利用智能手機研究平板小角擺動的周期

張 威,鄧招華,楊 琴,李紅印,劉應開*

(1.云南師范大學物理與電子信息學院,云南 昆明 650500;2.龍陵縣河頭初級中學,云南 保山 678300)

1 木板擺動實驗

1.1 實驗原理

1.1.1 雙線擺周期的理論推導

圖1中表示一個雙線擺,兩根長為L的細繩懸掛一質量為M的光滑勻質平木板,板的中央放置一質量為m的光滑小球,開始時給木板一個水平向右的初速度v0,隨后木板將作小角度地擺動[3]。板在擺動時,各部分與質心運動一致,只需要考慮質心運動即可,擺角為θ時平板質心速度v和小球豎直向上的速度vy,如圖2所示。能量方程和速度關系式為

圖1 木板擺動圖

圖2 木板擺動θ角圖

(1)

木板的質心加速度為

(2)

假設木板與小球之間的豎直方向作用力大小為N,則木板的切向動力學方程為

(Mg+N)sinθ=-Ma切。

(3)

小球的動力學方程為

N-mg=may。

(4)

聯立,消去N有:

(M+m)gsinθ=-Ma切-maysinθ。

(5)

小球向上的加速度ay即為木板圓運動加速度的相應分量,即:

ay=a心cosθ+a切sinθ。

(6)

將(2)代入(6),可得:

(7)

將(7)代入(5)式,并有:

(8)

引入關于θ的角加速β=a切/L可得:

(9)

本題所給V0很小,θ也就很小,有如下近似:

(9)式簡化為

β+ω2θ=0 ,

(10)

(11)

可見平木板的運動類似于單擺運動,擺動周期為

(12)

從(11)式可知,平木板的擺動周期與小球質量平木板質量以及擺長有關。當小鐵球的質量變大時,系統的振動周期將變小。本文測量平木板和小鐵球的質量以及擺長,利用智能手機上的phyphox軟件記錄下平木板下方的光源隨平木板周期性擺動時光強隨時間的變化,從而獲得平木板的擺動周期T。與理論結果比較,研究木板的擺動規(guī)律,從大到小改變小鐵球的質量,探究擺動周期變化所呈現的規(guī)律。

1.1.2 空氣阻力對實驗的影響

實驗在空氣中進行,平木板的擺動不再是等幅的簡諧振動,其振幅按Ae-ξωnt5規(guī)律隨時間不斷衰減。當時間趨近無窮大時,振幅趨近零,平板靜止下來。在該研究中,平木板擺動為小阻尼的自由振動,也稱為衰減振動[5]。阻尼對自由振動存在兩方面的影響,一方面使系統振動的周期有細微的增大,頻率略有降低;另一方面小阻尼使系統振動的振幅按幾何級數衰減。當阻尼比較小時,即阻尼系數遠小于1時,可以忽略對實驗的影響。如當阻尼系數為0.05時,T′=1.001 25T,與無阻尼相比較,僅僅相差0.125%。此時振幅A2=A1/1.336=0.73A1,也就是在每一個周期內振幅減少27%,振幅按幾何級數衰減?？諝庾枘嵯禂翟趉=2mβ=2.15×10-46左右,由于空氣阻尼系數比較小,對平木板的周期和頻率的影響可以忽略不計,實驗中的小鐵球與木板的接觸產生的摩擦也十分小,故忽略不計。

1.2 實驗裝置和步驟

1.2.1 實驗器材和裝置

實驗所用器材為紐扣電池,LED燈,兩個鐵架臺,電子秤,兩根PC硬管(一根短,一根長),兩根等長的細繩,不同質量的小鐵球4個,厘米刻度尺,一塊勻質的平木板,膠水,已安裝phyphox的智能手機一部。

裝置如圖3所示,將發(fā)光裝置用膠水黏合在板的幾何中心正下方,并在木板上方中央將PC塑料管按如3圖所示黏合牢固,用于束縛小鐵球。將一根長的PC塑料管固定在鐵架臺上,用細繩固定好,并將木板懸掛在PC塑料管下方,確保兩根擺線等長.裝置后面用木板制作一個角標,便于確保在5O內擺動。光源的正下方放置一部智能手機,使手機感光部分正位于光源光強最強處,用于接收光強隨時間變化情況。

圖3 實驗裝置

1.2.2 實驗步驟

(1)用電子秤測量出木板的質量M和小鐵球的質量m。

(2)按照要求確定橫桿的高度,并固定橫桿,平木板固定在橫桿的下方形成一個復雜的擺動系統,將PC塑料管固定在木板橫向的中央處,在木板的下表面的幾何中心處固定好LED燈。

(3)用厘米刻度尺測量出擺的擺長l。

(4)利用智能手機上的phyphox軟件測量當地的重力加速度g。

(5)打開智能手機中phyphox軟件的光接收器,讓木板在5°以內擺動,記錄光強隨時間變化曲線,更換不同質量的小鐵球,記錄光強隨時間變化的數據。

(6)對數據進行處理和分析。

2 雙線擺周期測量

2.1 數據記錄

Phyphox記錄了光強隨時間變化的數據,圖4是系統的擺動周期圖。

t/s圖4 0.53 g小鐵球擺動周期圖

從圖4中可以看到光強呈現出周期性變化,圖中一個波峰表示光強最強,也就是平木板剛好經過手機正上方時的光強。因此,從第一個峰開始出現第三峰時為一個周期,為了使結果更精確,選擇了5個周期的平均值來計算平木板擺動的周期,數據列于見表1。

表1 質量為0.53 g的小鐵球的周期

木板的質量為86.45 g,小鐵球質量為0.53 g,擺長為32.91 cm。另外,為了求出木板小角振動的周期的理論值,我們還利用手機重力加速度傳感器及其物理工作坊軟件測量當地的重力加速度,取6次測量結果的平均值9.78 m/s2代入公式(12)如圖5所示,從而求出木板雙線擺振動周期的理論值,便于和實驗直接測量振動周期作比較,并計算相對誤差。

圖5 智能手機重力加速度傳感器測量當地的重力加速度

2.2 數據處理與分析

將相應的實驗數據代入公式(12),得到雙線擺的理論周期,即:

(13)

與實際測量的周期相比,二者相差僅僅0.002 550,相對誤差為0.255%。

2.3 計算不確定度引起的誤差

實驗過程中測量了質量2次,分別為M和m,細繩的長度L,電子天平最小分度為0.01 g,相應的直接測量引入的標準不確定度的B類分量[7]為0.005 774 g,測量長度用厘米刻度尺,其最小分度為0.01 m,相應的直接測量引入的標準不確定度的B類分量[7]為0.005 774 m。計算理論周期T時,其結果為C類不確定度[7],所得周期為0.048 339 s。智能手機上的光傳感器為每0.16 s記錄一次光強,由此直接測量引入的標準不確定度的B類分量[7]為0.092 376,從而得到相應的真實值:T測量=1.152 011±0.092 376,T理論=1.150 101±0.048 339。

3 選取不同質量的小鐵球時,系統的擺動周期

選取不同質量的小鐵球來探究平木板擺動周期的變化。小鐵球的質量(m)分別用1.67,1.00,0.53和0.21 g,擺長(l)為32.91 cm,木板的質量(M)為86.45 g,重力加速度取上述實驗測定的9.78 m/s2。實驗過程重復上述實驗步驟(1)-(5),結果列于表2。可見,理論與實際數值吻合得很好,在誤差允許范圍內驗證了理論結果。

4 結 論

本文從動力學方程出發(fā),研究了等長的雙線懸掛的平板在水平方向的小角擺動周期,獲得了(6)式的周期公式。平木板系統的周期隨小鐵球的質量的增加而減小。同時,利用安裝phyphox軟件的智能手機及其光傳感器功能測量了平木板系統的周期,測量結果表明:擺長(L)為32.91 cm,重力加速度(g)為9.78 m/s2,木板的質量(M)為86.45 g。小鐵球質量(m)分別為1.67、1.00、0.53、0.21 g時,平木板系統的擺動周期分別為1.142 811、1.151 377、1.1520 02和1.156 924 s,而理論計算周期則分別為1.141 615、1.145 980、1.149 072和1.151 191 s,相對誤差分別為0.105%,0.471%,0.255%和0.498%,二者符合得很好。

綜上所述,隨著小鐵質量的減小,雙線擺系統擺動周期逐漸增大,實驗測量結果與理論周期十分吻合,且利用智能手機測量的數據的精度得到提高,進一步驗證了理論推導式的正確性。間接地為教學研究者利用生活中普遍存在的智能手機應用于物理實驗提供了參考。利用智能手機能方便地測量和記錄實驗數據,實驗研究不再局限于實驗室,便于進行更多的物理問題的探究活動。智能手機上各種傳感器隨著科技的發(fā)展和技術進步,其精度也越來越高,使用越來越方便,為開展高精度的自制教具和物理研究提供了便利。結合智能手機上的音頻傳感器,磁力傳感器、光學傳感器等可進行聲學、光學、磁學等物理研究,化抽象為具體,化理性為感知,可大大提高物理教學實效,促進教學質量的提高及創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。

5 展 望

物理實驗和教學必然要隨著時代不斷優(yōu)化,實驗精確度不斷提高,實驗裝置和記錄方法更加智能化[8]。目前智能手機作為一種智能化的現代產品,相關技術功能已經很成熟,將智能手機用于物理實驗,已經成為一種趨勢,大量學者已經用其完成了許多物理實驗的研究,許多學者也在用智能手機不斷開發(fā)物理實驗,不斷探究如何將智能手機用于物理實驗和研究[9]。我們深信未來智能手機將出現在物理教學中,越來越多的大學生、中學生將利用智能手機獨自完成物理實驗,發(fā)揮智能手機在教學和人才培養(yǎng)中的功能。