論《九章算術(shù)》與《幾何原本》的特點

陳家欣

【摘 要】《九章算術(shù)》是中國古代數(shù)學(xué)著作，是當(dāng)時世界上最先進的應(yīng)用數(shù)學(xué)，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系；《幾何原本》是古希臘時期乃至整個人類歷史上最重要的數(shù)學(xué)著作，是數(shù)學(xué)史上一個偉大的里程碑，它不僅是幾何學(xué)建立的標(biāo)志，同時也是公理體系在具體學(xué)科中應(yīng)用成功的標(biāo)志。

【關(guān)鍵詞】九章算術(shù)；幾何原本；代數(shù)；幾何

引言

《九章算術(shù)》與《幾何原本》是數(shù)學(xué)史上東西輝映的兩大巨著，是數(shù)學(xué)思想方法的兩個源頭?！毒耪滤阈g(shù)》強調(diào)辯證思維，特別注重實事求是，理論聯(lián)系實際。全書的246道題，都建立在與生活和生產(chǎn)相關(guān)的應(yīng)用上，形成了以計算為中心的數(shù)學(xué)體系，對中國古算影響深遠；而《幾何原本》則相反，與生活和社會的實際問題無關(guān)，全書沒有一道應(yīng)用題，全部是純粹的數(shù)學(xué)問題。兩書同為古代數(shù)學(xué)的巨著，對近代數(shù)學(xué)的發(fā)展影響深遠，那兩書到底有著怎樣不同的風(fēng)格特點，本文將從以下三個方面來論述。

1.體系

《九章算術(shù)》開放的歸納體系，全書共246個與生產(chǎn)生活相關(guān)的算術(shù)題目，同一類型的計算問題化歸為一章，共九章?，F(xiàn)將各章內(nèi)容簡介如下：

第一章“方田”：田畝面積計算；（“方”面積單位）

第二章“粟米”：谷物糧食之間互相兌換；（“粟”谷物）

第三章“衰分”：比例分配；（“衰”按比例）

第四章“少廣”：已知面積、體積、求其一邊寬廣等；（“少”多少，“廣”寬廣）

第五章“商功”：土木工程、體積計算；（“商”度量，“功”工程）

第六章“均輸”：合理攤派賦稅；（“均”勻，“輸”財物）

第七章“盈不足”：解應(yīng)用；

第八章“方程”：一次方程組；（“程”程式）

第九章“勾股”：勾股定理；

基本包含了當(dāng)時所有的數(shù)學(xué)分支，注重將數(shù)學(xué)與生活實踐相結(jié)合起來，讓數(shù)學(xué)來源于生活，更好的服務(wù)于生活。從思想的角度來看，《九章算術(shù)》主要是按照由個別到一般的歸納推理方式，《九章算術(shù)》體現(xiàn)觀察—實驗—歸納—分析—概括的數(shù)學(xué)研究方式，形成了以開放歸納為主的歸納體系。

《幾何原本》封閉的演繹體系，全書共分13卷，共475個命題（包括5個公設(shè)和5個公理），現(xiàn)將各卷內(nèi)容簡介如下：

第一卷“幾何基礎(chǔ)”：5個公設(shè)與5個公理，邊與角的大小關(guān)系，三角形與多邊形面積相等的條件，畢達哥拉斯定理的正逆命題。

第二卷“幾何與代數(shù)”：如何將三角形變成等積的正方形。

第三卷“圓與角”：闡述關(guān)于，圓，圓心角，圓周角，切線，割線，垂徑，弦，直徑的定理。

第四卷“圓與正多邊形”：討論圓內(nèi)切與外切多邊形的性質(zhì)。

第五卷“比例”：討論量與量之間的比例理論。

第六卷“相似”：闡述相似多邊形理論。

第七、八、九、卷“數(shù)論”：闡述整數(shù)之間的性質(zhì)。

第十卷“無理量”：主要討論無理量與不可通約的量之間的關(guān)系。

第十一卷“立體幾何”：討論空間直線與平面平行、相交、重合的位置關(guān)系。

第十二卷“立體的測量”：討論立體圖形的體積與面積的性質(zhì)。

第十三卷“建正多面體”：主要討論五種正多面體。

從5個公設(shè)與5個公理出發(fā)，通過點、線、面和邏輯的基本方法，把當(dāng)時所學(xué)幾何內(nèi)容都演繹推理出來，在形式上構(gòu)成了一個封閉的演繹體系；從社會的發(fā)展角度，它并不能運用到生產(chǎn)實踐中去，它全部是純粹的數(shù)學(xué)問題，因而它對社會的各個領(lǐng)域都是一個演繹的封閉體系。

2.內(nèi)容

《九章算術(shù)》算法化的內(nèi)容，全書246個問題，主要屬于初等代數(shù)內(nèi)容，其中主要的是代數(shù)問題，其中含有少部分的幾何問題也是用代數(shù)的形式處理的。所以《九章算術(shù)》就是一本以算法為中心的著作，全書沒有命題，只有題目與方法，而且這些題目還是分門別類在《九章算術(shù)》的每一個章節(jié)中，這種重實踐而輕理論的特點，造就了《九章算術(shù)》算法化的內(nèi)容。

《幾何原本》抽象化的內(nèi)容，全書475個問題，主要屬于初等幾何內(nèi)容，其中主要的是幾何問題，其中含有少部分的代數(shù)問題也是用幾何的形式處理的。所以《幾何原本》就是一本以幾何為中心的著作，全書探討了數(shù)的若干性質(zhì)，但是從不涉及到數(shù)的計算與應(yīng)用，它重視實物的共性與抽象的理論，這種重理論輕實踐的特點，造就了《幾何原本》抽象化的內(nèi)容。

3.方法

《九章算術(shù)》模型化的方法，從數(shù)學(xué)方法的角度來看，《九章算術(shù)》以社會實踐與生活為基礎(chǔ)，先在實踐中觀察出具有典型意義的生活原型，適當(dāng)?shù)挠脭?shù)學(xué)模型去表述問題，在數(shù)學(xué)模型里歸納出數(shù)學(xué)模型的共性，再分析給出可以運用的數(shù)學(xué)模型。《九章算術(shù)》這種以社會實踐為基礎(chǔ)，將其模型化為數(shù)學(xué)模型，然后用這個模型去解決更多問題的方法，就稱之為模型化的方法。

《幾何原本》公理化的方法，從數(shù)學(xué)方法的角度來看，《幾何原本》以5個公設(shè)和5個公理為基本前提，緊接著給出了23個定義，再逐步的引入公理和定理，通過前面給出的公設(shè)與公理還有定義逐步的演繹推理出需證明的公理與定理。這種處理問題與知識體系的方法，就稱之為公理化的方法。

【參考文獻】

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