例析運(yùn)用兩種思想破解中考?jí)狠S題

于金彪

? 甘肅省天水市第七中學(xué)

考生對(duì)于中考數(shù)學(xué)的壓軸題普遍有種恐懼感,主要問(wèn)題在于解題思路不清晰,錯(cuò)解、漏解率較高等.這些問(wèn)題嚴(yán)重影響了考生對(duì)中考數(shù)學(xué)壓軸題的答題信心.如何解決上述痛點(diǎn),提升考生信心呢?本文中結(jié)合數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程以及等價(jià)轉(zhuǎn)化等思想,提出了幾種中考數(shù)學(xué)壓軸題的解題策略.

1 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是指運(yùn)用幾何性質(zhì)來(lái)構(gòu)建已知與未知變量之間的代數(shù)關(guān)系,借助幾何性質(zhì)來(lái)求解代數(shù)問(wèn)題,或者借助代數(shù)關(guān)系求解幾何問(wèn)題.

線段與角的證明題通常不難,然而,解題的關(guān)鍵點(diǎn)卻不容易挖掘.比如在幾何圖形中,通過(guò)畫一條輔助線來(lái)構(gòu)建已知變量與未知變量之間關(guān)系,巧解線段與角的證明問(wèn)題.再如,繞三角形的頂點(diǎn)整體旋轉(zhuǎn)三角形,并借助三角圖形的關(guān)系,構(gòu)建已知變量與未知變量之間的函數(shù)關(guān)系,巧解動(dòng)態(tài)三角形與函數(shù)問(wèn)題.參考人教版2009年蘇州中考試題第29題進(jìn)行的題型設(shè)計(jì),如例1所述:

例1如圖1-1所示,在△ABC中,AB=AC=3,∠B=30°,△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)了α(0<α<120°),得到一個(gè)新的三角形△ADE,并且分別與△ABC的邊AB,BC相交于點(diǎn)H,K.BK+KH=x,求解如下3個(gè)問(wèn)題:(1)∠KBE與∠KEB的關(guān)系;(2)線段EH的長(zhǎng)度;(3)若△ADH的面積為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式并指出函數(shù)圖象是什么曲線?

圖1-1

解：(1)連接BE,過(guò)點(diǎn)A作AG⊥DE于點(diǎn)G,如圖1-2所示.在△ABC中,因?yàn)锳B=AC=3,∠B=30°,以及△ADE與△ABC全等,所以AB=AE.故∠KBE=∠KEB.

圖1-2

(2)由(1)知KB=KE,又因?yàn)锽K+KH=x,所以EH=EK+KH=BK+KH=x.即線段EH的長(zhǎng)度為x.

綜上,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,借助輔助線,構(gòu)建了已知量與未知變量之間的代數(shù)關(guān)系,并且結(jié)合已證明的幾何性質(zhì),構(gòu)建了已知量與未知變量之間的函數(shù)關(guān)系.通過(guò)幾何圖形性質(zhì)與代數(shù)數(shù)量關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化,巧解了線段與角的證明以及動(dòng)態(tài)幾何與函數(shù)問(wèn)題.

2 運(yùn)用函數(shù)與方程思想

函數(shù)與方程思想是指通過(guò)設(shè)定未知數(shù),運(yùn)用已知條件,或者是已證明或計(jì)算的結(jié)論構(gòu)建方程的方法.

初中數(shù)學(xué)中所學(xué)函數(shù)包括一次函數(shù),二次函數(shù)和反比例函數(shù).一次函數(shù)和二次函數(shù)的綜合問(wèn)題經(jīng)常出現(xiàn)在中考解答題中,該類題型的難度適中.比如,分別求解一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式,然后結(jié)合直線與拋物線的位置關(guān)系,利用一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式聯(lián)立后所得方程的判別式構(gòu)建數(shù)量關(guān)系.

動(dòng)點(diǎn)與函數(shù)類問(wèn)題,比如圍繞線段上的動(dòng)點(diǎn)與拋物線上的點(diǎn),結(jié)合已知求解線段所在直線和拋物線的解析式,構(gòu)建線段上的動(dòng)點(diǎn)和拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的數(shù)量關(guān)系,并根據(jù)已知兩點(diǎn)的坐標(biāo),再構(gòu)建已知變量與未知變量之間的方程,利用函數(shù)求解相應(yīng)的問(wèn)題.參考人教版2013年上海中考試題第24題進(jìn)行的題型設(shè)計(jì)如例2所述:

例2如圖2-1所示,已知拋物線y=ax2-bx+c(a≠0),與x軸相交于兩點(diǎn)A(-2,0)和B(4,0),與y軸相交于點(diǎn)C(0,-5),頂點(diǎn)為M.求解如下3個(gè)問(wèn)題:(1)拋物線y=ax2-bx+c(a≠0)的解析式.(2)與直線BC平行并與拋物線y=ax2-bx+c(a≠0)只有一個(gè)交點(diǎn)的直線的解析式.(3)若線段AM上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)N,與拋物線上的點(diǎn)H構(gòu)成線段NH,并且線段NH平行于y軸,求線段NH取得最大值時(shí),點(diǎn)N的坐標(biāo).

圖2-1

解析：(1)拋物線y=ax2-bx+c(a≠0)的解析式中,系數(shù)a,b,c為未知參數(shù),由該拋物線與x軸相交于兩點(diǎn)A(-2,0)和B(4,0),且與y軸相交于點(diǎn)C(0,-5),構(gòu)建方程組

圖2-2

綜上,運(yùn)用函數(shù)與方程思想,設(shè)定合適的未知數(shù),根據(jù)已知條件以及已經(jīng)證明或者計(jì)算的結(jié)論,結(jié)合直線與拋物線的位置關(guān)系,構(gòu)建一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式聯(lián)立后方程的系數(shù)間數(shù)量關(guān)系,求解一次函數(shù)和二次函數(shù)的綜合問(wèn)題.圍繞線段上的動(dòng)點(diǎn)與拋物線上點(diǎn),結(jié)合已經(jīng)計(jì)算或者證明的線段所在直線和拋物線的解析式,構(gòu)建線段上的動(dòng)點(diǎn)和拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的數(shù)量關(guān)系,并根據(jù)已知兩點(diǎn)之間的坐標(biāo)關(guān)系,再構(gòu)建已知與未知變量之間的方程,求解函數(shù)關(guān)系取得最值時(shí)的解.

通過(guò)幾何圖形性質(zhì)與代數(shù)數(shù)量關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化,巧解了線段與角證明以及動(dòng)態(tài)幾何與函數(shù)問(wèn)題.運(yùn)用函數(shù)與方程思想,設(shè)定合適的未知數(shù),結(jié)合直線與拋物線的位置關(guān)系,構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系,求解函數(shù)綜合問(wèn)題.有關(guān)線段上的動(dòng)點(diǎn)與拋物線上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)線段的最值問(wèn)題,構(gòu)建已知變量與未知變量之間的關(guān)系,進(jìn)而求解函數(shù)關(guān)系取得最值時(shí)的解.上述解題策略,可幫助學(xué)生提升解答中考數(shù)學(xué)壓軸題的信心.Z