回歸知識本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)思想

仇學(xué)春

摘 要：多邊形的面積是小學(xué)數(shù)學(xué)課程核心內(nèi)容之一。《九章算術(shù)》是我國數(shù)學(xué)經(jīng)典名著，其中關(guān)于土地面積計算的方法涉及不同的平面圖形，一以貫之地體現(xiàn)了“以盈補虛”化歸為長方形面積計算的思路，以及由特殊推及一般的數(shù)學(xué)思想方法，能為多邊形面積公式推導(dǎo)的教學(xué)提供有益的啟示。 由此，“多面形的面積”單元的教學(xué)有幾點新思路：將對高的認(rèn)識有機融入面積計算的過程，體現(xiàn)知識產(chǎn)生的內(nèi)在合理性;推導(dǎo)三角形面積公式，體現(xiàn)化歸方法的一致性和歸納的方法;推導(dǎo)梯形面積公式，體現(xiàn)化歸方法的一致性和一般化方法;統(tǒng)一面積公式，建立二維空間觀念。

關(guān)鍵詞：《九章算術(shù)》；以盈補虛；多邊形面積；公式推導(dǎo)

多邊形的面積是小學(xué)數(shù)學(xué)課程的核心內(nèi)容之一。這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)既是解決實際問題的需要，也有助于增強學(xué)生的空間觀念和推理意識。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中能夠從測量的角度深化對平面圖形的認(rèn)識，進一步感悟測量的基本方法。

現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教材關(guān)于多邊形面積教學(xué)內(nèi)容的編排，呈現(xiàn)的基本邏輯順序是：長方形的面積→平行四邊形的面積→三角形的面積→梯形的面積。其中，平行四邊形面積公式的推導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生將平行四邊形剪拼成長方形（學(xué)生在認(rèn)識平行四邊形時已經(jīng)認(rèn)識了高，或者在推導(dǎo)多邊形的面積公式之前單獨認(rèn)識了高）。而三角形和梯形面積公式的推導(dǎo)，則重點引導(dǎo)學(xué)生將兩個完全相同的三角形或梯形拼成一個平行四邊形。有的也呈現(xiàn)了將一個三角形或梯形剪拼成學(xué)過的圖形推導(dǎo)面積公式的方法。學(xué)生將一個圖形剪拼成已知圖形來推導(dǎo)面積公式是有經(jīng)驗的，如將平行四邊形剪拼成長方形。如果以方格作為面積單位，則更容易在數(shù)方格的過程中，想到將不滿整格的湊成整格，從而發(fā)現(xiàn)可將平行四邊形沿著高剪下一個三角形或梯形，拼成長方形，實現(xiàn)圖形的化歸。而在三角形、梯形面積公式的推導(dǎo)過程中，學(xué)生一般很難想到將兩個完全一樣的三角形或梯形拼成一個平行四邊形。由于這樣拼成平行四邊形后推導(dǎo)面積公式的過程相對簡單，所以教材都以這一推導(dǎo)面積公式的方法作為重點。那么，如何既順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知現(xiàn)實，又回歸多邊形面積計算的本質(zhì)，凸顯面積計算方法的一致性呢？

《九章算術(shù)》是我國數(shù)學(xué)經(jīng)典名著，其中關(guān)于土地面積計算的方法涉及不同的平面圖形，一以貫之地體現(xiàn)了“以盈補虛”化歸為長方形面積計算的思路，以及由特殊推及一般的數(shù)學(xué)思想方法，能為多邊形面積公式推導(dǎo)的教學(xué)提供有益的啟示。

一、《九章算術(shù)》中涉及的土地面積計算方法及其教學(xué)啟示

《九章算術(shù)》的《方田章》主要涉及“以御田疇界域”的問題，給出了長方形、三角形、梯形等直線形的面積公式。

第一，長方形的面積?！胺教镄g(shù)曰：廣從步數(shù)相乘得積步?！保?］方田即長方形田，“廣”為東西的度量，“從”為南北的度量。這里以“步”作為長度單位，積步相當(dāng)于平方步，即為面積單位。

第二，三角形的面積?！靶g(shù)曰：半廣以乘正從。半廣知，以盈補虛為直田也。亦可半正從以乘廣?！保?］《九章算術(shù)》中的圭田，通常指三角形田，也有人認(rèn)為指等腰三角形田?！耙杂a虛為直田也”，意指將圖1中的Ⅰ、Ⅱ分別移至Ⅰ′、Ⅱ′。

第三，梯形的面積。對于直角梯形，《九章算術(shù)》稱為“邪田”，“邪”指直角梯形中的斜邊?！靶g(shù)曰：并兩邪而半之，以乘正從若廣。又可半正從若廣，以乘并……并而半之者，以盈補虛也?！保?］如圖2，“兩邪”指與“邪”相鄰的兩廣或兩從?！耙杂a虛”的方式如圖3，將Ⅰ移至Ⅰ′即可。

對于一般梯形，《九章算術(shù)》稱為“箕田”（如圖4）?！靶g(shù)曰：并踵、舌而半之，以乘正從……中分箕田則為兩邪田，故其術(shù)相似。又可并踵、舌，半正從，以乘之?！保?］《九章算術(shù)》認(rèn)為，將箕田中分，成兩邪田（如圖5）。

圖形測量的重點是確定圖形的大小，一維圖形的大小是對圖形長度的度量，二維圖形的大小是對圖形面積的度量，三維圖形的大小是對圖形體積的度量。圖形成為數(shù)學(xué)研究對象的真正動力，是土地測量等生產(chǎn)實踐?！毒耪滤阈g(shù)》中的土地面積計算方法對多邊形面積公式推導(dǎo)教學(xué)有頗多啟示，主要體現(xiàn)在方法邏輯維度。

《九章算術(shù)》在土地面積計算的過程中重視體現(xiàn)化歸和一般化的數(shù)學(xué)思想方法?；瘹w的思路是：以長方形的面積計算為基礎(chǔ)，將三角形化歸為長方形，將直角梯形化歸為長方形?；瘹w的方法是：以盈補虛。在梯形的面積計算中，化歸的思路是靈活的：直角梯形化歸為長方形，而一般梯形則化歸為直角梯形。另外，先研究直角梯形的面積計算方法，再過渡到一般梯形，體現(xiàn)了由特殊到一般的思想方法。

這給我們的教學(xué)啟示是：（1）化歸的目標(biāo)指向長方形。長方形的面積計算方法在多邊形中是最簡單的，因為它很容易由面積單位的度量這一基本方法優(yōu)化得到，最便于學(xué)生體會多邊形的面積是二維屬性的度量。都?xì)w為長方形這一基本圖形，能夠更好地凸顯面積計算方法的本質(zhì)，即平面圖形的面積是二維屬性的度量，與兩個維度相關(guān)。（2）化歸的方法是“以盈補虛”。平面圖形之間的聯(lián)系十分豐富，彼此之間化歸的方式也是多樣的。如三角形可以通過“以盈補虛”化歸成長方形，也可以“加倍拼接”化歸成平行四邊形。其中，“以盈補虛”的方法是實現(xiàn)圖形化歸的基本方法，也體現(xiàn)了度量的運動不變性。

需要注意的是，現(xiàn)行教材中三角形面積計算方法的得出，主要是引導(dǎo)學(xué)生通過將兩個完全相同的三角形拼成一個平行四邊形發(fā)現(xiàn)的。這樣的方法對于學(xué)生而言，與其頭腦中自然形成的關(guān)于測量的運動不變性認(rèn)識存在“隔閡”（因為改變了測量對象的面積），需要進行很多鋪墊和引導(dǎo)。學(xué)生的已有知識經(jīng)驗仍然是“以盈補虛”，教學(xué)時要基于這一知識經(jīng)驗幫助他們實現(xiàn)圖形的化歸，而不能因為某種方法容易操作就“強加”給他們。另一方面，在引導(dǎo)學(xué)生探索圖形面積計算的方法時，又要根據(jù)圖形的具體特點和內(nèi)在聯(lián)系，感受化歸方法的多樣性，發(fā)展思維的靈活性。也即，可以把銳角三角形、鈍角三角形分成兩個直角三角形，把梯形分成兩個三角形計算面積。這樣的方法體現(xiàn)了測量的有限可加性，也是學(xué)生容易理解的方法。

二、“多邊形的面積”教學(xué)思路新探

由此，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊“多邊形的面積”單元的教學(xué)，有以下幾點新思路：

（一）將對高的認(rèn)識有機融入面積計算的過程，體現(xiàn)知識產(chǎn)生的內(nèi)在合理性

現(xiàn)行教材對高的認(rèn)識有兩種處理方式：一是在認(rèn)識多邊形時將高作為認(rèn)識圖形的內(nèi)容進行教學(xué)；二是在教學(xué)多邊形的面積公式前先安排一課時，認(rèn)識各種多邊形的高。在認(rèn)識多邊形時認(rèn)識高，學(xué)生可能缺乏認(rèn)知的心理需求，因為高并不直接構(gòu)成多邊形的組成要素，多邊形高的特征往往表現(xiàn)為多邊形邊和角的特征。在教學(xué)面積公式前認(rèn)識高，符合知識之間的邏輯順序，測量多邊形的面積需要測量高，所以在學(xué)習(xí)面積測量之前應(yīng)先認(rèn)識高。但如何解決學(xué)生的認(rèn)知需求問題，仍是難點。將對高的認(rèn)識融入面積計算的問題解決過程中，可以體現(xiàn)知識產(chǎn)生的內(nèi)在合理性，是一條可行的教學(xué)思路。

高和底是一組相關(guān)聯(lián)的概念。平行四邊形的高和底，三角形的高和底，梯形的高和上底、下底分別共同決定了各個圖形面積的大小。為了引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)識高的需求，應(yīng)將高的認(rèn)識有機融入各種多邊形面積公式的教學(xué)過程。突破這一認(rèn)知的起點和關(guān)鍵是平行四邊形的面積計算。教學(xué)時可用細(xì)木條做一個可拉動的平行四邊形框架，由長方形逐漸拉扁，體會邊長不變，但水平方向?qū)叺木嚯x逐漸縮短，面積逐漸變??；反之亦然。平行四邊形面積的變化如圖5所示。

（二）推導(dǎo)三角形面積公式，體現(xiàn)化歸方法的一致性和歸納的方法

在推導(dǎo)三角形面積公式時，以學(xué)生容易理解的“以盈補虛”方法為主，而將兩個完全相同的三角形拼成平行四邊形的方法作為練習(xí)處理?！耙杂a虛”的方法和平行四邊形的面積計算方法是一致的，學(xué)生容易理解，也容易發(fā)現(xiàn)。 “以盈補虛”的方法將三角形化歸為長方形，容易凸顯三角形的面積也與底、高兩個元素相關(guān)。如果采用將兩個完全相同的三角形拼成一個平行四邊形的方法，則和學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗不一致，且不符合測量的基本原理。

考慮到三角形分為直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形三類，按照由易到難的順序，可以分別探索直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形的面積公式。這樣做的優(yōu)勢在于：直角三角形化歸為長方形最容易；銳角三角形和鈍角三角形可以作一條高，化歸為兩個直角三角形，也可以化歸為一個長方形，體現(xiàn)了思維方法的靈活性。這樣的思路也體現(xiàn)了歸納的方法。

（三）推導(dǎo)梯形面積公式，體現(xiàn)化歸方法的一致性和一般化方法

按照由易到難、由特殊到一般的順序，先教學(xué)直角梯形的面積計算，鼓勵學(xué)生自己探索多樣的方法，重點關(guān)注“以盈補虛”的方法，以進一步體會底和高決定梯形的面積大小，增強二維的空間觀念。再教學(xué)一般梯形的面積計算，鼓勵學(xué)生靈活運用多種方法，重點關(guān)注化歸為兩個直角梯形的方法，體會圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系。

（四）統(tǒng)一面積公式，建立二維空間觀念

上述推導(dǎo)多邊形面積公式的過程，始終圍繞圖形中非水平位置邊的中點進行分割，實現(xiàn)“以盈補虛”（如圖6所示）。因此，可引導(dǎo)學(xué)生體會這些多邊形的面積具有統(tǒng)一的公式：多邊形的面積=中位線×高。

這一內(nèi)容可以作為一個彈性的教學(xué)活動。一方面，這樣的認(rèn)識有助于學(xué)生體會“以盈補虛”作為一般的推導(dǎo)多邊形面積公式方法的意義。另一方面，統(tǒng)一多邊形面積公式有助于學(xué)生更清晰地建立二維空間觀念，并可將計算二維圖形面積的方法經(jīng)驗遷移到計算三維柱體體積的過程中（柱體的體積=截面的面積×高）。

以上教學(xué)思路，是一次嘗試，讓《九章算術(shù)》與“多邊形的面積”教學(xué)完美結(jié)合；也是一次突破，運用“以盈補虛”從定性和定量的維度解決了多邊形面積公式教學(xué)的難點；更是一種創(chuàng)新，既滿足了學(xué)生解決問題的需求，也有助于增強學(xué)生的空間觀念和推理意識。

參考文獻：

［1］［2］［3］［4］? 郭書春.九章算術(shù)譯注［M］.上海：上海古籍出版社，2009：13，35，37，38.

*本文系江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃一般課題“雙螺旋互動：小學(xué)數(shù)學(xué)主線問題教學(xué)模型的開發(fā)與研究”（編號：D/2021/02/554）的階段性研究成果。