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    分布卷積上的Levi-Civita聯(lián)絡(luò)

    2023-12-21 07:14:20劉思瑤
    關(guān)鍵詞:張量曲率度量

    劉思瑤,王 勇

    (東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,吉林 長春 130024)

    1 預(yù)備知識

    定義1.1[1]若X,Y,Z∈Γ(M),則滿足

    (1)

    定義1.2[2]若M上的切向量叢TM存在子叢D,且當(dāng)X,Y∈Γ(D)時(shí),滿足[X,Y]?Γ(D),則稱D∈Γ(M)為不可積分布.同理,當(dāng)X,Y∈Γ(D)時(shí),滿足[X,Y]∈Γ(D),則稱D∈Γ(M)為可積分布.

    由M上的ɡ可以得到分布D上的度量張量場ɡD.令D⊥∈Γ(M)為D的正交分布,則存在度量張量場ɡD⊥,且滿足ɡ=ɡD+ɡD⊥.

    對于X,Y∈Γ(M),定義:

    (2)

    其中πD:TM→D和πD⊥:TM→D⊥為投射.

    定義1.3[3]若X1,X2∈Γ(D),Y∈Γ(D⊥),滿足

    (3)

    ɡ(A(X1,X2),Y)=-ɡ(A(X1,Y),X2),

    (4)

    則稱此(1,2)型光滑張量場A為可積張量.

    定義1.4[4]令(M,ɡM)和(N,ɡN)為偽黎曼流形,f:M→為光滑函數(shù).由M×N及度量張量ɡM?f2ɡN構(gòu)成的積流形稱為卷積,記作M×fN.

    定義1.5[2]令(M,ɡM)和(N,ɡN)為偽黎曼流形且TM=D1?D1,⊥,TN=D2?D2,⊥.f:M→為光滑函數(shù),πM:M×N→M和πN:M×N→N為投影.令:

    (5)

    (6)

    (7)

    定義1.7[5]若X1,X2,X3∈Γ(D),都滿足Rf,D(X1,X2)X3=0,則稱曲率張量Rf,D是平坦的.

    定義1.8[2]若X1,X2∈Γ(D),定義D上的Ricci張量為

    (8)

    定義1.9 定義D上的數(shù)量曲率為

    (9)

    定義1.10[2]若X1,X2∈Γ(D),滿足

    (10)

    2 主要結(jié)果

    性質(zhì)2.1 若X1,X2∈Γ(D1),Y1,Y2∈Γ(D1,⊥),U1,U2∈Γ(D2),V1,V2∈Γ(D2,⊥),則:

    性質(zhì)2.2 若X1,X2∈Γ(D1),U1,U2∈Γ(D2),則:

    性質(zhì)2.3 若X1,X2,X3∈Γ(D1),U1,U2,U3∈Γ(D2),則:

    (1)Rf,D(X1,X2)X3=RD1(X1,X2)X3;

    (4)Rf,D(U1,U2)X1=0;

    性質(zhì)2.4 若X1,X2∈Γ(D1),U1,U2∈Γ(D2),則:

    (2) Ricf,D(X1,U1)=Ricf,D(U1,X1)=0;

    性質(zhì)2.5D上的數(shù)量曲率為

    定理2.1 若曲率張量Rf,D是平坦的,則D1為可積分布.

    證明若曲率張量Rf,D是平坦的,則滿足[X1,X2]D1,⊥(f)=0,其中X1,X2∈Γ(D1).故[X1,X2]=[X1,X2]D1+[X1,X2]D1,⊥=[X1,X2]D1∈Γ(D1).

    3 例子

    例3.1 令M=,則有:

    f:→,ɡD2?(πN)*ɡD2,⊥,

    (11)

    D=(πM)*(T)ɡD2.

    (12)

    性質(zhì)3.1 若?t∈Γ(T),U1,U2∈Γ(D2),V1,V2∈Γ(D2,⊥),則:

    性質(zhì)3.2 若?t∈Γ(D1),U1,U2∈Γ(D2),則:

    性質(zhì)3.3 若?t∈Γ(D1),U1,U2,U3∈Γ(D2),則:

    (1)Rf,D(?t,?t)?t=Rf,D(?t,?t)U1=Rf,D(U1,U2)?t=0;

    (4)Rf,D(U1,U2)U3=RD2(U1,U2)U3-(f′)2(ɡD2(U2,U3)U1-ɡD2(U1,U3)U2).

    性質(zhì)3.4 若?t∈Γ(D1),U1,U2∈Γ(D2),則:

    (2) Ricf,D(?t,U1)=Ricf,D(U1,?t)=0;

    (3) Ricf,D(U1,U2)=RicD2(U1,U2)+[(m-1)(f′)2+ff″]ɡD2(U1,U2).

    性質(zhì)3.5D上的數(shù)量曲率為

    (3)αD2+(m-1)(f′)2+ff″=αf2.

    例3.2 令

    (13)

    f:M→,ɡD1?f2(πN)*ɡD2.

    (14)

    性質(zhì)3.6 若X1,X2∈Γ(D1),U1,U2∈Γ(D2),則:

    性質(zhì)3.7 若X1,X2,X3∈Γ(D1),U1,U2,U3∈Γ(D2),則:

    (1)Rf,D(X1,X2)X3=RD1(X1,X2)X3;

    (4)Rf,D(U1,U2)X1=0;

    性質(zhì)3.8 若X1,X2∈Γ(D1),U1,U2∈Γ(D2),則:

    (2) Ricf,D(X1,U1)=Ricf,D(U1,X1)=0;

    性質(zhì)3.9D上的數(shù)量曲率為

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