什么樣的圓柱和圓錐可以放入正方體及正四面體內(nèi)?

深圳市龍華區(qū)教育科學(xué)研究院附屬外國語學(xué)校(518109)鐘文體

1 問題呈現(xiàn)

2023 年新課標(biāo)I 卷第12 題是一道源于生活的立體幾何問題(物品裝箱問題).題目以正方體為載體,涉及正方體的面對角線、體對角線、最大截面、內(nèi)接球、內(nèi)接四面體、內(nèi)接圓柱以及它們的位置關(guān)系等知識,綜合性較強(qiáng).原題的一個亮點是沒有給出圖形,而正方體、正四面體、圓柱、球等都是數(shù)學(xué)中常見的“空間想象的支架”[1],也是生活中隨處可見的圖形.此題要求學(xué)生以“支架”為支撐構(gòu)建空間圖形,需要較強(qiáng)的空間想象的能力.筆者認(rèn)為,不給出圖形恰是此題的點睛之筆,以便更好地考察直觀想象和邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).此外,要想順利解答此題還需要一定的數(shù)據(jù)估計能力.原題如下:

試題下列物體中,能夠被整體放入棱長為1(單位: m)的正方體容器(容器壁厚度忽略不計)內(nèi)的有( )

A.直徑為0.99m 的球體

B.所有棱長均為1.4m 的四面體

C.底面直徑為0.01m,高為1.8m 的圓柱體

D.底面直徑為1.2m,高為0.01m 的圓柱體

解析對于A 選項,因為棱長為1m 的正方體的內(nèi)接球直徑為1m,而0.99m < 1m,所以直徑為0.99m 的球體可以放入棱長為1m 的正方體內(nèi),A 正確.

對于D 選項, 忽略0.01m 的厚度, 將圓柱近似為直徑為1.2m 的二維圓盤, 則問題轉(zhuǎn)化為直徑為1.2m 的圓能否放入棱長為1m 的正方體內(nèi).考慮正方體的最大截面EFGHIJ, 這是一個正六邊形, 其頂點為正方體棱的中點,如圖1 所示.可算出正六邊形EFGHIJ的內(nèi)切圓直徑為,所以直徑為1.2m 的圓可以放入棱長為1m 的正方體內(nèi),D 正確.

圖1

以上對A、B、C 選項的解析都符合數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性,無可挑剔.對于D 選項,以上呈現(xiàn)的解析是網(wǎng)絡(luò)上比較流行的“秒殺”方法, 適合在考場上使用.但嚴(yán)格來說,這樣的做法其實是站不住腳的,“將0.01m 的厚度忽略”在數(shù)學(xué)上缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性.例如, 若將D 選項的圓柱厚度改為0.02m、0.03m、0.04m 等等,那么還能忽略厚度嗎? 作為教師,我們應(yīng)對D 選項進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦硇苑治?切不可模棱兩可.

2 什么樣的圓柱可以放入正方體內(nèi)?

我們提出以下更一般的問題.

問題1什么樣的圓柱可以放入棱長為a的正方體內(nèi)?

顯然, 若底面半徑為r, 高為h的圓柱可以放入正方體內(nèi),則底面半徑不超過r,高不超過h的圓柱都可放入正方體內(nèi).因此,只需探討什么樣的圓柱恰好可以放入正方體即可,這里的“恰好放入”是指圓柱的面或邊緣與正方體的接觸面是緊貼著的,類似于兩條曲線的相切.我們也稱圓柱和正方體的這種位置關(guān)系為圓柱內(nèi)接于正方體.

首先,底面直徑和高都為a的圓柱恰好可以放入棱長為a的正方體內(nèi),此時,只需將圓柱底面圓心與正方體其中一個側(cè)面的中心重合,且圓柱的高與此側(cè)面垂直即可,如圖2 所示.我們稱這種放入方式為圓柱正接于正方體內(nèi).

圖2

另一種方式是斜接,圓柱的底面圓心連線與正方體的體對角線重合, 圖3 和圖4 展示了兩種典型情形, 分別為“扁平”型和“細(xì)長”型.

圖3

圖4

那么, 當(dāng)圓柱斜接于正方體內(nèi)時, 圓柱的高和底面半徑之間有什么關(guān)系呢? 如圖5, 設(shè)圓柱底面半徑為r,底面圓心為O, 圓柱與正方體上底面的接觸點為P, 根據(jù)對稱性可知點P在正方體的面對角線A1C1上.易知,, 從而.因此, 圓柱的高.于是,我們得到了正方體斜接圓柱的底面半徑和其高的關(guān)系.根據(jù)這一關(guān)系可知,當(dāng)r= 0.6時,,從而原題的D 選項正確.至此,我們給出了D 選項的嚴(yán)謹(jǐn)解釋.

圖5

根據(jù)上面得到的關(guān)系,還可以求出斜接于正方體的圓柱體積的最大值.事實上,圓柱體積

求導(dǎo)得

3 什么樣的圓錐可以放入正方體內(nèi)?

對經(jīng)典試題進(jìn)行變式、聯(lián)想、遷移可以幫助學(xué)生更深入、透徹地理解問題的本質(zhì),也有助于培養(yǎng)發(fā)散思維,提高問題解決能力.圓錐也是常見的“空間想象的支架”[1]之一,以上解決了正方體內(nèi)接圓柱問題,下面用類似的方法解決正方體內(nèi)接圓錐問題.

問題2什么樣的圓錐可以放入棱長為a的正方體內(nèi)?

類似前面,只考慮恰好可以放入的情形.也分為正接(圖6)和斜接兩種方式(圖7).正接較為簡單,以下討論斜接情形.如圖7,設(shè)圓錐底面半徑為r,底面圓心為O,圓錐與正方體下底面的接觸點為P,類似前面可知.因此,圓錐的高.于是,我們得到了正方體斜接圓錐的底面半徑和其高的關(guān)系.

圖6

圖7

根據(jù)這一關(guān)系,還可以求出斜接于正方體的圓錐體積的最大值.事實上,圓錐體積

從而V(r)單調(diào)遞增,故當(dāng)時,斜接于正方體的圓錐體積取最大值.此時,圓錐的底面為正方體最大截面的內(nèi)切圓,如圖8 所示.

圖8

4 什么樣的圓柱可以放入正四面體內(nèi)?

正四面體是另一種常見的正多面體,下面將以上方法類比到正四面體中.

問題3什么樣的圓柱可以放入棱長為a的正四面體內(nèi)?

同樣只考慮恰好可以放入的情形.為此,先回顧正三角形和正四面體中的一些有用的數(shù)量關(guān)系.

結(jié)論1邊長為a的正三角形的內(nèi)切圓半徑為

結(jié)論2棱長為a的正四面體的高為

結(jié)論3正四面體對棱中點的連線是對棱的公垂線.棱長為a的正四面體的對棱間的距離為.設(shè)正四面體兩個面的夾角為α,則.

結(jié)論1 和2 較容易證明,只證結(jié)論3.

證明如圖9, 設(shè)正四面體ABCD的棱BC,AD的中點分別為M,N.連接AM,DM, 易知AM=DM, 從而MN⊥AD.同理MN⊥BC, 故MN是BC和AD的公垂線.設(shè)正四面體ABCD棱長為a, 則,從而.易知AM⊥BC,DM⊥BC,從而∠AMD為二面角A-BC-D的平面角,故∠AMD=α,因此.

圖9

若圓柱的一個底面圓心和正四面體的一個面的中心重合,且圓柱的高垂直于這一個面,則稱這種方式為正接,如圖10 所示.

圖10

不妨設(shè)圓柱的底面圓心O與正四面體ABCD的面BCD的中心重合,另一個底面所在的平面與四面體三條棱AB,AC,AD的交點分別為B1,C1,D1, 則此底面的圓周恰好是?B1C1D1的內(nèi)切圓.設(shè)AB1=B1C1=C1D1=D1B1=x(0

若圓柱底面圓心的連線與正四面體對棱的公垂線重合,則稱為斜接,如圖11 所示.不妨設(shè)圓柱底面圓心的連線與正四面體ABCD的對棱BC和AD的公垂線MN重合,其中M,N分別為BC和AD的中點.

圖11

設(shè)圓柱與面ABC的接觸點為P, 相應(yīng)的底面圓心為O.根據(jù)對稱性可知點P在線段AM上.設(shè)OM=x, 則.由結(jié)論3 可知, 圓柱底面半徑, 圓柱高.故此時圓柱高與底面半徑的關(guān)系為.此時圓柱體積求導(dǎo)得,從而當(dāng)時,V(x)單調(diào)遞增,當(dāng)時,V(x)單調(diào)遞減.因此,斜接于正四面體的圓柱體積的最大值為

還有其它內(nèi)接方式嗎?回答是: 還有.如圖12 所示,此時, 圓柱的側(cè)面與正四面體的兩個面相切, 我們稱這種內(nèi)接方式為側(cè)接.如圖12,不妨設(shè)圓柱側(cè)面與面ABC和面ABD相切,AB中點為M,CD中點為N,圓柱底面與面ACD的接觸點為P, 與面ABC的接觸點為E, 相應(yīng)的底面圓心為O,圓柱底面圓心連線與面ACD的交點為F.根據(jù)對稱性可知點P和點F在線段AN上.設(shè)直線OP與AB交于點Q,連接QE.

易知AB平行于圓柱母線, 故AB⊥PQ,AB⊥OE, 從而AB⊥QE, 故∠OQE為二面角C-AB-D的平面角的一半.設(shè)圓柱半徑為r, 根據(jù)結(jié)論3 可知.從而,故.易知?AQP與?AMN相似,從而,故

圖13

5 什么樣的圓錐可以放入正四面體內(nèi)?

問題4什么樣的圓錐可以放入棱長為a的正四面體內(nèi)?

也分為正接和斜接兩種情形.正接較容易解決, 如圖14 所示.此時圓錐底面半徑為, 高為, 體積為.

圖14

下面考慮斜接, 如圖15 所示.圖中字母的意義與圖11相同.設(shè)OM=x, 則, 圓錐底面半徑,圓錐高.故此時圓錐高與底面半徑的關(guān)系為.

圖15

此時圓錐體積

圖16

類似前面可知,斜接于正四面體的圓錐一定可以“正著”放入正四面體內(nèi).

也可考慮正四面體的側(cè)接圓錐,此時,圓錐底面半徑和高的關(guān)系為.限于篇幅,不再展開討論.

6 寫在最后

原題是一道別具一格的優(yōu)秀試題,雖然其中的D 選項可借助幾何直觀進(jìn)行“秒殺”,但數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[科學(xué),作為數(shù)學(xué)教育工作者,理應(yīng)弄清楚“將0.01m 的厚度忽略”的底層邏輯.這樣,面對學(xué)生刨根問底的提問時,才能做到“心中有數(shù),手中有法”,不至于亂了陣腳.一道優(yōu)秀試題往往有著旺盛的生命力和深入挖掘的價值, 本文嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟鉀Q原試題后,將其作了進(jìn)一步的引申和類比,得到了正方體和正四面體內(nèi)接圓柱和圓錐的底面半徑和高之間的精確關(guān)系.據(jù)此可以編制出一些變式問題,茲舉例如下.

變式下列物體中,能夠被整體放入棱長為1(單位: m)的正四面體容器(容器壁厚度忽略不計)內(nèi)的有( )

A.直徑為0.4m 的球體

B.底面邊長為0.5m,高為0.4m 的正三棱柱

C.底面直徑為0.01m,高為1.1m 的圓柱體

D.底面直徑為0.25m,高為0.45m 的圓柱體

解析設(shè)棱長為1m 的正四面體為ABCD,設(shè)其各面的面積為S,高為h,內(nèi)切球半徑為r.

對于B 選項,設(shè)棱AB,AC,AD的中點分別為B1,C1,D1,考慮以?B1C1D1為底面,另一底面落在面BCD上的正三棱柱, 如圖17 所示.易知, 此正三棱柱的底面邊長為0.5m,高為,故底面邊長為0.5m,高為0.4m 的正三棱柱可以放入棱長為1m 的正四面體內(nèi),B正確.

圖17

對于C 選項,正四面體內(nèi)任意兩點的距離不可能超過正四面體的棱長,故高為1.1m 的圓柱體不能放入棱長為1m 的正四面體內(nèi),C 不正確.

對于D 選項, 根據(jù)本文第四節(jié)所得的正接于正四面體的圓柱的底面半徑與高之間的關(guān)系, 可知當(dāng)圓柱底面直徑為0.25m 時, 高為,故底面直徑為0.25m,高為0.45m 的圓柱體以放入棱長為1m 的正四面體內(nèi),D 正確.