小學(xué)數(shù)學(xué)“0～9數(shù)的認(rèn)識”單元知識結(jié)構(gòu)的確立（下）*

□徐文彬 陳韻嫻,2 潘禹辰

“體會(huì)數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間”的“三重聯(lián)系”［1］，是確立單元知識結(jié)構(gòu)的重要依據(jù)。第一重聯(lián)系指向?qū)W科知識，視為單元的內(nèi)部知識結(jié)構(gòu)；第二、三重聯(lián)系指向相關(guān)學(xué)科或領(lǐng)域知識、經(jīng)驗(yàn)性知識，視為單元的外部知識結(jié)構(gòu)。兩者共同組成一個(gè)較為完整的知識結(jié)構(gòu)體系。

一、“0～9數(shù)的認(rèn)識”單元的內(nèi)部知識結(jié)構(gòu)

依據(jù)本刊上一期刊發(fā)的《小學(xué)數(shù)學(xué)“0～9數(shù)的認(rèn)識”單元知識結(jié)構(gòu)的確立（上）》的前序分析，“0～9數(shù)的認(rèn)識”單元的內(nèi)部知識結(jié)構(gòu)以落實(shí)“數(shù)感”培養(yǎng)為導(dǎo)向，以“十進(jìn)位值制”為核心概念，劃分為數(shù)的意義、數(shù)的形式、數(shù)的運(yùn)算三個(gè)主要的知識模塊，并可進(jìn)一步細(xì)化為十個(gè)子模塊。對“0～9數(shù)的認(rèn)識”單元的內(nèi)部知識結(jié)構(gòu)進(jìn)行編碼，A1、A2、A3分別對應(yīng)數(shù)的意義、數(shù)的形式、數(shù)的運(yùn)算三個(gè)主模塊，B1～B10則對應(yīng)十個(gè)子模塊（如表1）。

表1 “0～9數(shù)的認(rèn)識”單元的內(nèi)部知識結(jié)構(gòu)

“0～9 數(shù)的認(rèn)識”雖然不包括“10”，但已經(jīng)涉及了十進(jìn)位值制。十進(jìn)位值制意味著記數(shù)遵循滿十進(jìn)一的規(guī)則，記數(shù)制的基本符號包括“0～9”；反之，將“0～9”作為整體，便說明其所在的記數(shù)系統(tǒng)采用十進(jìn)位值制。因此，從整數(shù)范圍看，“0～9 數(shù)的認(rèn)識”單元應(yīng)將十進(jìn)位值制作為核心概念，充分發(fā)揮其孕伏作用，并為后續(xù)“10～20”數(shù)的認(rèn)識、100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識等更大整數(shù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

十進(jìn)位值制作為一種思想，由兩個(gè)基本原則決定：一是僅僅使用“0～9”10個(gè)數(shù)字符號；二是通過把這10 個(gè)數(shù)字符號放在不同的數(shù)位上，寫下所有可能數(shù)出的數(shù)。［2］前者體現(xiàn)十進(jìn)制，決定了以“10”為計(jì)數(shù)的基礎(chǔ)或進(jìn)位制，催生更多數(shù)位以表示更多的數(shù)；后者體現(xiàn)位值制，即位置值制，指相同的計(jì)數(shù)符號在不同位置可以表示不同大小的值。［3］

（一）模塊A1：數(shù)的意義

數(shù)的意義針對自然數(shù)展開，以數(shù)概念的兩個(gè)屬性基數(shù)、序數(shù)為基礎(chǔ)，衍生出數(shù)的順序、數(shù)的大小比較、數(shù)的分解與組成。

1.子模塊B1：基數(shù)

“基數(shù)”是數(shù)概念的屬性之一，它體現(xiàn)為自然數(shù)是一切等價(jià)的有限集合的標(biāo)記，表示集合所含元素的個(gè)數(shù)，回答“有幾個(gè)”的問題。弗賴登塔爾將它稱為“數(shù)量的數(shù)”形式化的結(jié)果。從康托爾集合的勢的觀點(diǎn)來看，元素個(gè)數(shù)的概念可以通過“等勢”而非“計(jì)數(shù)”得到，即兩個(gè)集合之間一一對應(yīng)。［4］164這種淺層抽象是人類認(rèn)識自然數(shù)的“第一步抽象”［5］107，也易于被學(xué)生接納，是教材引入數(shù)的普遍方法，即創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)背景，表達(dá)現(xiàn)實(shí)物體數(shù)量的多少，以半抽象的圖像（小方塊、小圓圈等）為對應(yīng)的中介，在形式上逐漸去除數(shù)量的后綴名詞，在實(shí)質(zhì)上逐漸去除數(shù)量所依賴的現(xiàn)實(shí)背景，進(jìn)而將數(shù)量抽象為數(shù)。簡言之，就是“實(shí)物的數(shù)量—半抽象圖形的個(gè)數(shù)—數(shù)”。

2.子模塊B2：序數(shù)

“序數(shù)”是數(shù)概念的另一個(gè)屬性，它體現(xiàn)為自然數(shù)能表示某個(gè)有序集合中每個(gè)元素所占的位置，反映事物記數(shù)的順序性，回答“第幾個(gè)”的問題。“第幾個(gè)”是教學(xué)中常常被強(qiáng)調(diào)的一個(gè)方面，但教師往往會(huì)忽視其更具教學(xué)意義的本質(zhì)——弗賴登塔爾稱之為“計(jì)數(shù)的數(shù)”，通過完全歸納法和皮亞諾公理達(dá)到形式化［4］169。具體而言，后一個(gè)數(shù)是前一個(gè)數(shù)的后繼數(shù)，通過“后繼”，以“一”為單位無限制地重復(fù)“加一”，就能產(chǎn)生任意自然數(shù)n。這是一種較為深層的抽象［5］108，是自然數(shù)之間的大小關(guān)系、運(yùn)算關(guān)系的重要基礎(chǔ)，有助于整體認(rèn)識自然數(shù)。

3.子模塊B3：數(shù)的順序

“數(shù)的順序”由序數(shù)屬性衍生而來。根據(jù)序數(shù)的屬性，自然數(shù)按自小而大的順序可以標(biāo)記為“0，1，2，3……n，n+1……”自然數(shù)序列是一個(gè)無限延伸的過程，且直觀體現(xiàn)出后一個(gè)數(shù)都比前一個(gè)數(shù)大1的關(guān)系，這就是數(shù)的順序。

4.子模塊B4：數(shù)的大小比較

“數(shù)的大小比較”由基數(shù)和序數(shù)的屬性共同衍生而來，是基于數(shù)量集合所含元素多少的比較，或結(jié)合數(shù)序抽象為數(shù)的大小比較。一方面，可以通過對應(yīng)關(guān)系，將兩個(gè)及以上同質(zhì)或不同質(zhì)的離散物體一一對應(yīng)，得到“同樣多”“誰比誰多（少）”的數(shù)量關(guān)系，并抽象出數(shù)的大小比較；另一方面，也可以直接通過計(jì)數(shù)得到集合各自所含元素的數(shù)量，這需要結(jié)合數(shù)序進(jìn)行，較前者更為抽象。

5.子模塊B5：數(shù)的分解與組成

“數(shù)的分解與組成”由基數(shù)的屬性衍生而來，一般從“計(jì)數(shù)”的角度出發(fā)，按照“個(gè)與群結(jié)合”的原則，將一個(gè)數(shù)分解為幾個(gè)一、幾個(gè)十、幾個(gè)百等，也就是這個(gè)數(shù)分別包含了幾個(gè)這樣的計(jì)數(shù)單位，這同時(shí)也與數(shù)的讀、寫相呼應(yīng)。

（二）模塊A2：數(shù)的形式

數(shù)的形式針對我國自然數(shù)的表示方式展開，包括讀數(shù)、寫數(shù)兩個(gè)子模塊。

1.子模塊B6：讀數(shù)

中國漢語的口語記數(shù)系統(tǒng)本質(zhì)上是一種“乘法分群數(shù)系”，遵循“符號+數(shù)位”的讀法［6］8，讀出計(jì)數(shù)單位及這些單位的個(gè)數(shù)。為了讀數(shù)簡潔，依照“從高位讀起，四位一級，每級按照個(gè)級的方法，在級尾給出級名，級首有零一定唱，級中有零一個(gè)算、級尾有零全不管”［7］140的法則，與“位值原則記數(shù)法”相呼應(yīng)。“0～9數(shù)的認(rèn)識”僅涉及個(gè)位，讀數(shù)時(shí)計(jì)數(shù)單位“一（個(gè)）”省略不讀。

2.子模塊B7：寫數(shù)

“寫數(shù)”一般有兩種方式：一是位值原則記數(shù)法，借助數(shù)位表記數(shù)，哪個(gè)數(shù)位上有幾個(gè)計(jì)數(shù)單位就寫“幾”，一個(gè)計(jì)數(shù)單位都沒有就寫“0”，故一個(gè)數(shù)字不僅有自身值，還有位置值；二是科學(xué)記數(shù)法，通過合并位置值與自身值來描述數(shù)量信息，寫成10的若干次冪的和的形式。［7］141“0～9數(shù)的認(rèn)識”雖然只涉及“0～9”，但作為組成所有自然數(shù)的符號，其書寫理應(yīng)受到重視。

（三）模塊A3：數(shù)的運(yùn)算

數(shù)的運(yùn)算針對自然數(shù)展開，子模塊加法運(yùn)算、減法運(yùn)算和連加、連減、混合運(yùn)算均由運(yùn)算意義、運(yùn)算律、運(yùn)算順序、解決實(shí)際問題等知識內(nèi)容構(gòu)成。其中，運(yùn)算律由運(yùn)算意義決定，作為運(yùn)算本身固有的一種規(guī)律，又規(guī)定了運(yùn)算順序；解決實(shí)際問題則在這三者基礎(chǔ)上，聯(lián)系實(shí)際情境展開。

1.子模塊B8～B10之運(yùn)算意義

“運(yùn)算意義”實(shí)質(zhì)上由完全歸納法和皮亞諾公理決定，是以計(jì)數(shù)為基礎(chǔ)的重復(fù)后繼的表達(dá)。具體而言，正向計(jì)數(shù)為加，反向計(jì)數(shù)為減，且減法是加法的逆運(yùn)算；幾個(gè)幾個(gè)正向計(jì)數(shù)為乘，反向計(jì)數(shù)為除（能夠數(shù)到0就是整除，不能數(shù)到0還剩幾個(gè)就是有余數(shù)的除法），且除法是乘法的逆運(yùn)算。

“0～9 數(shù)的認(rèn)識”涉及加法與減法。加法是從一個(gè)加數(shù)開始（不包括本身），接著往下數(shù)另一個(gè)加數(shù)那么多的個(gè)數(shù)，其本質(zhì)特征為“加上一個(gè)自然數(shù)比原來的數(shù)大”（減法同理）。［6］195在本單元的9以內(nèi)數(shù)加減法中，學(xué)生往往通過計(jì)數(shù)來完成運(yùn)算，常用的是“兩重”計(jì)數(shù)，比如在“6+3=9”中，既要知道從6開始往下數(shù)，又要知道應(yīng)繼續(xù)往下數(shù)3個(gè)。［8］

2.子模塊B8～B10之運(yùn)算律

小學(xué)階段涉及的五大運(yùn)算律可以分為以下三類：加法和乘法的交換律、加法和乘法的結(jié)合律、乘法對加法的分配律。從本質(zhì)上看，加法和乘法的交換律只改變算式中數(shù)的位置，而不改變運(yùn)算順序；加法和乘法的結(jié)合律只改變算式的運(yùn)算順序，但不改變數(shù)的位置；乘法對加法的分配律則體現(xiàn)了一種加法與乘法的聯(lián)結(jié)。

雖然運(yùn)算律在第二學(xué)段集中學(xué)習(xí)，但在“0～9數(shù)的認(rèn)識”中早已有所滲透。比如，4 朵花放在兩個(gè)筐里，從形式上看，“第一個(gè)筐1 朵，第二個(gè)筐3朵”“第一個(gè)筐3 朵，第二個(gè)筐1 朵”是兩種放法，但若除去筐的位置這一物理特征，這兩種放法在本質(zhì)上是一樣的，這就是“加法交換律”的早期滲透。同樣，在“部分—部分—整體”結(jié)構(gòu)的加法問題中，調(diào)換兩個(gè)加數(shù)的位置，得數(shù)一樣。

3.子模塊B8～B10之運(yùn)算順序

從數(shù)學(xué)史來看，“運(yùn)算順序”是規(guī)定運(yùn)算書寫習(xí)慣的一種約定性知識，具有人為性。有括號時(shí)，先算括號內(nèi)的；沒有括號時(shí)，同級運(yùn)算從左往右依次計(jì)算，非同級運(yùn)算先乘除后加減。目前大部分教材都采用結(jié)合具體情境中每一個(gè)運(yùn)算符號所指向的意義來說明應(yīng)該先算什么、再算什么，但實(shí)際上這種方式并不能說明計(jì)算對應(yīng)誰先誰后的道理。如算式“4-2+3”，按照從左往右的規(guī)定，得數(shù)為5，這或許是因?yàn)槿藗兞?xí)慣從左往右書寫、閱讀，所以就采用從左往右的順序進(jìn)行同級運(yùn)算。

“0～9 數(shù)的認(rèn)識”中的連加、連減、加減混合運(yùn)算就涉及了加減同級運(yùn)算順序的問題，雖然這只是一種約定俗成，但在實(shí)際教學(xué)中，由于學(xué)生年齡尚小，認(rèn)知發(fā)展水平較低，還應(yīng)考慮從情境著手進(jìn)行解釋。

4.子模塊B8～B10之解決實(shí)際問題

不同的問題情境決定了運(yùn)算的結(jié)構(gòu)。與“0～9數(shù)的認(rèn)識”密切相關(guān)的運(yùn)算結(jié)構(gòu)有合并、分開、部分—部分—整體、比較四種類型，依據(jù)未知數(shù)不同，每種類型都有三種變式，每種變式的難度也各不相同。［9］因此，創(chuàng)設(shè)問題情境至關(guān)重要，應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生依據(jù)情境自己講故事，講什么樣的故事就列什么算式，按照“情境—故事—符號（算式）”的路徑解決實(shí)際問題。

二、“0～9數(shù)的認(rèn)識”單元的外部知識結(jié)構(gòu)

依據(jù)教材中例題和習(xí)題的情境、拓展板塊的知識及其他相關(guān)文獻(xiàn)，將“0～9 數(shù)的認(rèn)識”單元的外部知識結(jié)構(gòu)確定為兩個(gè)維度8個(gè)方面（如表2）。

表2 “0～9數(shù)的認(rèn)識”單元的外部知識結(jié)構(gòu)

（一）相關(guān)學(xué)科或領(lǐng)域知識

歷史學(xué)、文化學(xué)、語言學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等多個(gè)學(xué)科或領(lǐng)域都可能與“0～9”密切相關(guān)。

1.歷史學(xué)：與記數(shù)法的起源與發(fā)展相關(guān)的數(shù)學(xué)史

將有關(guān)記數(shù)法的起源與發(fā)展的數(shù)學(xué)史融入教學(xué)，有助于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，理解數(shù)的抽象概念。學(xué)生學(xué)習(xí)自然數(shù)概念的過程與人類自然數(shù)概念的漫長演化道路相吻合。自然數(shù)概念的演化一般經(jīng)歷集合的質(zhì)、手算、群的計(jì)數(shù)、結(jié)繩數(shù)、結(jié)繩數(shù)的計(jì)數(shù)等多個(gè)階段［10］；其后，數(shù)的符號表示與記數(shù)原則又經(jīng)歷了數(shù)千年的發(fā)展，在中國、巴比倫、古埃及、瑪雅等國家和地區(qū)先后出現(xiàn)了各不相同的記數(shù)系統(tǒng)，并經(jīng)過不斷的傳播與演變，至16世紀(jì)形成國際通用的采用十進(jìn)位值制的印度-阿拉伯記數(shù)系統(tǒng)，但諸如羅馬數(shù)字的一些記數(shù)符號如今仍被使用。

2.文化學(xué)：十進(jìn)位值制及相關(guān)計(jì)數(shù)工具

十進(jìn)位值制的誕生是具有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的“文化創(chuàng)造”，基底為“10”與人類生理上具有十根手指相符，學(xué)生應(yīng)意識到用十計(jì)數(shù)是人類精神文化的重要層面。在我國，算籌、算盤是十進(jìn)位值制的數(shù)學(xué)文化的產(chǎn)物，作為齊性、邏輯結(jié)構(gòu)化的計(jì)數(shù)工具，即使算籌或算珠的個(gè)數(shù)相同，但如果它們所在的位置不同，那么它們表示的意義也不同，這為數(shù)的表示與運(yùn)算帶來了便利。

3.語言學(xué)：數(shù)字的多種語言表達(dá)

當(dāng)下的教育注重學(xué)生第二語言的學(xué)習(xí)，這有助于拓寬學(xué)生國際交流的視野。在我國，英語的學(xué)習(xí)非常廣泛，大多數(shù)小學(xué)生的英語已經(jīng)入門，能說出較小自然數(shù)的英語表達(dá)。

4.經(jīng)濟(jì)學(xué)：數(shù)與運(yùn)算在商業(yè)中的應(yīng)用

貿(mào)易、定價(jià)、貨幣、借貸等活動(dòng)是“數(shù)”的概念形成的源泉，有助于學(xué)生體會(huì)數(shù)與運(yùn)算在不同商業(yè)場景中的功能。例如，貿(mào)易中?？吹剿姆N算術(shù)運(yùn)算：加法用于求總數(shù)，減法用于結(jié)賬，乘法用于重復(fù)計(jì)算，除法用于等分。［11］又如，貨幣設(shè)計(jì)中蘊(yùn)藏著數(shù)學(xué)智慧：為了防止數(shù)字被篡改，多采用中文大寫數(shù)字“壹”，而不采用中文小寫數(shù)字“一”。

5.計(jì)算機(jī)科學(xué)：計(jì)算機(jī)的二進(jìn)制及其運(yùn)算

國際通用的阿拉伯?dāng)?shù)字采用進(jìn)位制中以“10”為基底的記數(shù)系統(tǒng)，然而也有很多領(lǐng)域采用進(jìn)位但基底非“10”的記數(shù)系統(tǒng)。比如，現(xiàn)代的計(jì)算機(jī)和依賴計(jì)算機(jī)的設(shè)備中均使用二進(jìn)制——以“2”為基底的進(jìn)位制，只需用“0”和“1”兩個(gè)數(shù)字符號，用以“2”為底的冪作為位權(quán)，逢二進(jìn)一。二進(jìn)位制的四則運(yùn)算規(guī)則十分簡單，簡化了電子計(jì)算機(jī)中的運(yùn)算器線路，大大提高了運(yùn)轉(zhuǎn)速度，且二進(jìn)制的符號“1”和“0”恰好與邏輯運(yùn)算中的“對”與“錯(cuò)”相對應(yīng)，便于計(jì)算機(jī)進(jìn)行邏輯運(yùn)算。這樣的知識符合高年級學(xué)生的認(rèn)知水平，有利于他們感受進(jìn)位制的便利性。

（二）相關(guān)經(jīng)驗(yàn)性知識

學(xué)生在生活情境中獲得了對數(shù)的初步了解，可以讓他們在熟悉的經(jīng)驗(yàn)中建構(gòu)知識技能，從而進(jìn)一步適應(yīng)未來的生活和發(fā)展。

1.常見的生活情境

常見的生活情境可作為教學(xué)的素材。各版本教材在“0～9數(shù)的認(rèn)識”中使用的情境有的充分貼合學(xué)生日常生活，比如排隊(duì)、領(lǐng)獎(jiǎng)、上下樓梯等；有的富有童真童趣，比如以動(dòng)物為主人公的動(dòng)物玩耍、舉辦動(dòng)物運(yùn)動(dòng)會(huì)等；有的融合德育，比如在大掃除、植樹澆花等勞動(dòng)場景中呼吁學(xué)生保護(hù)環(huán)境、愛護(hù)自然。

2.數(shù)字的不同含義

兒童生活中所見所用的數(shù)，以及對“有幾個(gè)”“第幾個(gè)”的回答有助于他們對基數(shù)、序數(shù)含義的學(xué)習(xí)。序數(shù)含義不僅體現(xiàn)在與序列位置相關(guān)的情境中，還體現(xiàn)在數(shù)字編碼中，如門牌號“205”大多表示第二層第五個(gè)房間。

3.常用的進(jìn)制

除了自然數(shù)的十進(jìn)制、計(jì)算機(jī)的二進(jìn)制，學(xué)生在生活中還會(huì)遇到許多其他進(jìn)制，如時(shí)分秒中使用的六十進(jìn)制、一斤等于十六兩的舊制以及一天有二十四小時(shí)、一周有七天、一年有十二個(gè)月等，這些進(jìn)制拓展了學(xué)生的知識面。

三、“0～9數(shù)的認(rèn)識”單元知識結(jié)構(gòu)

以外部知識結(jié)構(gòu)承托內(nèi)部知識結(jié)構(gòu)，便形成了“0～9數(shù)的認(rèn)識”單元知識結(jié)構(gòu)（如圖1）。

圖1 “0～9數(shù)的認(rèn)識”單元知識結(jié)構(gòu)圖

以數(shù)的產(chǎn)生為切入點(diǎn)，“一”為自然數(shù)的基本計(jì)數(shù)單位，累加形成“0～9”的自然數(shù)，并依托十進(jìn)位值制繼續(xù)累加形成由“0～9”在不同數(shù)位組成的不同的自然數(shù)。

數(shù)的意義、數(shù)的形式是兩個(gè)相互聯(lián)系的知識模塊：數(shù)的意義由序數(shù)、基數(shù)兩個(gè)基本屬性組成，兩者共同反映了離散事物的記數(shù)特征［12］，在“計(jì)數(shù)”的過程中相統(tǒng)一，即在序數(shù)屬性的統(tǒng)領(lǐng)下，通過計(jì)數(shù)，便能將集合中每個(gè)元素分別和有順序、次第的自然序列中的一項(xiàng)相對應(yīng)。簡言之，“數(shù)到幾”就表明它是“第幾個(gè)”，并且能知道數(shù)到這里為止有“幾個(gè)”［13］；序數(shù)衍生出數(shù)的順序，基數(shù)衍生出集合所含元素多少的比較，在這兩者的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步進(jìn)行更為抽象的數(shù)的大小比較；基數(shù)同時(shí)衍生出數(shù)的分解與組成。數(shù)的形式則由讀數(shù)、寫數(shù)兩個(gè)子模塊組成。

數(shù)的運(yùn)算是在基數(shù)的意義下，基于數(shù)的意義、數(shù)的形式建構(gòu)而成的：從運(yùn)算意義來看，加法由重復(fù)“后繼”得到，減法由反向“后繼”得到，二者互逆，共同衍生出連加、連減、加減混合運(yùn)算。這三個(gè)子模塊的學(xué)習(xí)要以問題情境為支撐，指向解決實(shí)際問題，運(yùn)算律的滲透則以推論性加減出現(xiàn)。

確立“0～9 數(shù)的認(rèn)識”單元知識結(jié)構(gòu)是單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)的第一步，將為后續(xù)建構(gòu)學(xué)生學(xué)習(xí)心理過程、把握單元學(xué)習(xí)目標(biāo)和重難點(diǎn)、制定單元學(xué)習(xí)評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)、組織單元學(xué)習(xí)活動(dòng)乃至開發(fā)單元學(xué)習(xí)用具奠定基礎(chǔ)。