-張量的新判定*

王亞強(qiáng),溫德坤

(寶雞文理學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,陜西 寶雞 721013)

1 預(yù)備知識(shí)

下面給出本文用到的記號(hào)、定義及引理。

n表示正整數(shù);N表示集合{1,2,…,n};C[m,n](R[m,n])表示所有m階n維的復(fù)(實(shí))張量的集合。

令δi1i2…im為Kronecker符號(hào),即

給定m階n維的復(fù)(實(shí))張量A=(αi1i2…im)∈C[m,n](R[m,n])。記

定義1[7]設(shè)(A)=(ai1i2…im)∈C[m,n],X=diag(x1,x2,…,xn)為正對(duì)角矩陣,則稱(chēng)B=(bi1…im)=AXm-1為張量A與正對(duì)角矩陣X的乘積,其中

bi1i2…im=ai1i2…imxi2xi3…xim,
ij∈N,j∈1,2,…,m。

定義2[7]設(shè)A=(ai1i2…im)∈C[m,n],若存在一個(gè)非空真子集I?N使得

ai1i2,…,im=0,?i1∈I,?i2,…,im?I,

則稱(chēng)A為可約張量,否則A是不可約的。

定義3[7]設(shè)A=(ai1i2…im)∈C[m,n]。如果?i,j∈N(i≠j),存在k1,k2,…,kr使得

其中,k0=i,kr+1=j,那么稱(chēng)A有一條從i到j(luò)的非零元素鏈。

定義4[7]設(shè)A=(ai1i2…im)∈C[m,n]。若

|aii…i|≥Ri(A),?i∈N,

(1)

則稱(chēng)A為對(duì)角占優(yōu)張量。若(1)式中嚴(yán)格不等號(hào)均成立,則稱(chēng)A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)張量。

定義5[7]設(shè)A=(ai1i2…im)∈C[m,n]。若存在正向量x=(x1,x2,…,xn)T∈Rn,使得

引理2[7]設(shè)A=(ai1i2…im)∈C[m,n]不可約。若

|aii…i|≥Ri(A),?i∈N,

引理3[7]設(shè)A=(ai1i2…im)∈C[m,n]。若A滿足下列條件,

(1)|αii…i|≥Ri(A),?i∈N;

(2)J(A)={i∈N:|αii…i|>Ri(A)}≠?;

(3)對(duì)于任意的i?J(A),A有一條從i到J(A)中某一元素j的非零元素鏈,

2 主要結(jié)論

(2)

且

(3)

證明記

(4)

故

在農(nóng)村垃圾形勢(shì)日益嚴(yán)峻以及“鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略”的要求下，各個(gè)地區(qū)積極開(kāi)展農(nóng)村垃圾治理工作，因地制宜，采取多種治理模式，并取得了初步成效。各個(gè)地區(qū)應(yīng)該相互借鑒，共同致力于農(nóng)村垃圾治理工作，還農(nóng)村更美的景、更藍(lán)的天。

Pi

(5)

記

(6)

由于0<λi<1,i∈N3,從而存在一個(gè)充分小的正數(shù)ε2,使得0<ε2+λi<1。

取

ε=min{ε1,ε2},

(7)

構(gòu)造正對(duì)角矩陣D=diag(d1,d2,…,dn),其中

令B=(bi1i2…im)=ADm-1,下面分3種情況證明B為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的張量。

情形1:對(duì)任意的i∈N1有

情形2:對(duì)任意的i∈N2有

情形3:對(duì)任意的i∈N3有

定理2設(shè)A=(αi1i2…im)∈C[m,n]不可約。若A滿足

(8)

且

(9)

證明構(gòu)造正對(duì)角矩陣D=diag(d1,d2,…,dn),其中

記

定理3設(shè)A=(αi1i2…im)∈C[m,n]。若A滿足

(10)

且

(11)

證明構(gòu)造正對(duì)角矩陣D=diag(d1,d2,…,dn),其中

3 數(shù)值例子

為了與已有結(jié)果進(jìn)行比較,首先給出文獻(xiàn)[16]的結(jié)果。

經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算得

然而,因?yàn)?/p>

且

4 小結(jié)