依托立體幾何，傳播數(shù)學(xué)文化

孫建國

【摘要】2017年高考數(shù)學(xué)考試大綱第一次明確提出在高考數(shù)學(xué)中考查數(shù)學(xué)文化，近年來高考和模擬試卷中出現(xiàn)以古典數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》為背景的新穎命題，蘊(yùn)含濃厚的文化氣息，將數(shù)學(xué)知識、方法和文化融為一體，有效考查了學(xué)生在新情境下對知識的理解以及遷移到不同情境中去的能力.本文收集整理近幾年高考和模擬試卷中出現(xiàn)的以《九章算術(shù)》為背景的立體幾何試題揭示其文化內(nèi)涵，希望能對大家的高考備考有所啟發(fā).

【關(guān)鍵詞】九章算術(shù)；圓周率；塹堵；陽馬；鱉臑

中國古代數(shù)學(xué)取得了極其輝煌的成就，出現(xiàn)了劉徽、祖沖之、秦九韶等偉大的數(shù)學(xué)家，以及眾多數(shù)學(xué)名著，《九章算術(shù)》便是其中的代表作，尊為古代數(shù)學(xué)之首.它遵循“經(jīng)世濟(jì)用”，涉及的研究大多與實(shí)際生活、生產(chǎn)緊密結(jié)合，具有濃厚的實(shí)際背景，其體現(xiàn)出明顯的問題式、綜合性和算法的特征.

根據(jù)教育部考試中心下發(fā)的《關(guān)于2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知》，數(shù)學(xué)大綱最大的變化之一就是第一次明確提出了在高考數(shù)學(xué)中考查數(shù)學(xué)文化.

立體幾何是中國古代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的研究內(nèi)容，從中國古代數(shù)學(xué)中挖掘素材，考查立體幾何的有關(guān)知識，既符合考生的認(rèn)知水平，又可以引導(dǎo)考生關(guān)注數(shù)學(xué)文化.本文從近年來高考和模擬試卷中選取《九章算術(shù)》中與立體幾何有關(guān)的數(shù)學(xué)文化題加以分析，期望能對大家的高考備考有些許啟示.

考點(diǎn)一：幾何體的體積

例1 （2015年全國Ⅰ卷）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖所示，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有（ ）.

A.14斛

B.22斛

C.36斛

D.66斛

答案 B.

此題源于《九章算術(shù)》第五卷《商功》之[二五]，將古代文化“依垣”和現(xiàn)代教育元素“圓錐”結(jié)合，對培養(yǎng)考生的愛國情操和認(rèn)識中華古典文化有著深刻的意義.

訓(xùn)練1 《九章算術(shù)》商功章有題：一圓柱形谷倉，高1丈3尺313寸，容納米2 000斛（1丈=10尺，1尺=10寸，斛為容積單位，1斛≈1.62立方尺，π≈3），則圓柱底圓周長約為（ ）.

A.1丈3尺B.5丈4尺

C.9丈2尺D.48丈6尺

答案 B.

考點(diǎn)二：三視圖

例2 中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載了公元前344年商鞅督造一種標(biāo)準(zhǔn)量器——商鞅銅方升，其三視圖如圖所示（單位：寸），若π取3，其體積為12.6（立方寸），則圖中的x為（ ）.

A.1.2B.1.6C.1.8D.2.4

答案 B.

訓(xùn)練2 《九章算術(shù)》中，將底面是直角形的直三棱柱稱之為“塹堵”，已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，俯視圖中虛線平分矩形的面積，則該“塹堵”的側(cè)面積為（ ）.

A.2B.4+22

C.4+42D.6+42

答案 C.

將高考立體幾何中的高頻考點(diǎn)三視圖與青銅器皿“商鞅銅方升”、古典幾何體“塹堵”有機(jī)結(jié)合，提升學(xué)生用三視圖還原立體圖形的能力，將數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)文化有機(jī)融合考查.

考點(diǎn)三：圓周率估算

例3 （2012年湖北卷）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“開立圓術(shù)”曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑.“開立圓術(shù)”相當(dāng)于給出了已知球的體積V，求其直徑d的一個(gè)近似公式d≈3169V.人們還用過一些類似的公式.根據(jù)π≈3.141 59…判斷，下列近似公式中最精確的一個(gè)是（ ）.

A.d≈3169VB.d≈32V

C.d≈3300157VD.d≈32111V

答案 D.

球是最完美的幾何體，揭示球的直徑與體積之間的關(guān)系是我國古代數(shù)學(xué)的重要研究內(nèi)容.本題以“開立圓術(shù)”為背景給出了4個(gè)歷史上曾經(jīng)使用過的關(guān)于球的直徑與體積之間的關(guān)系的近似公式.命題人巧妙地采用“下列近似公式中最精確的一個(gè)是”這種相對隱蔽的設(shè)問方式讓考生自己去尋找判斷方法，滲透對考生創(chuàng)新意識的考查.

訓(xùn)練3 《九章算術(shù)》卷5《商功》記載一個(gè)問題：“今有圓堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.問積幾何？答曰：二千一百一十二尺.術(shù)曰：周自相乘，以高乘之，十二而一.”這里所說的圓堡瑽就是圓柱體，它的體積為“周自相乘，以高乘之，十二而一”.就是說：圓堡瑽（圓柱體）的體積為V=112×（底面的圓周長的平方×高）.則由此可推得圓周率π的取值為（ ）.

A.3B.3.14C.3.2D.3.3

答案 A.

學(xué)生經(jīng)歷從古代和現(xiàn)代的圓柱的體積公式估算圓周率的過程，感受古代勞動(dòng)人民的勤勞和智慧.

考點(diǎn)四：解答題型

例4 （2015年湖北卷）《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.

如圖所示，在陽馬P-ABCD中，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，過棱PC的中點(diǎn)E，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F，連接DE，DF，BD，BE.

（Ⅰ）證明：PB⊥平面DEF.試判斷四面體DBEF是否為鱉臑，若是，寫出其每個(gè)面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，說明理由.

（Ⅱ）若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為π3，求DCBC的值.

答案 （Ⅰ）證明略；四面體DBEF是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別為∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB.（Ⅱ）22.

以《九章算術(shù)》中的陽馬和鱉臑為載體，考查立體幾何中的高頻考點(diǎn)垂直和二面角，現(xiàn)代高考中滲透古典數(shù)學(xué)文化元素，提升學(xué)生數(shù)學(xué)文化的鑒賞力.

訓(xùn)練4 趣味思考：

① 取一長方體如何分割可以得到兩個(gè)一模一樣的“塹堵”？

② 取一“塹堵”如何分割可以得到“陽馬”和“鱉臑”？

劉徽在《九章算術(shù)》第五卷《商功》中記載：“邪解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑.陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也.”這番關(guān)于體積問題的論述已經(jīng)接觸到現(xiàn)代體積理論的核心問題，指出四面體體積的解決是多面體體積理論的關(guān)鍵.

在文理不分科，學(xué)科之間深度融合的大背景下，2017年數(shù)學(xué)高考大綱也第一次明確提出了在高考數(shù)學(xué)中考查數(shù)學(xué)文化，從中華古典數(shù)學(xué)名著（如，《九章算術(shù)》）中選取與當(dāng)今高中數(shù)學(xué)教學(xué)相應(yīng)的題材背景，經(jīng)命題專家精細(xì)加工，再滲透現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想和方法，編制出當(dāng)今數(shù)學(xué)高考試題，是高考考查數(shù)學(xué)文化的重要命題方向之一.但是如何將數(shù)學(xué)文化自然地融入高考數(shù)學(xué)試題，仍是一個(gè)重大的課題.

王梓坤曾說：“數(shù)學(xué)文化具有比數(shù)學(xué)知識體系更為豐富和深邃的文化內(nèi)涵，數(shù)學(xué)文化是對數(shù)學(xué)知識、技能、能力和素養(yǎng)等概念的高度概括.”隨著新課改的不斷深入，數(shù)學(xué)文化已經(jīng)進(jìn)入新課標(biāo)和數(shù)學(xué)教材.隨著富有數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵的高考題的不斷涌現(xiàn)，定會(huì)引領(lǐng)教師去挖掘和探究，繼而把數(shù)學(xué)文化教育不知不覺地滲透到課堂教學(xué)中，最終實(shí)現(xiàn)《課標(biāo)》的預(yù)期目標(biāo)，進(jìn)而達(dá)到數(shù)學(xué)文化育人的目的.

【參考文獻(xiàn)】

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