《九章算術(shù)》中的芻童、芻甍、羨除

2015年湖北省高考數(shù)學(xué)試卷文科第20題、理科第19題引入了《九章算術(shù)》中的“陽馬”和“鱉臑”，這兩個被多數(shù)同行認(rèn)為的“新”名稱的最近發(fā)展區(qū)是呼之欲出的芻童、芻甍、羨除.

大約在25年前，我當(dāng)時所在的湖北省咸寧高中數(shù)學(xué)組的幾位老師就探討著一類想象的六面體：兩個平行底面是相似矩形、兩組相對側(cè)面分別是全等梯形的六面體一定是四棱臺嗎？

經(jīng)過爭論和嘗試后，我們畫出下列兩圖：先畫

出兩底面為長方形且兩底面中心連線（對稱軸）垂直于兩底面的四棱臺ABCD—A1B1C1D1（如圖1），再將其上底面矩形A1B1C1D1繞對稱軸按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，便可伴隨得到“兩個平行底面是相似矩形、兩組相對側(cè)面分別是全等梯形的六面體”（如圖2），但這個六面體卻不是四棱臺.于是，我們當(dāng)時統(tǒng)一了觀點，所探討的六面體不一定是四棱臺.

但是，這樣旋轉(zhuǎn)得到的六面體是否有一個名稱呢？我們當(dāng)時并不知道！若干年之后，我閱讀相關(guān)數(shù)學(xué)史書籍，才知曉我國于公元前一世紀(jì)編成、公元一世紀(jì)修訂的世界性名著《九章算術(shù)》上有著相關(guān)上述六面體的內(nèi)容.用《九章算術(shù)》的名稱，上述旋轉(zhuǎn)得到的六面體是一種芻童.圖1圖2

形似“草垛”的所謂芻童（包括曲池、盤池、冥谷），就是恰有兩個矩形底面（不能全為正方形）、四條側(cè)棱的延長線不交于一點的六面體[1][2].芻童的兩個底面所在的平面互相平行，其實對于幾何圖形中所說的“兩底”都默認(rèn)其所在平面互相平行；芻童的四個側(cè)面是梯形或平行四邊形，但不能全為平行四邊形（否則就退化成平行六面體）；芻童的四條側(cè)棱所在直線交于兩點（一個底面矩形的長、寬與另一個底面矩形的平行棱的大小關(guān)系不相反）或四點（一個底面矩形的長、寬與另一個底面矩形的平行棱的大小關(guān)系相反）.

例1（2002年北京市高考題）如圖3，在多面體ABCD—A1B1C1D1中，上、下底面平行且均為矩形，相對的側(cè)面與同一底面所成的二面角大小相等，側(cè)棱延長后相交于E、F兩點，上、下底面矩形的長、寬分別為c、d與a、b，且a>c，b>d，兩底面間距離為h.

（1）證明：EF∥平面ABCD；

（2）在估測該多面體的體積時，經(jīng)常運用近似公式V估=S中截面·h來計算，已知它的體積公式是

V=16（S上底面+4S中截面+S下底面）·h，（Ⅰ）

試判斷V估與V的大小關(guān)系.

審題①六面體ABCD—A1B1C1D1是一個芻童，四條側(cè)棱所在直線交于兩點，而不是交于四點；②公式（Ⅰ）是任意擬柱體的一般體積公式.

解（1）由于下底面ABCD是矩形，則AB∥CD，則AB∥平面CDEF（線面平行的判定定理）.又因為平面ABFE∩平面CDEF=EF，則AB∥EF（線面平行的性質(zhì)定理），即EF∥AB，則EF∥平面ABCD（線面平行的判定定理）.

（2）根據(jù)梯形的中位線定理得到

S中截面=a+c2·b+d2=ab+ad+bc+cd4，則

V估-V=S中截面h-16（S上底面+4S中截面+S下底面）h

=h6（2S中截面-S上底面-S下底面）

=h6（ab+ad+bc+cd2-ab-cd）

=h12（-ab+ad+bc-cd）.

=-h12（a-c）（b-d）<0（其中a>c，b>d）.

所以，V估

補注①此題可以啟發(fā)我們領(lǐng)悟到芻童的一個性質(zhì)——芻童的四條側(cè)棱所在直線交于兩點或四點，底面同側(cè)的兩點連線必定平行于底面；②根據(jù)擬柱體的一般體積公式（Ⅰ）可以推導(dǎo)出芻童特有求體積之“術(shù)”，請見下面的定理.

定理1如圖4和圖5，如果芻童的高為h，下底面矩形的長為a1、寬為b1，上底面矩形的長為a2、寬為b2，那么此芻童的體積是[1][2]

V=16[（2a1+a2）b1+（a1+2a2）b2]h.（Ⅱ）

《九章算術(shù)》對于問題只給出“術(shù)”與終答，而對“術(shù)”卻不證自明.下面補遺證明定理1.

證明由于芻童是一類擬柱體，則運用公式（Ⅰ）得到V=16（S上底面+4S中截面+S下底面）·h

=16（a1b1+4·a1+a22·b1+b22+a2b2）·h

=16[a1b1+（a1b1+a1b2+a2b1+a2b2）+a2b2）]·h

=16[（2a1+a2）b1+（a1+2a2）b2]h，

所以，公式（Ⅱ）正確，故定理1證畢.

如下列兩圖，將圖6芻童ABCD-A1B1C1D1的兩個頂點A1與D1合攏成一點E，同時將兩個頂點B1與C1合攏成一點F，便形成圖7而得到一個五面體EF—ABCD.按照《九章算術(shù)》的說法，這個由芻童退化演變出來的五面體是一個廣義的芻甍.

形似“草脊”的所謂芻甍，就是唯一頂棱平行于唯一矩形底面、三條平行棱不全等長的五面體.這是廣義的芻甍，《九章算術(shù)》中狹義的芻甍還要限制頂棱的長度小于與它平行的兩條等棱的長度[2]，此限制條件對于后面的體積公式（Ⅳ）沒有影響.

例2（2007年江蘇省競賽題改編題，1999年全國高考題）如圖8，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EF∥AB，

EF=32，EF與面ABCD

的距離為2，則該多面體的體積為.

解作兩個平行四

邊形AB1FE與DC1FE（圖略），連B1C1，則題設(shè)的多面體（芻甍）EF—ABCD可以由四棱錐F—

BB1C1C和三棱柱ADE—B1C1F所拼成，其中該三棱柱的直截面的底邊長為3、高為2，于是所求多面體的體積為VEF—ABCD=VF-BB1C1C+VADE-B1C1F

=13S矩形BB1C1C·2+S直截面·32

=13·3·（3-32）·2+3·22·32=152（平方單位）.

補注①在此例中，把矩形ABCD和線段EF放在距離等于2的兩個平行平面中任意平行移動，芻甍EF-ABCD的體積都不會改變；②狹義的芻甍體積可以這樣分割求得，那么另一類不狹義的芻甍體積是否也可以通過拼補求得呢？

定理2在芻甍CC1-AA1B1B中，底面矩形的兩邊AA1=a、AB=l，頂棱CC1=c，頂棱CC1到底面AA1B1B的距離為h，則該芻甍的體積為[2]

V=16（2a+c）lh.（Ⅲ）

證明當(dāng)c>a時，如圖9，延長AA1至A0、延長BB1至B0，使AA0=BB0=CC1=c，連A0B0，則ABC—A0B0C1是三棱柱且其直截面三角形的底邊長為l、高也為h，則此時芻甍CC1—AA1B1B的體積為V=VABC-A0B0C1-VC1-A1A0B0B1

=S直截面·c-13·SA1A0B0B1·h

=lh2·c-13·（c-a）l·h=16（2a+c）lh.

當(dāng)c

對芻甍進(jìn)行泛化想象（圖略），假如將芻甍的底面矩形替換為底面梯形且芻甍有三條棱兩兩平行，那么《九章算術(shù)》把這種五面體稱為羨除.

形似“楔體”的所謂羨除，就是三個側(cè)面都是梯形或平行四邊形（其中最多只有一個平行四邊形）、兩個不平行對面是三角形的五面體[1][2].還能夠想象，羨除可以由三棱柱的三個側(cè)面與其兩個三角形截面所圍成的凸五面體，羨除是三棱柱的泛化圖形，三棱柱是羨除的退化圖形.

《九章算術(shù)》給出求羨除體積的“術(shù)”是：“并三廣，以深乘之，又以袤乘之，六而一”.其中的“廣”是指羨除的三條平行側(cè)棱之長、“深”是指一條側(cè)棱到另兩條側(cè)棱所在平面的距離、“袤”是指這兩條側(cè)棱所在平行線之距.用現(xiàn)代語言描述，就是——

定理3在羨除ABC—A1B1C1中，AA1∥BB1

∥CC1，AA1=a，BB1=b，CC1=c，兩條平行線AA1與BB1間的距離為l，直線CC1到平面AA1B1B的距離為h，則該羨除的體積為[1][2]

V=16（a+b+c）lh.（Ⅳ）

受定理2的證明過程的啟發(fā)，下面因勢利導(dǎo)地來推導(dǎo)羨除的體積公式.

證明如圖11，在羨除ABC-A1B1C1中，當(dāng)c是a、b、c的最小者時，在棱AA1、BB1上分別取點A0、B0使得

AA0=BB0=CC1=c，連A0B0，則此時羨除

ABC-A1B1C1的體積為

VABC—A1B1C1=VABC—A0B0C1+VC1—A1A0B0B1

=S直截面·c+13·SA1A0B0B1·h=lh2·c+13·（a-c）+（b-c）2l·h

=（c2+a+b-2c6）lh=16（a+b+c）lh.

當(dāng)c不是a、b、c的最小者時，不妨設(shè)b是a、b、c的最小者，令兩條平行線AA1與CC1間的距離為l1，直線BB1到平面AA1C1C的距離為h1，則同理

可證VABC—A1B1C1=16（a+b+c）l1h1.

又因為l1h1=2S正截面=lh（為定值），

則此時也有VABC—A1B1C1=16（a+b+c）lh.

總之，定理3證畢.

例3（2009年南京大學(xué)自主招生題）在四面體ABCD中，平行于AB與CD的平面π截該四面體得到截面EFGH，AB到π的距離為d1，CD到π的距離為d2，且d1=kd2.求立方體圖形AB—EFGH與四面體ABCD的體積之比（用k表示）.圖12

解如圖12，設(shè)兩條異面直線AB、CD的距離與夾角分別為d與θ，則借用四面體的外接平行六面體可求得四面體ABCD的體積[3]為

VABCD=d·AB·CD6·sinθ.這里，d=d1+d2.由于平行四邊形EFGH的較小內(nèi)角是θ，則兩條平行線EF與GH間的距離l=EH·sinθ，根據(jù)已知條件、定理3、相似比求得VAB-EFGH=VAEH-BFG

=16（AB+EF+GH）·l·d1

=16（AB+2·EF）·（EH·sinθ）·d1

=AB6·（1+2·d2d1+d2）（d1·CDd1+d2·sinθ）d1

=VABCD·d1+3d2d1+d2·（d1d1+d2）2

=VABCD·k2（k+3）（k+1）2.

所以，立方體圖形AB—EFGH與四面體ABCD的體積之比為k2（k+3）（k+1）2.

補注命題組采用添加輔助線AF、AG、EG的方法解答此題，讀者可對比閱讀.

回味上述定理，頓悟到可以由定理3證明定理2和定理1；經(jīng)檢驗，公式（Ⅳ）也適合芻甍和三棱柱，于是我們可以概括出一個統(tǒng)一的結(jié)論——

定理4在五面體ABC—A1B1C1中，AA1∥BB1

∥CC1，AA1=a，BB1=b，CC1=c，且三條平行線AA1、BB1、CC1的直截面三角形的面積為S直截面，則該五面體（三棱柱、芻甍、羨除）的體積為

V=13（a+b+c）S直截面.（Ⅴ）

考慮篇幅，最后把例題改作習(xí)題留給讀者探究.

1.（2005年全國高考題改編題，1983年美國邀請賽題）圖13的多面體的底面是邊長為s的正方形，上面的棱平行于

底面，其長為2s，其余棱長也都為s，若s=62，求這個多面體的體積.圖13圖14

2.（2015年安徽省競賽題）在如圖14所示的多面體ABCDEF中，已知AD，BE，CF都與平面ABC垂直.設(shè)AD=a，

BE=b，CF=c，AB=AC=BC=1.求四面體

ABCE與BDEF公共部分的體積（用a，b，c表示）.

3.（2013年湖北省文科高考題）如圖15，某地質(zhì)隊自水平地面A，B，C三處垂直向地下鉆探，自A點向下鉆到A1處發(fā)現(xiàn)礦藏，再繼續(xù)下鉆到A2處后下面已無礦，從而得到在A處正下方的礦層厚度為A1A2=d1.同樣可得在B，C處正下方的礦層厚度分別為B1B2=d2，C1C2=d3，d1

點M，N且與直線AA2平行的平面截多面體A1B1C1—A2B2C2所得的截面DEFG為該多面體的一個中截面，其面積記為S中.

（Ⅰ）證明：中截面DEFG是梯形；

（Ⅱ）在△ABC中，記BC=a，BC邊上的高為h，面積為S.在估測三角形ABC區(qū)域內(nèi)正下方的礦藏儲量（即多面體A1B1C1—A2B2C2的體積V）時，可用近似公式V估=S中·h來估算.已知V=13（d1+d2+d3）S，試判斷V估與V的大小關(guān)系，并加以證明.

參考文獻(xiàn)

[1]李文林.數(shù)學(xué)史概論[M].北京：高等教育出版社，2002：

76～78

[2]郭書春.中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)史話[M].北京：中國國際廣播

出版社，2012：40～42

[3]甘大旺.高考數(shù)學(xué)150專題[M].武漢：湖北教育出版

社，2015：145