會(huì)聚球面波的泰伯效應(yīng)

陳 然,孫中皋,程世紅

(遼寧師范大學(xué) 物理與電子技術(shù)學(xué)院,遼寧 大連 116029)

1836年,泰伯(Talbot)發(fā)現(xiàn)用單色平行光垂直照射周期性物體時(shí),在該物體后特定距離處會(huì)出現(xiàn)物體清晰的像。這種不用透鏡,僅靠光的衍射即可對(duì)周期性物體成像的現(xiàn)象稱(chēng)為T(mén)albot效應(yīng)或無(wú)透鏡成像效應(yīng)[1]。隨著現(xiàn)代光學(xué)的快速發(fā)展,泰伯效應(yīng)不僅被應(yīng)用于通信[2]中,還在光刻技術(shù)[3]以及顯微成像[4]中得到應(yīng)用,并且在非線性光學(xué)[5]及量子光學(xué)[6]等領(lǐng)域也具有一定的研究?jī)r(jià)值,所以泰伯效應(yīng)是光學(xué)中很有意義的一個(gè)研究課題。目前,對(duì)于泰伯效應(yīng)的研究和應(yīng)用中光源通常為平行光,而對(duì)于光源為球面光產(chǎn)生的泰伯效應(yīng)研究或應(yīng)用較少。1995年,文獻(xiàn)[7]分析了球面波入射一維光柵的類(lèi)平面波成像現(xiàn)象。2010年,文獻(xiàn)[8]對(duì)球面波光源入射一維光柵的泰伯效應(yīng)進(jìn)行分析并給出了該條件下的分?jǐn)?shù)泰伯效應(yīng)的解析式。2021年,文獻(xiàn)[9]分析了球面波入射到二維振幅型光柵的泰伯效應(yīng)并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。球面波包括發(fā)散球面波和會(huì)聚球面波,文獻(xiàn)[7]至[9]探討的均是發(fā)散球面波作為入射光的泰伯效應(yīng),對(duì)于會(huì)聚球面波作為入射光的泰伯效應(yīng)的討論尚未見(jiàn)報(bào)道。

本文對(duì)會(huì)聚球面波入射二維振幅型光柵的泰伯效應(yīng)進(jìn)行研究,首先從理論上應(yīng)用傅里葉變換和菲涅爾-基爾霍夫衍射理論推導(dǎo)了該情況下像面光場(chǎng)分布表達(dá)式,分析了泰伯像、對(duì)比度反轉(zhuǎn)的泰伯像以及分?jǐn)?shù)泰伯像的成像條件;其次通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)理論分析進(jìn)行驗(yàn)證并討論了泰伯像的變化規(guī)律,實(shí)驗(yàn)中選擇合適的級(jí)次,通過(guò)改變頻譜面至光柵的距離,得到對(duì)應(yīng)實(shí)際測(cè)量的泰伯距離,并與該級(jí)次的理論值進(jìn)行對(duì)比。

1 理論分析

圖1 會(huì)聚球面光的單光柵衍射系統(tǒng)

1.1 像面光場(chǎng)分布表達(dá)式

與文獻(xiàn)[9]對(duì)發(fā)散光下像面光場(chǎng)分布表達(dá)式推導(dǎo)類(lèi)似,會(huì)聚球面光下的光場(chǎng)分布推導(dǎo)采用傅里葉變換和菲涅爾-基爾霍夫衍射理論。

二維光柵透過(guò)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)形式為

(1)

其中d為二維光柵的光柵常數(shù),m和n為正常數(shù)。

由會(huì)聚波的性質(zhì),在O′之前距離為Z0的物體前表面的光場(chǎng)復(fù)振幅分布為[11]

(2)

A是與振幅相關(guān)的常數(shù),x0,y0是光柵面任意點(diǎn)的坐標(biāo),則光柵出射面光場(chǎng)復(fù)振幅分布為

U(x0,y0)=u0(x0,y0)·t(x0,y0) 。

(3)

根據(jù)傅里葉變換形式的菲涅爾衍射公式,可得光傳播距離為Z1時(shí)的光場(chǎng)復(fù)振幅分布為

(4)

式(4)整理可得

(5)

(6)

1.2 成像條件

1.2.1 泰伯像

(7)

1.2.2 對(duì)比度反轉(zhuǎn)泰伯像

(8)

1.2.3 分?jǐn)?shù)泰伯像

(9)

由公式(9)可見(jiàn),像面光場(chǎng)復(fù)振幅分布空間相位均延遲或超前π/2,此時(shí)的像成為泰伯子像。

1.3 成像規(guī)律

依據(jù)成像條件可以看出,泰伯像與對(duì)比度反轉(zhuǎn)泰伯像是交替出現(xiàn)的。并且若Z0固定,當(dāng)Z1小于Z0時(shí),N取正值,并隨著Z1的增加,周期放大率M逐漸縮小且一直小于1,表現(xiàn)為像逐漸減小。當(dāng)Z1大于Z0時(shí),N取負(fù)值,并隨著Z1的增加,周期放大率M逐漸變大,表現(xiàn)為像逐漸放大,其中Z1=2Z0時(shí),像與光柵等大。像面大小的變化特性隨級(jí)數(shù)N的改變?nèi)鐖D2所示。

圖2 像面大小隨級(jí)數(shù)N的變化情況示意圖

2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

2.1 實(shí)驗(yàn)裝置

如圖3,成像系統(tǒng)由平行導(dǎo)軌、激光光源、透鏡組、樣品光柵以及CCD相機(jī)組成。光源選用氦氖激光器(波長(zhǎng)為632.8 nm),經(jīng)由擴(kuò)束鏡和焦距為100 mm的透鏡組成的透鏡組準(zhǔn)直擴(kuò)束并形成會(huì)聚球面光。樣品光柵為15 mm*20 mm的二維振幅型光柵,周期為0.5 mm,不透光方形孔邊長(zhǎng)為0.3 mm。

圖3 成像系統(tǒng)實(shí)物圖

2.2 實(shí)驗(yàn)分析

(a) Z1=620 cm

通過(guò)選定特定級(jí)數(shù),改變光柵到頻譜面的距離Z0,測(cè)量得到相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)值Z1,并將其與公式所計(jì)算的理論值對(duì)比進(jìn)行驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),當(dāng)N取正時(shí),像面過(guò)亮并且變化較快,不易測(cè)量準(zhǔn)確值,故取N為負(fù)值時(shí)的第一泰伯像進(jìn)行驗(yàn)證,當(dāng)N=-1時(shí)Z0與Z1的關(guān)系滿足

(10)

通過(guò)物像公式算得點(diǎn)光源的像點(diǎn)(即光柵的頻譜面)位于148 cm處,光柵起始位置置于78 cm處,以2 cm為單位逐步縮小Z0,得到的部分泰伯像如圖5所示。

(a) Z0=52 cm;Z1=156 cm

隨著頻譜面至光柵面的距離Z0的變化,Z1和周期放大率M也隨之變化。圖5(a)～(d)的周期放大率理論值分別為ma=1.923;mb=2.776;mc=4.266;md=7.786,實(shí)拍圖片也驗(yàn)證了這種放大現(xiàn)象。實(shí)驗(yàn)中由于成像距離逐漸變遠(yuǎn),成像亮度有所降低。

將實(shí)驗(yàn)設(shè)定的Z0值、運(yùn)用理論計(jì)算得到的Z1值以及實(shí)際測(cè)量的Z1值記錄如表1所示。

表1 改變z0時(shí)成像距離z1的實(shí)驗(yàn)值與理論值對(duì)比

圖6為Z0以2 cm為單位改變時(shí),Z1理論值與實(shí)驗(yàn)值的數(shù)據(jù)變化對(duì)比。

Z0/cm圖6 成像距離Z1實(shí)驗(yàn)值與理論值隨Z0的變化

3 結(jié) 論

對(duì)會(huì)聚球面波入射產(chǎn)生的泰伯效應(yīng)進(jìn)行了理論分析,得到了相應(yīng)的成像條件,實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了測(cè)量結(jié)果和理論推導(dǎo)一致。會(huì)聚球面光照射光柵在N取正時(shí)可以獲得縮小的泰伯像,在N取負(fù)時(shí)可以獲得放大的泰伯像。同時(shí)獲得大小可調(diào)的光柵的像有利于拓展光柵自成像的應(yīng)用。本文的實(shí)驗(yàn)以及相關(guān)的理論研究完善了泰伯效應(yīng)理論,有利于拓展泰伯效應(yīng)的實(shí)際應(yīng)用。