負相關(guān)隨機變量密度小波估計的Lp-相合性*

郝 露,許俊蓮

(寶雞文理學院 數(shù)學與信息科學學院,陜西 寶雞 721013)

1 預(yù)備知識

1993年,BOZORGNIA首次提出了負相關(guān)隨機變量的概念[9]:

本文將用到下面幾個ND樣本的相關(guān)性質(zhì)。

性質(zhì)1[9]設(shè)X1,X2,…,Xn是ND隨機變量,任給集合{1,2,…,n}的m個兩兩不相交的子集A1,A2,…,Am以及m個關(guān)于每個變元單調(diào)非降(非增)函數(shù)fi:R#(Ai)→R(1≤i≤m),其中#(Ai)表示集合Ai中元素的個數(shù),則隨機變量f1(Xi,i∈A1),f2(Xj,j∈A2),…,fm(Xk,k∈Am)仍然是ND的。

性質(zhì)2[9]設(shè)X,Y是ND隨機變量,則

E(XY)≤(EX)(EY)。

性質(zhì)3[10]設(shè)X1,X2,…,Xn是ND隨機變量,滿足EXi=0和E|Xi|p<∞,則當p≥2時,有

設(shè)L2(R)是平方可積函數(shù)空間,該空間中的一列線性閉子空間{Vj}j∈Z是其多分辨率分析(Multiresolution Analysis, MRA)指滿足[11]:

(ⅰ)單調(diào)性:Vj?Vj+1,?j∈Z;

(ⅲ)伸縮性:f(x)∈V0?f(2jx)∈Vj,?j∈Z;

(ⅳ)基的存在性:存在φ∈L2(R),使得{φ(x-k)}k∈Z為V0的標準正交基,其中φ稱為該MRA對應(yīng)的尺度函數(shù)。

(1)

其中,αJk=〈f,φJk〉,βjk=〈f,ψjk〉。

注意到,φ滿足(θ)條件蘊含φ∈L1(R)∩L∞(R),從而φ∈Lp(R),1≤p≤∞。正交小波基的重要性在于它不僅是L2(R)中的標準正交基,而且在一定條件下也是Lp(R)(1

記Pj為L2(R)到尺度空間Vj上的正交投影算子,則對于f∈L2(R)及αjk=〈f,φjk〉,有

(2)

對于f∈Lp(R)也有類似于(1)式的展式。進一步當尺度函數(shù)φ滿足(θ)條件時,(2)式仍然成立。

S條件可推出(θ)條件(見文獻[12]引理8.5)。由文獻[12]可知,在S條件下,有以下結(jié)論成立:

引理1設(shè)尺度函數(shù)φ滿足S條件,則對f∈Lp(R)(1≤p<∞),

其中,Pj為尺度空間Vj上的正交投影算子。當函數(shù)f一致連續(xù)時,上式對p=∞仍然成立。

|K(x,y)|≤F(x-y)。

2 主要結(jié)論

(3)

(4)

在本文中,AB表示A≤CB,其中C為獨立于變量A和B的正常數(shù);AB等價于BA;用A～B表示AB和BA同時成立。

證明根據(jù)范數(shù)的三角不等式性質(zhì),

為了得到相應(yīng)的結(jié)論只需說明

(5)

下面根據(jù)p的取值情況分3種情形說明:

(1)當p=1時,顯然

(6)

以及

可得,

因為尺度函數(shù)φ滿足S條件,根據(jù)引理2,有

|Kj(x,y)|≤2jF(2j(x-y))。

代入上式,經(jīng)過簡單變換可得:

(7)

其中,

(8)

另一方面,記Yi=Kj(x,Xi),則

因為選取的尺度函數(shù)φ是單調(diào)的,所以核函數(shù)K關(guān)于每個變元也是單調(diào)的。根據(jù)性質(zhì)1可得隨機變量Y1,Y2,…,Yn仍然是ND的。再由性質(zhì)2有

利用Jensen不等式,

(9)

其中,

結(jié)合(7)式和(9)式,

(10)

另一方面,

min[B(x),Cn(x)]≤B(x)∈L(R)。

因此,由Lebesgue控制收斂定理可得

結(jié)合(8)式,(10)式和(6)式,(5)式成立。

(2)當p≥2時,由(4)式可知:

記Zi=Kj(x,Xi)-Pjf(x),則上式簡化為

(11)

經(jīng)過計算可得,

故EZi=EKj(x,Xi)-Pjf(x)=0。根據(jù)φ的選取以及性質(zhì)1推出隨機變量Z1,Z2,…,Zn仍然是ND的。由于|Pjf(x)|p=|EKj(x,Xi)|p≤E|Kj(x,Xi)|p,故

E|Zi|pE|Kj(x,Xi)|p=

(12)

利用性質(zhì)3及Jensen不等式可知

代入(11)式可得:

(13)

又因為

而F∈L1(R)∩L∞(R)可推出F∈Lp(R)(1

綜合(13)式可得:

(3)當1

由情形(1),(2)可知,(5)式在1

綜上可得,對于1≤p<∞,都有

證畢。

下面給出p=∞時的相合性。

證明根據(jù)范數(shù)不等式,

(14)

由(3)式可得,

再根據(jù)φ的有界性,

(15)

由于Eφjk(Xi)=αjk,利用Jensen不等式及性質(zhì)2,可知

(16)

又有

結(jié)合(15)式和(16)式,得

(17)

顯然

(18)

(19)

根據(jù)已知條件f(x)≤ω(|x|),可得

(20)

將(20)式和(19)式代入(18)式,再結(jié)合(17)式有