué)改革的實(shí)踐?！保?］2022 年版課標(biāo)也指出：“在教學(xué)中要重視對教學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識體系。”這就要求一線教師必須準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)。那么，數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)是什么呢？是對數(shù)學(xué)基本概念的理解、對數(shù)學(xué)思想方法的把握、對數(shù)學(xué)特有思維方式的感悟、對數(shù)學(xué)美的鑒賞和對數(shù)學(xué)精神的追求。［3］

以“整數(shù)加減法”主題為例，這是一個(gè)學(xué)習(xí)時(shí)間跨度較大的教學(xué)單元，學(xué)習(xí)過程從一年級一直持續(xù)到三年級。在教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)，這一教學(xué)內(nèi)容零散瑣碎，不利于學(xué)生建立“數(shù)的運(yùn)算的一致性”。進(jìn)一步分析可知，運(yùn)算的本質(zhì)無外乎運(yùn)算的意義（概念）、運(yùn)算方法與結(jié)果（算理與算法）兩個(gè)維度。具體來說，運(yùn)算的意義主要體現(xiàn)在解決現(xiàn)實(shí)問題的情境的類型和復(fù)雜程度上；運(yùn)算結(jié)果則需要通過運(yùn)算方法，即操作直觀學(xué)具或抽象計(jì)數(shù)單位得出，其背后蘊(yùn)含十進(jìn)、位值等深刻的數(shù)學(xué)思想方法。這些都是刻畫“整數(shù)加減法”內(nèi)容進(jìn)階的關(guān)鍵變量。那么，加減運(yùn)算的現(xiàn)實(shí)情境模型（類型）有哪些？在算理和算法上，哪些內(nèi)容是學(xué)生思維上的難點(diǎn)？對這些問題的回答能夠幫助教師從學(xué)科本質(zhì)的角度整體把握教學(xué)內(nèi)容的進(jìn)階，進(jìn)而設(shè)計(jì)出恰當(dāng)?shù)膶W(xué)生學(xué)習(xí)路徑和有效的教學(xué)任務(wù)序列。

二、深入分析教材單元內(nèi)容，合理劃分進(jìn)階層級水平

知識，尤其是體系化、專業(yè)化的科學(xué)知識，會伴隨社會大生產(chǎn)催生出相關(guān)學(xué)科?！皩W(xué)科”基本可以分為“科學(xué)研究中的學(xué)科”和“教育中的學(xué)科”兩類。“教育中的學(xué)科”所要解決的重點(diǎn)問題是師生的心理邏輯與學(xué)科知識邏輯之間的關(guān)系［4］。教材編寫屬于“教育中的學(xué)科”研究范疇，從教材的本義看，其核心問題是“通過何種方式將哪些內(nèi)容傳遞給兒童”［5］。教材編寫既要遵循數(shù)學(xué)學(xué)科歷史發(fā)展的脈絡(luò)，又要考慮學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的認(rèn)知發(fā)展水平、學(xué)習(xí)興趣和可接受程度。

例如，在“圖形測量”主題的教學(xué)中，教材先安排學(xué)習(xí)測量一維“線”的長度，再測量二維“面”和三維“體”的大小，這樣的編排順序既符合數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展邏輯，也遵循學(xué)生學(xué)習(xí)的心理邏輯。具體到“周長和面積”單元，不同版本教材則編排了不同的學(xué)習(xí)路徑?，F(xiàn)行教材大多數(shù)是讓學(xué)生先在三年級上冊學(xué)習(xí)“測量周長”，再在三年級下冊學(xué)習(xí)“測量面積”。上海版教材獨(dú)辟蹊徑，讓學(xué)生在三年級第一學(xué)期學(xué)習(xí)“面積”，三年級第二學(xué)期學(xué)習(xí)“周長”。由于周長的測量對象是抽象出來的“線”，面積的測量對象是較為直觀的、看得見摸得著的“面”，所以對于學(xué)生來說，“線”的理解需要更強(qiáng)的抽象能力，他們在解決周長相關(guān)問題時(shí)，往往會被視覺沖擊力更大的“面”所迷惑，從而混淆周長與面積的概念。那么，在學(xué)習(xí)“周長”與“面積”時(shí)，應(yīng)如何劃分相關(guān)單元的內(nèi)容進(jìn)階，怎樣確定學(xué)生學(xué)習(xí)的“升階點(diǎn)”呢？根據(jù)認(rèn)知邏輯，學(xué)生應(yīng)先學(xué)習(xí)“面積”，還是先學(xué)習(xí)“周長”？兩個(gè)概念是否可以同時(shí)學(xué)習(xí)，然后通過對比加深理解？這些問題的答案直接決定了教材教學(xué)內(nèi)容的編排順序和教學(xué)任務(wù)的設(shè)計(jì)路徑。教師只要厘清這些問題，就為單元教學(xué)奠定了基礎(chǔ)。

三、基于學(xué)生學(xué)習(xí)的“升階點(diǎn)”，整體設(shè)計(jì)單元教學(xué)路徑

學(xué)習(xí)進(jìn)階的確定并不意味著學(xué)生發(fā)展軌跡的唯一性。［6］在同一層級中，教師可以設(shè)計(jì)不同的學(xué)習(xí)路徑和教學(xué)任務(wù)序列（如同課異構(gòu)）；在相同的教學(xué)任務(wù)下，學(xué)生也可以有不同的學(xué)習(xí)和發(fā)展方式。

波斯納等人在教師課程開發(fā)領(lǐng)域引入了“學(xué)程設(shè)計(jì)（Course Design）”的概念，指出課程是需要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，教學(xué)計(jì)劃則涉及具體的教學(xué)策略，只有教學(xué)過程才會導(dǎo)致學(xué)習(xí)的發(fā)生，“學(xué)程設(shè)計(jì)”便是在課程與教學(xué)之間架設(shè)一座橋梁。［7］基于學(xué)習(xí)進(jìn)階的單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)設(shè)計(jì)正是這樣一種學(xué)程設(shè)計(jì)：在一段時(shí)間內(nèi)，針對某一單元學(xué)習(xí)內(nèi)容，對教師教和學(xué)生學(xué)的進(jìn)程進(jìn)行規(guī)劃，是一個(gè)復(fù)雜的動態(tài)化的過程。例如，教師劃定了某個(gè)單元內(nèi)容進(jìn)階的層級水平后，根據(jù)教和學(xué)的需要，既可以選擇從層級一開始教學(xué)，也可以選擇從層級二開始教學(xué)，還可以將相鄰的幾個(gè)層級進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合，從而產(chǎn)生指向?qū)W習(xí)終點(diǎn)（教學(xué)目標(biāo)）的靈活、豐富的學(xué)習(xí)路徑。這就是所謂的“教學(xué)有法，教無定法”。由此，筆者構(gòu)建了基于學(xué)習(xí)進(jìn)階的單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)設(shè)計(jì)模型（如圖1）。

圖1 基于學(xué)習(xí)進(jìn)階的單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)設(shè)計(jì)模型

2022 年版課標(biāo)中提到較多的一個(gè)關(guān)鍵詞是結(jié)構(gòu)化。實(shí)際上，“結(jié)構(gòu)”所關(guān)注的就是整體與部分的關(guān)系。［8］“單元結(jié)構(gòu)化”即將單元教學(xué)內(nèi)容（整體）合理分解為具體課時(shí)（部分）的過程。上述模型表明，厘清單元教學(xué)內(nèi)容進(jìn)階和構(gòu)建學(xué)生“升階點(diǎn)”是實(shí)施單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)的起點(diǎn)，基于此，通過學(xué)生調(diào)研，對“升階點(diǎn)”假設(shè)進(jìn)行驗(yàn)證或調(diào)整，再依據(jù)“升階點(diǎn)”選擇恰當(dāng)合理的學(xué)習(xí)路徑，設(shè)計(jì)單元教學(xué)任務(wù)序列，最后在整體把握教學(xué)內(nèi)容進(jìn)階的基礎(chǔ)上分解或整合各個(gè)教學(xué)任務(wù)，將其劃分為有內(nèi)在邏輯關(guān)系、共同指向單元目標(biāo)達(dá)成的多個(gè)課時(shí)。這就是對教學(xué)內(nèi)容在進(jìn)階視域下進(jìn)行“結(jié)構(gòu)化”處理的過程。在教學(xué)中，教師借助具體學(xué)習(xí)任務(wù)及其評分量規(guī)進(jìn)行分層評價(jià)反饋，能夠?qū)Σ煌綄W(xué)生進(jìn)行有針對性的指導(dǎo)，并清晰地看到學(xué)生的進(jìn)階軌跡。

尋找“升階點(diǎn)”是單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。學(xué)習(xí)路徑的選擇、單元教學(xué)任務(wù)的整體規(guī)劃，乃至各個(gè)課時(shí)的劃分、課堂活動的設(shè)計(jì)，都源于教師對學(xué)生“升階點(diǎn)”的準(zhǔn)確把握。那么，怎樣尋找“升階點(diǎn)”呢？基于數(shù)學(xué)本質(zhì)科學(xué)劃定單元教學(xué)內(nèi)容進(jìn)階，從低一階向高一階邁進(jìn)的節(jié)點(diǎn)就是“升階點(diǎn)”。這些“升階點(diǎn)”大部分是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，需要教師重點(diǎn)關(guān)注或拉長學(xué)習(xí)過程。但也有些內(nèi)容學(xué)生理解起來并不困難，這些易理解、好跨越的“升階點(diǎn)”所鏈接的兩個(gè)或多個(gè)“階”，在教學(xué)中就可以適當(dāng)進(jìn)行整合。

對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)階進(jìn)行分析是實(shí)現(xiàn)單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)的基本前提。要想科學(xué)合理地劃分層級，需要通過閱讀文獻(xiàn)把握數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，找到刻畫學(xué)習(xí)進(jìn)階的關(guān)鍵“變量”，搭建分析框架?？傊?，在學(xué)習(xí)進(jìn)階視域下思考單元教學(xué)，更加凸顯了教學(xué)中“結(jié)構(gòu)”的力量。